小学五年级奥数知识点须知(DOC 21页).doc

1、小学五年级奥数知识点须知1.和差倍问题和差问题 和倍问题 差倍问题已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数公式适用范围 已知两个数的和；差；倍数关系公式 （和-差）2=较小数较小数+差=较大数和-较小数=较大数（和+差）2=较大数较大数-差=较小数和-较大数=较小数和（倍数+1）=小数小数倍数=大数和-小数=大数差（倍数-1）=小数小数倍数=大数小数+差=大数关键问题 求出同一条件下的和与差 和与倍数 差与倍数2.年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的;两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;两个人的年龄的倍数是发生变化的;3.归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量

2、；一般是那个“单一量”；题目一般用“照这样的速度”等词语来表示.关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量;4.植树问题基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树；两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树；两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树；只有一端植树 封闭曲线上植树基本公式 棵数=段数+1棵距段数=总长 棵数=段数-1棵距段数=总长 棵数=段数棵距段数=总长关键问题 确定所属类型；从而确定棵数与段数的关系5.鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题；就是把假设错的那部分置换出来;基本思路：假设；即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后；发生了和题目条件不

3、同的差；找出这个差是多少;每个事物造成的差是固定的；从而找出出现这个差的原因;再根据这两个差作适当的调整；消去出现的差.基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数=（兔脚数总头数-总脚数）（兔脚数-鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数=（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差.6.盈亏问题基本概念：一定量的对象；按照某种标准分组；产生一种结果：按照另一种标准分组；又产生一种结果；由于分组的标准不同；造成结果的差异；由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.基本思路：先将两种分配方案进行比较；分析由于标准的差异造成结果的变化；根据这个关系求出参加分配的总份数；然后根据题意

4、求出对象的总量.基本题型：一次有余数；另一次不足;基本公式：总份数=（余数+不足数）两次每份数的差当两次都有余数;基本公式：总份数=（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都不足;基本公式：总份数=（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的.关键问题：确定对象总量和总的组数.7.牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份；根据两次不同的吃法；求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因；即可确定草的生长速度和总草量.基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;关键问题：确定两个不变的量.基本公式：生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（

5、长时间-短时间）;总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量;8.周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中；某些特征有规律循环出现.周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期.关键问题：确定循环周期.闰 年：一年有366天;年份能被4整除;如果年份能被100整除；则年份必须能被400整除;平 年：一年有365天.年份不能被4整除;如果年份能被100整除；但不能被400整除;基本公式：平均数=总数量总份数总数量=平均数总份数总份数=总数量平均数平均数=基准数+每一个数与基准数差的和总份数基本算法：求出总数量以及总份数；利用基本公式进行计算.基准数法：根据给出的数之间的关系；确定一个基

6、准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准；求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和；就是所求的平均数；具体关系见基本公式.10.抽屉原理抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里；那么必有一个抽屉中至少放有2个物体.例：把4个物体放在3个抽屉里；也就是把4分解成三个整数的和；那么就有以下四种情况：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1观察上面四种放物体的方式；我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体；也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体.抽屉原则二：如果把n

7、个物体放在m个抽屉里；其中nm；那么必有一个抽屉至少有：k=n/m +1个物体：当n不能被m整除时.k=n/m个物体：当n能被m整除时.理解知识点：X表示不超过X的最大整数.例4.351=4;0.321=0;2.9999=2;关键问题：构造物体和抽屉.也就是找到代表物体和抽屉的量；而后依据抽屉原则进行运算11.定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号；这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算.基本思路：严格按照新定义的运算规则；把已知的数代入；转化为加减乘除的运算；然后按照基本运算过程、规律进行运算.关键问题：正确理解定义的运算符号的意义.注意事项：新的运算不一定符合运算规律；特别注意运算顺

8、序.每个新定义的运算符号只能在本题中使用.等差数列：在一列数中；任意相邻两个数的差是一定的；这样的一列数；就叫做等差数列.基本概念：首项：等差数列的第一个数；一般用a1表示;项数：等差数列的所有数的个数；一般用n表示;公差：数列中任意相邻两个数的差；一般用d表示;通项：表示数列中每一个数的公式；一般用an表示;数列的和：这一数列全部数字的和；一般用Sn表示.基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ；an； d； n；sn；通项公式中涉及四个量；如果己知其中三个；就可求出第四个;求和公式中涉及四个量；如果己知其中三个；就可以求这第四个.基本公式：通项公式：an = a1+（n-1）d;通项=首项+

9、（项数一1） 公差;数列和公式：sn；= （a1+ an）n2;数列和=（首项+末项）项数2;项数公式：n= （an+ a1）d+1;项数=（末项-首项）公差+1;公差公式：d =（an-a1）（n-1）;公差=（末项-首项）（项数-1）;关键问题：确定已知量和未知量；确定使用的公式;13.二进制及其应用十进制：用09十个数字表示；逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义；十位上的2表示20；百位上的2表示200.所以234=200+30+4=2102+310+4.=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102

10、+A2101+A1100注意：N0=1;N1=N（其中N是任意自然数）二进制：用01两个数字表示；逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义.（2）= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120注意：An不是0就是1.十进制化成二进制：根据二进制满2进1的特点；用2连续去除这个数；直到商为0；然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可.先找出不大于该数的2的n次方；再求它们的差；再找不大于这个差的2的n次方；依此方法一直找到差为0；按照二进制展开式特点即可写出.14.加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成

11、一件任务有n类方法；在第一类方法中有m1种不同方法；在第二类方法中有m2种不同方法；在第n类方法中有mn种不同方法；那么完成这件任务共有：m1+ m2. +mn种不同的方法.关键问题：确定工作的分类方法.基本特征：每一种方法都可完成任务.乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行；做第1步有m1种方法；不管第1步用哪一种方法；第2步总有m2种方法不管前面n-1步用哪种方法；第n步总有mn种方法；那么完成这件任务共有：m1m2. mn种不同的方法.关键问题：确定工作的完成步骤.基本特征：每一步只能完成任务的一部分.直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动；形成的轨迹.直线特点：没有端点

12、；没有长度.线段：直线上任意两点间的距离.这两点叫端点.线段特点：有两个端点；有长度.射线：把直线的一端无限延长.射线特点：只有一个端点;没有长度.数线段规律：总数=1+2+3+（点数一1）;数角规律=1+2+3+（射线数一1）;数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数=11+22+33+行数列数15.质数与合数质数：一个数除了1和它本身之外；没有别的约数；这个数叫做质数；也叫做素数.合数：一个数除了1和它本身之外；还有别的约数；这个数叫做合数.质因数：如果某个质数是某个数的约数；那么这个质数叫做这个数的质因数.分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来；叫做分解质因数.

13、通常用短除法分解质因数.任何一个合数分解质因数的结果是唯一的.分解质因数的标准表示形式：N=；其中a1、a2、a3an都是合数N的质因数；且a1 p求约数个数的公式：P=（r1+1）（r2+1）（r3+1）（rn+1）互质数：如果两个数的最大公约数是1；这两个数叫做互质数.16.约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除；a叫做b的倍数；b就叫做a的约数.公约数：几个数公有的约数；叫做这几个数的公约数;其中最大的一个；叫做这几个数的最大公约数.最大公约数的性质：1、 几个数都除以它们的最大公约数；所得的几个商是互质数.2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数.3、 几个数的公约数；都是这几个

14、数的最大公约数的约数.4、 几个数都乘以一个自然数m；所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m.例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有：1、2、3、6、9、18;那么12和18的公约数有：1、2、3、6;那么12和18最大的公约数是：6；记作（12；18）=6;求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数；然后把相同的因数连乘起来.2、短除法：先找公有的约数；然后相乘.3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除；能够整除的那个余数；就是所求的最大公约数.公倍数：几个数公有的倍数；叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个；叫做这几个数的最小公倍数.12的倍数有：12

15、、24、36、48;18的倍数有：18、36、54、72;那么12和18的公倍数有：36、72、108;那么12和18最小的公倍数是36；记作12；18=36;最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数.2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法17.数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a；除以一个自然数b；得到一个整数商c；而且没有余数；那么叫做a能被b整除或b能整除a；记作b|a.2、常用符号：整除符号“|”；不能整除符号“”;因为符号“”；所以的符号“”;二、整除判断方法

16、：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除.2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除.3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除.4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除.5. 能被7整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除.6. 能被11整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除.奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除.7. 能被13整除：末三位上数字所

17、组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除.逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除.三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除；那么（a+b）与（a-b）也能被c整除.2. 如果a能被b整除；c是整数；那么a乘以c也能被b整除.3. 如果a能被b整除；b又能被c整除；那么a也能被c整除.4. 如果a能被b、c整除；那么a也能被b和c的最小公倍数整除.18.余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r；如果使得ab=qr；且0 p余数的性质：余数小于除数.若a、b除以c的余数相同；则c|a-b或c|b-a.a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的

18、和除以c的余数.a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数.19.余数、同余与周期一、同余的定义：若两个整数a、b除以m的余数相同；则称a、b对于模m同余.已知三个整数a、b、m；如果m|a-b；就称a、b对于模m同余；记作ab（mod m）；读作a同余于b模m.二、同余的性质：自身性：aa（mod m）;对称性：若ab（mod m）；则ba（mod m）;传递性：若ab（mod m）；bc（mod m）；则a c（mod m）;和差性：若ab（mod m）；cd（mod m）；则a+cb+d（mod m）；a-cb-d（mod m）;相乘性：若a b（mod m

19、）；cd（mod m）；则ac bd（mod m）;乘方性：若ab（mod m）；则anbn（mod m）;同倍性：若a b（mod m）；整数c；则ac bc（mod mc）;三、关于乘方的预备知识：若A=ab；则MA=Mab=（Ma）b若B=c+d则MB=Mc+d=McMd四、被3、9、11除后的余数特征：一个自然数M；n表示M的各个数位上数字的和；则Mn（mod 9）或（mod 3）;一个自然数M；X表示M的各个奇数位上数字的和；Y表示M的各个偶数数位上数字的和；则MY-X或M11-（X-Y）（mod 11）;五、费尔马小定理：如果p是质数（素数）；a是自然数；且a不能被p整除；则ap-

20、11（mod p）.20.分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“1”平均分成几份；表示这样的一份或几份的数.分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外）；分数的大小不变.分数单位：把单位“1”平均分成几份；表示这样一份的数.百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数.常用方法：逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考.对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系.转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答.最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率.常见的处理方法是确

21、定不同的标准为一倍量.假设思维方法：为了解题的方便；可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立；计算出相应的结果；然后再进行调整；求出最后结果.量不变思维方法：在变化的各个量当中；总有一个量是不变的；不论其他量如何变化；而这个量是始终固定不变的.有以下三种情况：A、分量发生变化；总量不变.B、总量发生变化；但其中有的分量不变.C、总量和分量都发生变化；但分量之间的差量不变化.替换思维方法：用一种量代替另一种量；从而使数量关系单一化、量率关系明朗化.同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理.浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况.21.分数大小的比较基本方法：通分

22、分子法：使所有分数的分子相同；根据同分子分数大小和分母的关系比较.通分分母法：使所有分数的分母相同；根据同分母分数大小和分子的关系比较.基准数法：确定一个标准；使所有的分数都和它进行比较.分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时；分子或分母越大的分数值越大.倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小；除了运用以上方法外；可以用同倍率的变化关系比较分数的大小.（具体运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较.倍数比较法：用一个数除以另一个数；结果得数和1进行比较.大小比较法：用一个分数减去另一个分数；得出的数和0比较.倒数比较法：利用倒数比较

23、大小；然后确定原数的大小.基准数比较法：确定一个基准数；每一个数与基准数比较.22.分数拆分一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式： =+;=+（d为自然数）;23.完全平方数完全平方数特征：1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立.2. 除以3余0或余1;反之不成立.3. 除以4余0或余1;反之不成立.4. 约数个数为奇数;反之成立.5. 奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立.6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数.7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数.平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完

24、全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y224.比和比例比：两个数相除又叫两个数的比.比号前面的数叫比的前项；比号后面的数叫比的后项.比值：比的前项除以后项的商；叫做比值.比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外）；比值不变.比例：表示两个比相等的式子叫做比例.a:b=c:d或比例的性质：两个外项积等于两个内项积（交叉相乘）；ad=bc.正比例：若A扩大或缩小几倍；B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时）；则A与B成正比.反比例：若A扩大或缩小几倍；B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时）；则A与B成反比.比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺.按比例分配：把几个数按一定比例分成几

25、份；叫按比例分配.25.综合行程基本概念：行程问题是研究物体运动的；它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.基本公式：路程=速度时间;路程时间=速度;路程速度=时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向.相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间=路程差速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程=（船速+水速）顺水时间逆水行程=（船速-水速）逆水时间顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速静水速度=（顺水速度+逆水速度）2水 速=（顺水速度-逆水速度）2流水问题：关键是确定物体所运动的速度；参照以上公式.过桥问题：关键是确定物体所运动的路程；参照以上公式.主要方法

26、：画线段图法基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量；求第三个量.26.工程问题基本公式：工作总量=工作效率工作时间工作效率=工作总量工作时间工作时间=工作总量工作效率基本思路：假设工作总量为“1”（和总工作量无关）;假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数）；利用上述三个基本关系；可以简单地表示出工作效率及工作时间.关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系.经验简评：合久必分；分久必合.27.逻辑推理基本方法简介：条件分析假设法：假设可能情况中的一种成立；然后按照这个假设去判断；如果

27、有与题设条件矛盾的情况；说明该假设情况是不成立的；那么与他的相反情况是成立的.例如；假设a是偶数成立；在判断过程中出现了矛盾；那么a一定是奇数.条件分析列表法：当题设条件比较多；需要多次假设才能完成时；就需要进行列表来辅助分析.列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中；表格的行、列分别表示不同的对象与情况；观察表格内的题设情况；运用逻辑规律进行判断.条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时；就可用连线表示两个对象之间的关系；有连线则表示“是；有”等肯定的状态；没有连线则表示否定的状态.例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态；有连线表示认识；没有表示不认识.逻辑计算：在推理的过程中

28、除了要进行条件分析的推理之外；还要进行相应的计算；根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件.简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据；分析其中存在的规律和方法；并从特殊情况推广到一般情况；并递推出相关的关系式；从而得到问题的解决.28.几何面积基本思路：在一些面积的计算上；不能直接运用公式的情况下；一般需要对图形进行割补；平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等；使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律.常用方法：1. 连辅助线方法2. 利用等底等高的两个三角形面积相等.3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点；解题时可把任意点设置在特殊位置上）.4.

29、利用特殊规律等腰直角三角形；已知任意一条边都可求出面积.（斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积）梯形对角线连线后；两腰部分面积相等.圆的面积占外接正方形面积的78.5%.29.立体图形名称 图形 特征 表面积 体积长方体 8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等; S=2（ab+ah+bh） V=abh=Sh正方体 8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有棱相等; S=6a2 V=a3圆柱体 上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形; S=S侧+2S底S侧=Ch V=Sh圆锥体 下底是圆;只有一个顶点;l：母线；顶点到底圆周上任意一点的距离; S=S侧+S底S侧=rl V=Sh球体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径. S=4r2 V=r330.时钟问题快慢表问题基本思路：1、 按照行程问题中的思维方法解题;2、 不同的表当成速度不同的运动物体;3、 路程的单位是分格（表一周为60分格）;4、 时间是标准表所经过的时间;合理利用行程问题中的比例关系;21 / 21