高中数学学业水平测试必背知识点汇总(DOC 27页).doc

1、高中数学学业水平测试必背知识点必修一一、 集合与函数概念 并集：由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作：AB交集：由集合A和集合B的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作：AB补集：就是作差。1、集合的子集个数共有个；真子集有1个；非空子集有1个；非空的真子有2个. 2、求的反函数：解出，互换，写出的定义域；函数图象关于y=x对称。3、（1）函数定义域：分母不为0；开偶次方被开方数；指数的真数属于R、对数的真数.4、函数的单调性：如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)（）f(x2)，那么就说f(x)在区间

2、D上是增（减）函数，函数的单调性是在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质。5、奇函数：是，函数图象关于原点对称（若在其定义域，则）；偶函数：是，函数图象关于y轴对称。6、指数幂的含义及其运算性质：（1）函数叫做指数函数。（2）指数函数当 为减函数，当 为增函数；。（3）指数函数的图象和性质 0 a 1图 象性质定义域R值域(0 , +)定点过定点（0，1），即x = 0时，y = 1（1）a 1，当x 0时，y 1；当x 0时，0 y 1。（2）0 a 0时，0 y 1；当x 1。单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性和关于y轴对称奇偶性非奇非偶函数7、对数函数的含义及其运算性质：（1

3、）函数叫对数函数。（2）于对数函数当 为减函数，当 为增函数；负数和零没有对数；1的对数等于0 ：；底真相同的对数等于1：，（3）对数的运算性质：如果a 0 , a 1 , M 0 , N 0，那么：； ；。（4）换底公式：(5)对数函数的图象和性质：0 a 1图象定义域(0 , +)值域R性质（1）过定点（1，0），即x = 1时，y = 0（2）在R上是减函数（2）在R上是增函数（3）同正异负，即0 a 1 , 0 x 1 , x 1时，log a x 0；0 a 1或a 1 , 0 x 1时，log a x 0，）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做

4、这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间，它叫做振动的周期；单位时间往复振动的次数，它叫做振动的频率；叫做相位，叫做初相（即当x0时的相位）。二、平面向量 1、平面向量的概念：在平面，具有大小和方向的量称为平面向量向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量的大小称为向量的模（或长度），记作模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作方向相同且模相等的向量称为相等向量2、实数与向量的积的运算律：设、为实数，那么(1) 结合律：()=();(2)第一分配律：(+) =+;(3)第二分配律：()

5、= +.3、向量的数量积的运算律：(1) = （交换律）;(2)（） = （）= =（）;(3)（）= +.4、平面向量基本定理：如果、是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 =1 +2不共线的向量、叫做表示这一平面所有向量的一组基底5、坐标运算：（1）设，则数与向量的积：，数量积：（2）、设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.（终点减起点）6、平面两点间的距离公式：（1） =（2）向量的模|：；（3）、平面向量的数量积： ， 注意：，（4）、向量的夹角，则， （）7、重要结论：（1）、两个向量平行： ， （2）、两个非零向量

6、垂直 （3）、P分有向线段的：设P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且 ， 则定比分点坐标公式 中点坐标公式三、空间向量1、空间向量的概念：（空间向量与平面向量相似）在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向向量的大小称为向量的模（或长度），记作模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作方向相同且模相等的向量称为相等向量2、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为

7、的长度是的长度的倍3、设，为实数，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：；结合律：4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线5、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使6、平行于同一个平面的向量称为共面向量7、向量共面定理：空间一点位于平面的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任一定点，有；或若四点，共面，则8、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，则称为向量，的夹角，记作两个向量夹角的取值围是：9、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作10、已知两个非零向量和，则称

8、为，的数量积，记作即零向量与任何向量的数量积为11、等于的长度与在的方向上的投影的乘积12、若，为非零向量，为单位向量，则有；，；13、量数乘积的运算律：；14、空间向量基本定理：若三个向量，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得15、三个向量，不共面，则所有空间向量组成的集合是这个集合可看作是由向量，生成的，称为空间的一个基底，称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底16、设，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，的公共起点为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重

9、合，得到向量存在有序实数组，使得把，称作向量在单位正交基底，下的坐标，记作此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标17、设，则 若、为非零向量，则若，则，则18、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，则，异面垂直时19、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，则，20、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量21、法向量的定义：垂直于平面或者垂直于线的向量（方向不管）。22、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则，法向量的计算方法一：已知,设面平ABC的一个法向量为，由面ABC得所以： ;所以 即 上面两个方程，要解三个未知数，为了计算方便，取z（或x或y）等于一个数，可求

10、出另两个未知数，得出平面的一个法向量。方法二：若，则平面ABC的一个法向量为： y1 z1 z1 x1 x1 y1 ( )y2 z2 ，z2 x2 ，x2 y2 =（y1z2-y2z1，z1x2-z2x1，x1y2-x2y1）立体几何中的向量方法 -距离问题一、求点到平面的距离1（一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度；2还可以用等积法求距离；3向量法求点到平面的距离.在中，又（其中为斜向量，为法向量）二、直线到平面的距离 转化为点到线的距离：（其中为斜向量，为法向量）三、平面到平面的距离 也是转化为点到线的距离：（其中为斜向量，为法向量）四、异面直线的距

11、离如图，异面直线也是转化为点到线的距离：（其中为两条异面直线上各取一点组成的向量，是与都垂直的向量）例1如图，在正方体中，棱长为1，为的中点，求下列问题：（1） 求到面的距离；解：如图，建立空间直角坐标系，则，设为面的法向量则取，得，选点到面的斜向量为得点到面的距离为（2）求到面的距离；(3) 求面与面的距离；(4) 求异面直线与的距离. 都垂直的向量，则，取，得一个法向量为 选的两点向量得的距离为练习1：B1A1BC1AC1如图在直三棱柱中，, ，求点到面的距离. 2已知棱长为1的正方体，求平面和平面间的距离3已知棱长为1的正方体，求直线和间的距离。4已知棱长为1的正方体中，、分别是和的中点

12、，求点 到平面的距离。5如图在直三棱柱中，求点到面的距离. 6在直三棱柱中，分别为的中点，且 （） 求到面的距离；（）（） 求到面的距离（）立体几何中的向量方法 -空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角（）求异面直线所成的角设、分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角 =（）求线面角设是斜线l的方向向量，是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角=（）求二面角法一、在，在，其方向如图，则二面角的平面角=法二、设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角=例如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱的中点 （）求异面直线

13、所成的角；（II）求和面EFBD所成的角；（III）求到面EFBD的距离解：（）记异面直线所成的角为，则等于向量的夹角或其补角，（II）如图建立空间坐标系，则，设面的法向量为由得又记和面EFBD所成的角为则 和面EFBD所成的角为（III）点到面EFBD的距离等于向量在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，例2如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱，点是的中点，作交于点. （1）求证：； （2）求证： （3）求二面角的大小.练习：在正四面体中，棱长为，E,分别为SA和BC的中点，求异面直线BE和SF所成的角（）在边长为的菱形ABCD中，将菱形沿对角线AC折起，使 折起后BD，求二面角的余弦值（）典

14、型例题：1已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 。 。2在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小3.如图，在五棱锥PABCDE中，平面ABCDE，AB/CD，AC/ED，AE/BC，三角形PAB是等腰三角形。 （）求证：平面PCD 平面PAC； （）求直线PB与平面PCD所成角的大小； （）求四棱锥PACDE的体积。必修五：一、解三角形：（1）三角形的面积公式：（2）正弦定理：（3）、余弦定理： （4）求角： 二. 数列1、数列的前n项和：；

15、 数列前n项和与通项的关系：2、等差数列 ：（1）、定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数；（2）、通项公式： （其中首项是，公差是；）（3）、前n项和： （d0）（4）、等差中项： 是与的等差中项： 或，三个数成等差常设：a-d，a，a+d3、等比数列：（1）、定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（）。（2）、通项公式：（其中：首项是，公比是）（3）、前n项和：（4）、等比中项： 是与的等比中项：， 即（或，等比中项有两个）三：不等式1、重要不等式：（1） 或 (当且仅当ab时取“=”号)2、均值不等式：（2） 或 (当且仅当ab时取“=”号)一正、二定、三相等注意：解指数、对数不等式的方法：同底法，同时对数的真数大于0；