新课标人教A版高一数学必修1知识点总结(DOC 11页).doc

1、精心整理高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体

2、性。3、集合的表示：如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。（）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。（）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是xR|x-32或x|x-32（3）图示法（文氏图）：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R5、“属于”

3、的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作aA，相反，a不属于集合A记作aA6、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n.2“相等”关系(55，且55，则5=5)实例：设A=x

4、|x2-1=0B=-1,1“元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)如果AB,BC,那么AC如果AB同时BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB(读作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB2、并集的定义：一般地，

5、由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AB(读作”A并B”)，即AB=x|xA，或xB3、交集与并集的性质：AA=A，A=,AB=BA，AA=A，A=A,AB=BA.4、全集与补集（1）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。SCsAA（2）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）。记作：CSA，即CSA=x|xS且xA（3）性质：CU(CUA)=A(CUA)A=(CUA)A=U(4)(CUA)(CUB)=CU(AB)(5)(C

6、UA)(CUB)=CU(AB)二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求

7、函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数

8、相等（或为同一函数）。（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同(两点必须同时具备)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(xA)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)

9、，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C=P(x,y)|y=f(x),xA图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法：A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换、对称变换:（1）将y=f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=f(x)的图象如：书上P21例5（2）y=f(x)和y=f(-

10、x)的图象关于y轴对称。如（3）y=f(x)和y=-f(x)的图象关于x轴对称。如、平移变换:由f(x)得到f(xa)左加右减；由f(x)得到f(x)a上加下减(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5映射定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”给定一个集合A到

11、B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；对于映射f：AB来说，则应满足：（）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6、函数的表示法：常用的函数表示法及各自的优点：1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形

12、是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。2解析法：必须注明函数的定义域；3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个

13、函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则y=fg(x)=F(x)，(xA)称为f是g的复合函数。7函数单调性（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间；如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：1、函数的

14、单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)）。（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1任取x1，x2D，且x10（C为常数）时，与的单调性相同；当C0且a12、指数函数的图象和性质0a1图像性质定义域R,值域（0，+）（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1(2)在

15、R上是减函数(2)在R上是增函数（3）当x0时,0y1;当x1（3）当x0时,y1;当x0时,0y1图象特征函数性质共性向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R函数图象都在x轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）0a0时,0y1;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当x1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a1自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x0时,y1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x0时,0y0时，a,N在1的同侧；当b0且a1；2.真数N03.注意对数的书写格式2、

16、两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数,；（2）自然对数：以无理数e为底的对数的对数,3、对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数a幂底数对数x指数真数N幂结论：（1）负数和零没有对数（2）logaa=1,loga1=0特别地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0(3)对数恒等式：（二）对数的运算性质如果a0，a?1，M0，N0有：1、两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和2、两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差3、一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍说明:1)简易语言表达:”积的对数=对数的和”2)有时可逆向运用公式3)真数的取值必须是(0,)4)特别注意：

17、注意：换底公式利用换底公式推导下面的结论（二）对数函数1、对数函数的概念：函数(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2）对数函数对底数的限制：a0，且a12、对数函数的图像与性质：对数函数(a0，且a1)0a1a1图像yx0(1,0)yx0(1,0)性质定义域：（0，）值域：R过点(1,0),即当x1时,y0在(0,+)上是减函数在(0,+)上是增函数当x1时，y0当x=1时，y=0当0x0当x1时，y0当x=1时，y=0当0x1时，y0;当a,b不同

18、在(0,1)内，或不同在(1,+)内时,有logab0；当a,b在1的异侧时,logab0，值域求法用单调性。、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa，用y=1去截图象得到对应的底数。、y=ax(a0且a1)与y=logax(a0且a1)互为反函数，图象关于y=x对称。5比较两个幂的形式的数大小的方法:(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.6比较大小的方法(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值

19、（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在0,+）上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在（0，+）上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0的实

20、数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标）2、函数零点的意义：方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点3、零点定理：函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f(c)=0,此时c也是方程f(x)=0的根。4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：（1）（代数法）求方程f(x)=0的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点5、二次函数的零点：二次函数f(x)=

21、ax2+bx+c(a0)1）0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点2）0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点3）0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点二、二分法1、概念：对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2、用二分法求方程近似解的步骤:确定区间a,b,验证f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a,b)

22、的中点c;计算f(c),若f(c)=0,则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0,则令b=c（此时零点x0(a,c)）若f(c)f(b)0,则令a=c（此时零点x0(c,b)）(4)判断是否达到精确度：即若|a-b|0)指数函数：y=ax(a1)指数型函数：y=kax(k0,a1)幂函数：y=xn（n?N*)对数函数：y=logax(a1)二次函数：y=ax2+bx+c(a0)增长快慢：V(ax)V(xn)V(logax)解不等式(1)log2x2xx2(2)log2xx20）的根的分布两个根都在（m,n)内两个有且仅有一个在（m,n)内x1(m,n)x2(p,q)yxnmmnmnpqf(m)f(n)0两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于Kyxkkkf(k)0精心整理