图形与证明.ppt

1、安阳市曙光学校安阳市曙光学校 赵艳芹赵艳芹 三角形三角形 图形的相似图形的相似 四边形四边形圆圆1 1、证明三角形全等、证明三角形全等 1、证明三角形全等 1、证明三角形全等 2、利用三角形全等证明线段相等、利用三角形全等证明线段相等 3、利用三角形全等推出角相等，进、利用三角形全等推出角相等，进而综合运用说明线段垂直或平行而综合运用说明线段垂直或平行。FEPCDBA例例2：（：（2005 荆州市）如图：荆州市）如图：ABCD内有一点内有一点E，满足满足EDAD于点于点D，EBC=EDC，ECB=45；请找出与；请找出与BE相等的一条线段，并相等的一条线段，并予以证明。予以证明。AEBCD例例

2、3（2005 苏州市）（苏州市）（1）如图一：等边）如图一：等边ABC中，中，D是是AB边上的动点，以边上的动点，以CD为边向上作等边为边向上作等边EDC，连接连接AE。求证：。求证：AEBC（2）如图二：将（）如图二：将（1）中等边）中等边ABC 的形状改成以的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作为底边的等腰三角形，所作EDC改成相似于改成相似于ABC。请问：是否仍有。请问：是否仍有AEBC？证明你的结论。？证明你的结论。BDACE图一图一 ECBDA图二图二【复习建议】：【复习建议】：1、对于三角形的基本知识和基本方法要清晰、条、对于三角形的基本知识和基本方法要清晰、条理，要熟练掌握全等

3、三角形的性质与判定，等腰三理，要熟练掌握全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质与判定等。角形的性质与判定，直角三角形的性质与判定等。2、证明两线段或两角相等的重要途径是利用等腰、证明两线段或两角相等的重要途径是利用等腰三角形的性质或证明两三角形全等。若所在的三角三角形的性质或证明两三角形全等。若所在的三角形不全等，就要添加辅助线，构造全等三角形，所形不全等，就要添加辅助线，构造全等三角形，所以要掌握常用的辅助线作法。以要掌握常用的辅助线作法。3、要注意总结三角形的有关知识在综合题中的应、要注意总结三角形的有关知识在综合题中的应用，培养分析问题和解决问题的能力。用，培养

4、分析问题和解决问题的能力。1、证明三角形全等 1、证明三角形全等 例例1：多项选择（：多项选择（2005 黄冈）如图，黄冈）如图，ABC中，中，AB=AC，D为为BC的中点，的中点，E为为AD上任意一点，过上任意一点，过C作作CFAB交交BE的延的延长线于长线于F，交，交AC于于G，连接，连接CE。下列结论中正确的有。下列结论中正确的有（ACD）A、AD平分平分BAC B、BE=CF C、BE=CE D、若、若BE=5，GE=4，则，则GF=9/4DGEFCBA注注：D选项用到了平行线分线段选项用到了平行线分线段成比例定理。成比例定理。例例2：（：（2005 山东潍坊）如图：山东潍坊）如图：A

5、D是是ABC的角平分线，的角平分线，延长延长AD交交ABC的外接圆的外接圆O于点于点E，过，过C、D、E三点的圆与三点的圆与AC的延长线交于点的延长线交于点F，连接，连接EF、DF（1）求证：）求证：AEFFED；（2）若）若AD=6，DE=3，求，求EF的长；的长；（3）若）若DEBE，试判断，试判断ABE的形状，并说明理由。的形状，并说明理由。O1OFEDCBA【复习建议】：【复习建议】：1、复习时要落实基础，要熟练掌握相似三角形的、复习时要落实基础，要熟练掌握相似三角形的判定与性质，注意字母的对应，在证明没有用相似判定与性质，注意字母的对应，在证明没有用相似符号联结的两个三角形相似时，要

6、进行分类讨论，符号联结的两个三角形相似时，要进行分类讨论，并要注意这部分知识与直角三角形及函数和面积问并要注意这部分知识与直角三角形及函数和面积问题的衔接。题的衔接。2、运用相似形的知识解决一些联系实际的问题，、运用相似形的知识解决一些联系实际的问题，要能够在理解题意的基础上把它转化为数学问题，要能够在理解题意的基础上把它转化为数学问题，注重培养学生建模的思想。注重培养学生建模的思想。3、在圆的综合题中要注意相似形的知识的灵活运、在圆的综合题中要注意相似形的知识的灵活运用，并熟练掌握等线段代换、等比代换、等积代换用，并熟练掌握等线段代换、等比代换、等积代换的技巧的应用，培养学生综合运用知识的能

7、力。的技巧的应用，培养学生综合运用知识的能力。1 1、证明四边形的形状、证明四边形的形状 1、证明三角形全等 1、证明三角形全等 2、运用四边形的性质进行探究、运用四边形的性质进行探究 例例1：（：（2005 江西）如图：江西）如图：AB是是 O的直径，的直径，C、E是圆周上是圆周上关于关于A、B对称的两个不同点。对称的两个不同点。CDABEF，BC与与AD交于交于M。AF与与BE交于交于N。（。（1）在）在A、B、C、D、E、F六点中能六点中能构成矩形的四个点有哪些？请一一列出（不要求证明）构成矩形的四个点有哪些？请一一列出（不要求证明）（2）求证：四边形）求证：四边形AMBN是菱形。是菱形

8、。OMNFEDCBA注：注：“夹在两条平行弦夹在两条平行弦间的弧相等间的弧相等”这个结论这个结论北师大教材中没有以定北师大教材中没有以定理的形式给出。理的形式给出。例例2：(2005 湖北省宜昌市湖北省宜昌市)如图所示：已知如图所示：已知 ABC的高的高AE=5，BC=40/3，ABC=45，点，点F是高是高AE上的点，点上的点，点G是点是点E关关于于F的对称点。过点的对称点。过点G作作BC的平行线与边的平行线与边AB交于点交于点H，与边，与边AC交于点交于点I，连结，连结IF并延长交边并延长交边BC于点于点J，连结，连结HF并延长交并延长交边边BC于点于点K。（1）请你探索并判断四边形）请你

9、探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得是怎样的四边形？并对你得到的结论予于证明；到的结论予于证明；（2）当点）当点F在在AE上运动并使点上运动并使点H、I、K、J都在都在 ABC的三条的三条边上时，求线段边上时，求线段AF长的取值范围？长的取值范围？AECBHGIJKFAECB例例1：（：（2005 山东潍坊）如图：已知平行四边形山东潍坊）如图：已知平行四边形ABCD及四及四边形外一直线边形外一直线L，四个顶点，四个顶点A、B、C、D到直线到直线L的距离分别的距离分别为为a、b、c、d。（1）观察图形，猜想得出）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？满足怎样的关系式？证明

10、你的结论。证明你的结论。（2）现将）现将L向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论。况写出你的结论。L1C1B1D1A1DCBA注：注：平行线分线段成平行线分线段成比例定理北师大教材没比例定理北师大教材没有介绍，梯形中位线知有介绍，梯形中位线知识也没有以定理形式给识也没有以定理形式给出出。【复习建议】：【复习建议】：1、要掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形性质、要掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形性质和判定，并注意它们之间的区别和联系。和判定，并注意它们之间的区别和联系。2、有关梯形的证明和计算问题逐渐成为中考命题、有关梯形的证明和计算

11、问题逐渐成为中考命题的热点内容，这部分内容经常需要添加辅助线，所的热点内容，这部分内容经常需要添加辅助线，所以要掌握常规的辅助线的添加方法，达到把梯形的以要掌握常规的辅助线的添加方法，达到把梯形的问题转化为三角形或四边形的目的。问题转化为三角形或四边形的目的。例例1：（：（2005 黄冈）如图，已知，黄冈）如图，已知，O的弦的弦AB垂直于直径垂直于直径CD，垂足为，垂足为F，点，点E在在AB上，且上，且EA=EC。（1）求证：求证：；（2）延长）延长EC到点到点P，连结，连结PB，若，若PB=PE，试判断，试判断PB与与 O的位置关系，并说明理由。的位置关系，并说明理由。2ACAE ABFOD

12、CBAEF例例2：（：（2005 荆州市）如图：半圆荆州市）如图：半圆O 为为ABCABC的外接圆，的外接圆，ACAC为直为直径，点径，点D D为劣弧为劣弧BCBC上一动点。点上一动点。点P P在在CBCB延长线上且有延长线上且有 BAP=BDABAP=BDA。(1)(1)求证：求证：APAP为半圆为半圆O O的切线；的切线；(2)当其他条件不变时，问添加一个什么条件后，有当其他条件不变时，问添加一个什么条件后，有 成立？请说明理由；成立？请说明理由；(3)如图所示，在满足（如图所示，在满足（2）问的前提下，若）问的前提下，若ODBC于点于点H，BE=2，EC=4，连结，连结PD，请探究四边形

13、，请探究四边形ABDO是什么特殊四边是什么特殊四边形，并求形，并求tanDPC的值。的值。2BDBE BCDPBAOCBDEPAHOC【复习建议】：【复习建议】：1、要全面掌握圆的基本知识和基本方法，重点内、要全面掌握圆的基本知识和基本方法，重点内容包括：垂径定理及其推论的应用，直线与圆的位容包括：垂径定理及其推论的应用，直线与圆的位置关系，尤其是切线的判定与性质。置关系，尤其是切线的判定与性质。2、圆的综合题，圆与代数的综合题是中考命题的、圆的综合题，圆与代数的综合题是中考命题的重中之重，要加大训练的力度，并注重综合运用知重中之重，要加大训练的力度，并注重综合运用知识的能力培养。识的能力培养

14、。3、对于出现的一些新的题型要密切注意，加强这、对于出现的一些新的题型要密切注意，加强这方面的训练和知识的梳理，作到未雨绸缪。方面的训练和知识的梳理，作到未雨绸缪。题目原形题目原形1：如图，如图，ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BDBD是是ACAC边上的高，点边上的高，点F F是是BCBC上任意上任意一点，过一点，过F F作作FGBAFGBA于于G G，FHACFHAC于于H H，求证：，求证：FG+FH=BDFG+FH=BDBHGFDCA一题多解，一题多变，多题一法一题多解，一题多变，多题一法 以少胜多，解一题会一类以少胜多，解一题会一类中考改编题：中考改编题：已知：等边已知：等边

15、ABCABC和点和点P P到到ABCABC三边三边ABAB、ACAC、BCBC的距离分别是的距离分别是h h1 1、h h2 2、h h3 3，ABCABC的高为的高为h h，若点，若点P P在一边在一边BCBC上（如图上（如图1 1），此），此时时h h3 3=0=0，可得结论：，可得结论：h h1 1+h h2 2+h h3=3=h h，请直接应用上述信息解决，请直接应用上述信息解决下列问题：当点下列问题：当点P在在ABCABC内（如图内（如图2 2）及点及点P P在在ABCABC外（如外（如图图3 3）这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请给予证）这两种情况时，上述结论是否成立？若成

16、立，请给予证明，若不成立，明，若不成立，h h1 1、h h2 2、h h3 3与与h h之间又有怎样的关系，请写出之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明。你的猜想，不需证明。PMCBADE图图1 1CBAPMDEF图图2 2CDPBAMEF图图3 3题目原形题目原形2：已知：如图已知：如图1，等边，等边ABCABC的边长为的边长为a,a,点点P P是是ABCABC内任一内任一点，过点，过P P作作PEACPEAC，PDBC,PFAB,PDBC,PFAB,求证：求证：PE+PD+PF=a.PE+PD+PF=a.CBEFADP（图（图1）自编题：自编题：探究：已知：如图探究：已知：如图1

17、1，等，等边边ABCABC的边长为的边长为a a，点，点P P是边是边BCBC上的任上的任一点，过一点，过P P作作PEACPEAC，PFABPFAB，容易证明：，容易证明：PE+PF=a.PE+PF=a.(1)(1)如图如图2 2，当点，当点P P是三角形内任一点时，过点是三角形内任一点时，过点P P作作作作PEACPEAC，PDBC,PFABPDBC,PFAB，猜想：，猜想：PEPE、PDPD、PFPF与与a.a.之怎样的关系？并证之怎样的关系？并证明你的结论。明你的结论。(2)(2)如图如图3 3，当点，当点P P位于等边位于等边ABCABC的外部时，其他条件不变，的外部时，其他条件不变

18、，PEPE、PDPD、PFPF与与a a又有怎样的关系？直接写出结论，不用证明。又有怎样的关系？直接写出结论，不用证明。ACFPBE（图（图1）BEFADP（图（图2）CDCAEPBF（图（图3）题目原形题目原形3 3：已知：已知：ABCABC中中B=90B=900 0，AB=BCAB=BC，BD=CEBD=CE，M M是是ACAC边边的中点，求证：的中点，求证：DEMDEM是等腰三角形。是等腰三角形。DEBCMA中考改编题中考改编题:(2003 广州市广州市)如图如图,在在RtABCABC中，中，AB=BCAB=BC，BAC=90BAC=900 0，D D为为 BCBC的中点的中点 （1 1

19、）写出点）写出点D D到到ABCABC的三个顶点的三个顶点A A、B B、C C的距离，（不要的距离，（不要求证明）求证明）（2 2）如果点）如果点M M、N N分别在线段分别在线段ABAB、ACAC上移动，在移动中保持上移动，在移动中保持AN=BMAN=BM，请判断，请判断DMNDMN的形状，并证明你的结论。的形状，并证明你的结论。NMABDC改编改编1：操作：操作：在在ABCABC中，中，AC=BC=2AC=BC=2，C=90C=90，将一块三角板的直角顶点，将一块三角板的直角顶点放在斜边放在斜边ABAB的中点的中点P P处，将三角板绕处，将三角板绕P P点旋转，三角板的两直角边分点旋转，

20、三角板的两直角边分别交射线别交射线ACAC，射线，射线CBCB于于D D、E E两点，图两点，图1 1，图，图2 2，图，图3 3是旋转三角板得到是旋转三角板得到的图形中的其中三种。的图形中的其中三种。探究：探究：（1）三角板绕）三角板绕P点旋转，观察线段点旋转，观察线段PD与与PE之间有什么大小关之间有什么大小关系？它们的关系为系？它们的关系为 ，并以图，并以图2为例加以证明。为例加以证明。（2）三角板绕）三角板绕P点旋转点旋转PBEPBE是否能成为等腰三角形，若能指出所有是否能成为等腰三角形，若能指出所有的情况（即能求出的情况（即能求出PBEPBE为等腰三角形时的为等腰三角形时的CECE的

21、长）若不能，请说明的长）若不能，请说明理由。理由。DCEAPBDCAPBEEBPACD改编改编2 2：操作：在操作：在ABCABC中，中，AC=BCAC=BC，C=90C=90，将一块三角板的直角顶点放，将一块三角板的直角顶点放在斜边在斜边ABAB的的M M处，且处，且AMAM：MB=1MB=1：3 3，将三角板绕，将三角板绕M M点旋转，三角板的点旋转，三角板的两直角边分别交射线两直角边分别交射线ACAC，射线，射线CBCB于于D D、E E两点，图两点，图1 1、图、图2 2、图、图3 3是旋是旋转三角板得到的图形中的其中三种，转三角板得到的图形中的其中三种，探究：（探究：（1 1）三角板

22、绕）三角板绕M M点旋转，猜想线段点旋转，猜想线段MDMD与与MEME之间有怎样的数量之间有怎样的数量关系？它们的关系为关系？它们的关系为 。并以图。并以图2 2为例，加以证明。为例，加以证明。（2 2）猜想：三角板的顶点在斜边上任意一点移动（不与）猜想：三角板的顶点在斜边上任意一点移动（不与A A、B B重合）重合）时，时，MDMDME=ME=。DACEMB图图1DACEMB图图2MDACEB图图31、如图，、如图，EGAF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题

23、（只需写出一种情况）。情况）。AB=AC DE=DF BE=CF已知：已知：EGAF，=，=。求证求证:BEGAFCD模拟题：模拟题：2、如图，、如图，ABC中，点中，点D、E分别在边分别在边AB、AC上，连上，连接接DE并延长交并延长交BC的延长线于点的延长线于点F，连接，连接DC、BE。若。若BDE+BCE=180BDE+BCE=180，（1）写出图中三对相似三角形。（注意：不得添加字母）写出图中三对相似三角形。（注意：不得添加字母和线）和线）（2）请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们）请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由。相似的理由。EDBACF 3 3、如图，

24、已知、如图，已知M M、N N两点在正方形两点在正方形ABCDABCD的对角线的对角线BDBD上移上移动，动，MCNMCN为定值角为定值角a a，连接，连接AMAM、ANAN并延长，分别交并延长，分别交BCBC、CDCD于于E E、F F两点，则两点，则CMECME与与CNFCNF在在M M、N N两点移动过程中，两点移动过程中，它们的和是否有变化？证明你的结论。它们的和是否有变化？证明你的结论。NMAFDCEB4、如图，将一把三角尺放在边长为如图，将一把三角尺放在边长为1的正方形的正方形ABCD上，并使上，并使它的直角顶点在对角线它的直角顶点在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点上滑动，直

25、角的一边始终经过点B，另一边与射线另一边与射线DC相交于点相交于点Q，探究；设，探究；设A、P两点间的距离为两点间的距离为x,（1）当点）当点Q在边在边CD上时，线段上时，线段PQ与线段与线段PB之间有怎样的大小之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论关系？试证明你观察得到的结论（2）当点）当点Q在边在边CD上时，设四边形上时，设四边形PBCQ的面积为的面积为y,求求y与与x之之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当点）当点P在线段在线段AC上滑动时，上滑动时，PCQPCQ是否可能成为等腰三角是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使形？如果可能，指出所有能使PCQPCQ成为等腰三角形的点成为等腰三角形的点Q Q的位的位置，并求出相应的置，并求出相应的x值，试说明理由。（值，试说明理由。（图图1、图、图2、图、图3的形状相同，的形状相同，图图1供操作实验用，图供操作实验用，图2、图、图3备用备用）DCBADCBADCBA