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第三章-直线与方程知识点及典型例题(DOC 15页).doc

1、第三章 直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是01802. 直线的斜率定义:倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tana。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线l与x轴垂直时, = 90, k 不存在.当时,; 当时,; 当时,不存在。xyoa1a2l1l2例.如右图,直线l1的倾斜角a=30,直线l1l2,求直线l1和l2的斜率.解:k1=ta

2、n30= l1l2 k1k2 =1k2 =例:直线的倾斜角是( )A.120 B.150 C.60 D.30过两点P1 (x1,y1)、P1(x1,y1) 的直线的斜率公式: 注意下面四点:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.设直线 l1经过点A(m,1)、B(3,4),直线 l2经过点C(1,m)、D(1,m+1), 当(1) l1/ / l2 (2) l1l1时分别求出m的值三点共线的条件:如果所给三点中任意两点的斜率

3、都有斜率且都相等,那么这三点共线。3. 直线方程点斜式:直线斜率k,且过点注意:当直线的斜率为0时,k=0,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。斜截式:y=kx+b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b两点式:()直线两点P1 (x1,y1)、P1(x1,y1)截矩式:其中直线与轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a、b。注意:一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 两个截距都不为0 或都为0 ; 但不可能一个为0,另一个不为0. 其方程可设为:或y=

4、kx. 一般式:Ax+By+C=0(A,B不全为0)注意:(1)在平时解题或高考解题时,所求出的直线方程,一般要求写成斜截式或一般式。(2)各式的适用范围 (3)特殊式的方程如:平行于x轴的直线:(b为常数); 平行于y轴的直线:(a为常数); 例题:根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式:(1)斜率是,经过点A(8,2); .(2)经过点B(4,2),平行于x轴; .(3)在轴和轴上的截距分别是; .(4)经过两点P1(3,2)、P2(5,4); .例1:直线的方程为Ax+By+C=0,若直线经过原点且位于第二、四象限,则( )AC=0,B0BC=0,B0,A0 CC=0,AB0例2:

5、直线的方程为AxByC=0,若A、B、C满足AB.0且BC0,则l直线不经的象限是( ) A第一 B第二 C第三 D第四4. 两直线平行与垂直 当,时,;注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。5. 已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,(A1与B1及A2与B2都不同时为零)若两直线相交,则它们的交点坐标是方程组的一组解。两条直线的交角:两条相交直线与的夹角:两条相交直线与的夹角,是指由与相交所成的四个角中最小的正角,又称为和所成的角,它的取值范围是,当,则有.若方程组无解 ; 若方程组有无数解与重合6. 点的坐标与直线方程的关系几何元

6、素代数表示点P坐标P(xo,yo) 直线l方程Ax+By+C=0点P(xo,yo)在直线l上坐标满足方程:Ax+By+C=0点P(xo,yo)是l1、l2的交点坐标(xo,yo)满足方程组7. 两条直线的位置关系的判定公式A1B2A2B10方程组有唯一解两直线相交 或A1C2A2C1 0无解两直线平行 或A1C2A2C1 = 0有无数个解两直线重合两条直线垂直的判定条件:当A1、B1、A2、B2满足 时l1l2。答:A1A2+B1B2=0经典例题;例1.已知两直线l1: x+(1+m) y =2m和l2:2mx+4y+16=0,m为何值时l1与l2相交平行解:例2. 已知两直线l1:(3a+2

7、) x+(14a) y +8=0和l2:(5a2)x+(a+4)y7=0垂直,求a值解:例3.求两条垂直直线l1:2x+ y +2=0和l2: mx+4y2=0的交点坐标解:例4. 已知直线l的方程为,(1)求过点(2,3)且垂直于l的直线方程;(2)求过点(2,3)且平行于l的直线方程。8. 两点间距离公式:设A(x1,y1)、B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,则|AB|=9. 点到直线距离公式:一点P(xo,yo)到直线l:Ax+By+C=0的距离10. 两平行直线距离公式例:已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则l1

8、与l2的距离为例1:求平行线l1:3x+ 4y 12=0与l2: ax+8y+11=0之间的距离。例2:已知平行线l1:3x+2y 6=0与l2: 6x+4y3=0,求与它们距离相等的平行线方程。11. 直线系方程已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,(A1与B1及A2与B2都不同时为零)若两直线相交,则过它们的交点直线方程可以表示为:l:A1x+B1y+C1+l(A2x+B2y+C2) =0或者l (A1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0都可以例1:直线l:(2m+1)x+(m+1)y7m4=0所经过的定点为 。(mR)例2:求满足下列条件

9、的直线方程(1) 经过点P(2,3)及两条直线l1: x+3y4=0和l2:5x+2y+1=0的交点Q;(2) 经过两条直线l1: 2x+y8=0和l2:x2y+1=0的交点且与直线4x3y7=0平行;(3) 经过两条直线l1: 2x3y+10=0和l2:3x+4y2=0的交点且与直线3x2y+4=0垂直;解:12. 中点坐标公式:已知两点P1 (x1,y1)、P1(x1,y1),则线段的中点M坐标为(,)例. 已知点A(7,4)、B(5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。13、对称问题:关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线

10、平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程),过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程)可解得所求对称点.注:曲线、直线关于一直线对称的解法:y换x,x换y. 例:曲线f(x ,y)=0关于直线y=x2对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 例1:已知直线l:2x3y+1=0和点P(1,2). (1) 分别求:点P(1,2)关于x轴、y轴

11、、直线y=x、原点O的对称点Q坐标(2) 分别求:直线l:2x3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程.(3) 求直线l关于点P(1,2)对称的直线方程。(4) 求P(1,2)关于直线l轴对称的直线方程。例2:点P(1,2)关于直线l: x+y2=0的对称点的坐标为 。例3:已知圆C1:(x+1)2+(y1)2=1与圆C2关于直线xy1=0对称,则圆C2的方程为: 。A. (x+2)2+(y2)2=1 B. (x2)2+(y+2)2=1 C. (x+2)2+(y+2)2=1 D. (x2)2+(y2)2=1基础训练A组一、选择题1设直线的倾斜角为,且,则满足( )ABCD

12、2过点且垂直于直线 的直线方程为( )A BC D3已知过点和的直线与直线平行,则的值为()A B C D4已知,则直线通过( )A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限5直线的倾斜角和斜率分别是( )A B C,不存在 D,不存在6若方程表示一条直线,则实数满足( )A B C D,二、填空题1点 到直线的距离是_.2已知直线若与关于轴对称,则的方程为_;若与关于轴对称,则的方程为_;若与关于对称,则的方程为_;3 若原点在直线上的射影为,则的方程为_。4点在直线上,则的最小值是_.5直线过原点且平分的面积,若平行四边形的两个顶点为,则直线的方程为_。三、解答

13、题1已知直线, (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线; (2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交; (3)系数满足什么条件时只与x轴相交; (4)系数满足什么条件时是x轴; (5)设为直线上一点,证明:这条直线的方程可以写成2求经过直线的交点且平行于直线的直线方程。3经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?请求出这些直线的方程。4过点作一直线,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为(数学2必修)第三章 直线与方程综合训练B组一、选择题1已知点,则线段的垂直平分线的方程是( )A B C D2若三点共线 则的值为() 3直线在轴上的截距是( )ABCD4直线,当变动

14、时,所有直线都通过定点( )A B C D5直线与的位置关系是( )A平行 B垂直 C斜交 D与的值有关6两直线与平行,则它们之间的距离为( )A B C D 7已知点,若直线过点与线段相交,则直线的斜率的取值范围是( )A B C D 二、填空题1方程所表示的图形的面积为_。2与直线平行,并且距离等于的直线方程是_。3已知点在直线上,则的最小值为 4将一张坐标纸折叠一次,使点与点重合,且点与点重合,则的值是_。设,则直线恒过定点 三、解答题1求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程。2 一直线被两直线截得线段的中点是点,当点分别为,时,求此直线方程。3、把函数在及之间的一段图象

15、近似地看作直线,设,证明:的近似值是:4直线和轴,轴分别交于点,在线段为边在第一象限内作等边,如果在第一象限内有一点使得和的面积相等, 求的值。(数学2必修)第三章 直线与方程提高训练C组一、选择题1如果直线沿轴负方向平移个单位再沿轴正方向平移个单位后,又回到原来的位置,那么直线的斜率是( )AB CD2若都在直线上,则用表示为( )A B C D 3直线与两直线和分别交于两点,若线段的中点为,则直线的斜率为( ) A B C D 4中,点,的中点为,重心为,则边的长为( )A B C D5下列说法的正确的是( )A经过定点的直线都可以用方程表示B经过定点的直线都可以用方程表示C不经过原点的直

16、线都可以用方程表示D经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示6若动点到点和直线的距离相等,则点的轨迹方程为( )A B C D二、填空题1已知直线与关于直线对称,直线,则的斜率是_.2直线上一点的横坐标是,若该直线绕点逆时针旋转得直线,则直线的方程是 3一直线过点,并且在两坐标轴上截距之和为,这条直线方程是_4若方程表示两条直线,则的取值是 5当时,两条直线、的交点在 象限三、解答题1经过点的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么?2求经过点的直线,且使,到它的距离相等的直线方程3已知点,点在直线上,求取得最小值时点的坐标。4求函数的最小值。第三章 直线和方程 答案 基础训练A组一、选择题

17、1.D 2.A 设又过点,则,即3.B 4.C 5.C 垂直于轴,倾斜角为,而斜率不存在6.C 不能同时为二、填空题1. 2. 3. 4. 可看成原点到直线上的点的距离的平方,垂直时最短:5. 平分平行四边形的面积,则直线过的中点三、解答题1. 解:(1)把原点代入,得;(2)此时斜率存在且不为零即且;(3)此时斜率不存在,且不与轴重合,即且;(4)且(5)证明:在直线上 。2. 解:由,得,再设,则 为所求。3. 解:当截距为时,设,过点,则得,即;当截距不为时,设或过点,则得,或,即,或这样的直线有条:,或。4. 解:设直线为交轴于点,交轴于点, 得,或 解得或 ,或为所求。第三章 直线和

18、方程 综合训练B组一、选择题 1.B 线段的中点为垂直平分线的,2.A 3.B 令则4.C 由得对于任何都成立,则5.B 6.D 把变化为,则7.C 二、填空题1. 方程所表示的图形是一个正方形,其边长为2.,或设直线为3. 的最小值为原点到直线的距离:4 点与点关于对称,则点与点 也关于对称,则,得5. 变化为 对于任何都成立,则三、解答题1.解:设直线为交轴于点,交轴于点, 得,或 解得或 ,或为所求。2.解:由得两直线交于,记为,则直线垂直于所求直线,即,或,或, 即,或为所求。1. 证明:三点共线, 即 即 的近似值是:2. 解:由已知可得直线,设的方程为 则,过 得第三章 直线和方程 提高训练C组一、选择题 1.A 2.D 3.D 4.A 5.D 斜率有可能不存在,截距也有可能为6.B 点在直线上,则过点且垂直于已知直线的直线为所求二、填空题1. 2. 的倾斜角为3.,或设4. 5.二 三、解答题1. 解:过点且垂直于的直线为所求的直线,即 2. 解:显然符合条件;当,在所求直线同侧时, ,或3. 解:设,则 当时,取得最小值,即4. 解:可看作点到点和点的距离之和,作点关于轴对称的点

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