11任意角和弧度制课件.ppt

1、知识回顾:同学们同学们,我们回顾一下学过的这些角我们回顾一下学过的这些角:知识回顾:角的定义角的定义1:1:平面内从一个点平面内从一个点出发引出的两条射线构成的出发引出的两条射线构成的几何图形几何图形.这种这种静态定义静态定义是从图形是从图形形状来定义角，因此角的范形状来定义角，因此角的范围是围是0,3600,360同学们在现实生活中有没有见过不在同学们在现实生活中有没有见过不在0360范范围的角？围的角？现实生活中：如现实生活中：如体操、跳水、体操、跳水、滑冰滑冰等比赛中，常常听到等比赛中，常常听到“转体转体720度度”、“转体转体1080度度”这样的解说这样的解说时钟的时针、分针转动和调准

2、时钟的时针、分针转动和调准时间时顺时针、逆时针拨转角时间时顺时针、逆时针拨转角度度主从动轮转动角主从动轮转动角思考思考：这些旋转形成的角该如何表示呢：这些旋转形成的角该如何表示呢?为此我们要引入角的新定义，才能为此我们要引入角的新定义，才能表示上述那些角。表示上述那些角。要准确地表示这些角要准确地表示这些角,不仅要知道旋转不仅要知道旋转量，还要知道旋转方向，这就需要对量，还要知道旋转方向，这就需要对角的概念进行推广。角的概念进行推广。(一一)角的新定义角的新定义 角是由平面内一条射线绕其端点从一角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形个位置旋转到另一个位置所组成的图形

3、.A AOB B始边始边终边终边顶点顶点 一条射线绕其端点旋转，既可以按逆一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转旋转.而且可以旋转任意大小，这样就而且可以旋转任意大小，这样就可以描述任意大小的角。可以描述任意大小的角。按按逆时针逆时针方向旋转所形成的角方向旋转所形成的角.按按顺时针顺时针方向旋转所形成的角方向旋转所形成的角.如如=-50.=-50.没有作任何旋转没有作任何旋转的角的角.记记=0.正角：正角：负角：负角：零角零角：(二二)正角、负角、零角的定义正角、负角、零角的定义:从角的定义我们知道，顺时针旋转形成角，逆时从角的定义

4、我们知道，顺时针旋转形成角，逆时针旋转也形成角。为了方便针旋转也形成角。为了方便,规定：规定：OA（B）问题问题1：钟表经过钟表经过4小时，时针与分针各小时，时针与分针各转转 (填度填度).问题：如果你的手表慢了问题：如果你的手表慢了2020分钟，或分钟，或快了快了1.251.25小时，你应该将分针分别旋转小时，你应该将分针分别旋转多少度才能将时间校准？多少度才能将时间校准？120120，450450（或（或-3870-3870度）度）.120120，-1440-1440.思考思考1 1：为了进一步研究角的需要，我们为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶常在直角坐标系内

5、讨论角，并使角的顶点与原点重合点与原点重合,角的始边与角的始边与x x轴的非负半轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？可能落在哪些位置？xoy象限角象限角：角的顶点为坐标原点，角的始边为：角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。几象限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为任何象限，或称这个角为轴线角轴线角.那么下列各角：那么下列各角：-50，

6、405，210,-200，450分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？50 xyoxyo210 xyo405xyo200 xyo（三）象限角与轴线角三）象限角与轴线角问题问题2 2：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？第二象限的角一定比第一象限的角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限象限角只能反映角的终边所在象限(位位置置)，不能反映角的大小，不能反映角的大小.问题问题1：锐角是第几象限的角？第一象限的角锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？的角是锐角吗？第一 不是 不是不一定练习：课本5页 3题090090090901809090的角：锐角：

7、钝角：小于的角：（可以是锐角零角注意区别：或负角）思考思考1 1：3232，328328，392392是第几是第几象限的角？这些角有什么内在联系？象限的角？这些角有什么内在联系？392xyo o32800032832360 00039232360 与与32角终边相同的角有多少个？角终边相同的角有多少个？这些角与这些角与32角在数量上相差多少？角在数量上相差多少？0032360,kkZ（四）终边相同的角（四）终边相同的角32思考思考2 2：所有与所有与3232角终边相同的角，角终边相同的角，连同连同3232角在内，可构成一个集合角在内，可构成一个集合S S，你能用描述法表示集合你能用描述法表示集

8、合S S吗？吗？S=|=S=|=k k360360，kZkZ，即任一与即任一与终边相同的角，都可以表示终边相同的角，都可以表示成角成角与整数个周角的和与整数个周角的和.思考思考3 3：一般地，所有与角一般地，所有与角终边相同的终边相同的角，连同角角，连同角在内所构成的集合在内所构成的集合S S可以怎可以怎样表示？样表示？0032360,SkkZ (3)终边相同的角不一定相等，但相等终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们有无数多个，它们相差相差360的整数倍的整数倍注意以下三点：注意以下三点：Zk(1)(2)是是任意角任意角

9、；例题分析例例1在在0360范围内，找出与下列各角范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们分别是第几象限角终边相同的角，并判定它们分别是第几象限角.(2)1560(3)95012(4)1120小结：小结：1.1.在在0 0到到360360度（度（02)02)内找与已知角终边相同的角，内找与已知角终边相同的角，方法是：方法是：用所给角除以用所给角除以3603600 0(2)(2)所给角是所给角是正正的：按通常的除法进行；的：按通常的除法进行；所给角是所给角是负负的：度数除以的：度数除以3603600 0(2(2），商是负数，它的绝对值），商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大

10、应比被除数为其相反数时相应的商大1 1，以便使余数为正值。，以便使余数为正值。2.2.判断一个角是第几象限角，判断一个角是第几象限角，方法是：方法是：把所给角把所给角 改写成改写成 ：0 0+k+k 3603600 0 (KZ,0(KZ,00 0 0 03603600 0)的形式，的形式，0 0在第在第几象限几象限,就是第几象限角。就是第几象限角。0 0 +k+k22(KZ,0(KZ,0 0 02 2)2360720SS例、写出下列各角终边相同的角的集合，并把 中适合不等式的元素表示出来。(1)60、(2)21、(3)36314、作业:课本9页 1、3题练习：课本5页 2题 4题 5题 下列说

11、法正确的是下列说法正确的是()A终边相同的角一定相等终边相同的角一定相等B|是锐角是锐角|090C第一象限角都是锐角第一象限角都是锐角D小于小于90的角都是锐角的角都是锐角角的概念的推广角的概念的推广变式训练变式训练1.下列命题：下列命题：第一象限角一定不是负角；第一象限角一定不是负角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角是钝角；第二象限角是钝角；小于小于180的角是钝角、直角或锐角；的角是钝角、直角或锐角；正角大于负角正角大于负角其中真命题的序号为其中真命题的序号为_(把你认为正把你认为正确的命题的序号都写上确的命题的序号都写上)l 写出终边在Y轴上的角的集合 分析

12、:首先写出在Y轴的正半轴上的角的集合,然后写出在Y轴的负半轴上的角的集合解答:终边在Y轴的正半轴上的角的集合为终边在Y轴的负半轴上的角的集合为xyoxyo终边相同的角终边相同的角l所以,终边在Y轴上的角的集合为12SSS00|902180,kkZ 000|901802 180,kk Z 00|902180,kkZ 00|90(21)180,kk Z|90180,nn Z xyo巩固与提高l写出终边在X轴上的角的集合l写出终边在坐标轴上的角的集合xyoxyo小结小结:终边在坐标轴上的角的集合。终边在坐标轴上的角的集合。（见优化方案7页）00|225360,SkkZ 00|45360,kkZ 00

13、|45180,kkZ 所以终边在Y=x上的角的集合是xyoy=x45036045 225yxxyx解：如图，在直角坐标系中画出直线，可以发现它与 轴的夹角是，在的范围内，终边在直线上的角有两个：、。l 写出终边在直线 y=x 上的角的集合S,并把S中适合不等式 的元素 写出来.360720l中适合的元素l452x180=-315l 451x180=-135l 45+0 x180=45l 45+1x180=225l 45+2x180=405l 45+3x180=58500360720S=|=45S=|=45k k180180，kZ.kZ.(确定整数k)优化方案 6页 例2【点评点评】写出终边落在

14、某条过原点写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合有两种方法：的直线上的角的集合有两种方法：一是分别写出每条终边所代表的角一是分别写出每条终边所代表的角的集合，再取并集；二是在其中一的集合，再取并集；二是在其中一条终边上找出一个角，然后再加上条终边上找出一个角，然后再加上 的整数倍。的整数倍。180 用集合的形式表示象限角用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为第一象限的角表示为第二象限的角表示为第二象限的角表示为第三象限的角表示为第三象限的角表示为第四象限的角表示为第四象限的角表示为|k 360 k 360+90，（，（k Z）|k 360+90 k 360+180，（，（k Z）|k360

15、+180k360+270，（kZ）|k360+270k360+360，（kZ）或|k36090k360，（kZ）象限角及区间角的表示象限角及区间角的表示xyoxyo4560210写出下图中阴影部分区域所表示的角的集合写出下图中阴影部分区域所表示的角的集合xyo60150 xyo60注意：注意：表示区间角时，要注意区分角的始边、终边所表表示区间角时，要注意区分角的始边、终边所表示角的大小关系示角的大小关系一般小角在前，大角在后。一般小角在前，大角在后。防防止出现如下错误：止出现如下错误：|k360120k36060关于原点对称的两个区域，两边同时加上关于原点对称的两个区域，两边同时加上180k【

16、解】【解】是第二象限的角，是第二象限的角，k36090k360180(kZ).(1)2k36018022k360360(kZ)，2是第三或第四象限的角或终边在是第三或第四象限的角或终边在y轴轴的非正半轴上的角的非正半轴上的角互动探究互动探究另外，在解决 所在象限的问题还可用这样的方法：见优化方案 7页k作业：1、课本9-10页 4、5题2、优化方案：8页 随堂自测3、课时作业本：83-84度量长度可以用米、英尺、码等不同的度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、磅等不单位制，度量重量可以用千克、磅等不同的单位制。不同的单位制能给人解决同的单位制。不同的单位制能给人解决问题

17、带来方便。角的度量是否也能用不问题带来方便。角的度量是否也能用不同的单位制呢？同的单位制呢？1、度量角的单位制、度量角的单位制113603601规定周角的为 的角。即把一个圆的圆周分为份，每一份所对的圆心角为 的角。为了使用方便，数学上还采用另一种度量角的单为了使用方便，数学上还采用另一种度量角的单位制位制弧度制弧度制我们知道，角可以用我们知道，角可以用度度为单位进行度量，那为单位进行度量，那么，么，1度的角度的角是怎样规定的呢？是怎样规定的呢？（1）、角度制）、角度制这种用度作为单位来度量角的单位制叫做这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制角度制由公式知：当半径不同时，同样的圆心角所对的

18、弧长与半径的比是常数.642-2-4-6-8-10-10-551015终边终边始边始边半径弧长弧长半径136.632.094.982.38O拖动点增减角的大小拖动点增减角的大小A642-2-4-6-8-10-10-551015终边终边始边始边半径弧长弧长半径136.633.418.142.38O拖动点增减角的大小拖动点增减角的大小A称这个常数为该角的弧度数.在初中我们学习过弧长公式：180n rl(2)、弧度制弧度制我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。弧度的角。1弧度弧度单位符号是 rad,读作弧度。用弧度作为用弧度作为单位来度量单位来度量角

19、的单位制角的单位制叫做叫做弧度制弧度制。在半径为R的圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为,所以周角的弧度数为，周角是rad 的角.2 R22同理，平角是rad的角；直角是rad的角。2思考：思考：（3）角的弧度数的求法）角的弧度数的求法正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是是一个负数；零角的弧度数是0.rl如果半径为 的圆的圆心角 所对的弧长为，那么，角 的弧度数的绝对值是lr 的正负由角 的终边的旋转方向决定。（弧度数公式（弧度数公式)2 2、角度制与弧度制的换算、角度制与弧度制的换算 用用“弧度弧度”与与“度度”去度量每一个去度

20、量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算的结果，二者就可以相互换算 若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，其弧度数是，而在角度制里它是，2360rad2360因此 1度角等于多少弧度？度角等于多少弧度？1弧度角等于多少度？弧度角等于多少度？57.301180rad0.01745rad1801rad度度180=rad即例1、把下列角度化成弧度。306012067 30题型一题型一 角度制与弧度制的转化角度制与

21、弧度制的转化=333sinsin60.32rad（2）今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数。例如，角2就表示 是2rad的角。sin就表示的角的正弦，即(1):以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少的形式，如无特别要求注意，不需把 化成小数。角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键180例2、把下列弧度化成角度。415235180=180由它可以得到：度数弧度数，弧度数（）度数角度弧度0601201352704265230写出一些特殊角的弧度数写出一些特殊角的弧度数 6453903243150180233600课堂练习：课本 9页 1、2题作业：1

22、、课本 10页 7、8题（本子上）2、优化方案 9页 例1及变式训练（书上）题型二题型二 用弧度表示角的集合用弧度表示角的集合用弧度表示与角 终边相同的角的集合=+解：【点评】【点评】用弧度制表示终边相同的角用弧度制表示终边相同的角2k(kZ)时时，2k是是的偶数倍，而不只是整数倍的偶数倍，而不只是整数倍；同时，；同时，为弧度为弧度，不能写成，不能写成2k()的形式的形式即弧度和角度在一个式即弧度和角度在一个式子中不能混用。子中不能混用。例3、把下列各角化成的形式，并指出它们分别是哪个象限的角。kk，20219(1)325(2)77(3)6(4)315例例4 (1)用弧度表示顶点在原点，始边与

23、用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图不包括边界，如图)；(2)把把1480写成写成2k(kZ)的形式，其中的形式，其中02.(2)把把1480写成写成2k(kZ)的形式，其中的形式，其中02.互动探究互动探究2.若若4，0，且，且与本例与本例(2)中中终边相同，求终边相同，求.1把下列各角化成的形式：kk，202补充练习：补充练习：316405711（1）；（2）；（3）下列角的终边相同的是（）A4kkk，42与与与与B322kk，3C2kkk，2D 12kkk，3B)()12(2|.3kx

24、xA已知66|xxB BA:则则如如图图解解:066 2 2,2,1,3,2时时或或当当时时当当 已超出已超出.)6,6(的的范范围围 xxx0,6|或把下列各角化成的形式，并指出它们分别是哪个象限的角。kk，202作业(1)12011(2)323(3)613(4)53、弧长公式和扇形面积公式、弧长公式和扇形面积公式(1)180n Rl弧长公式：lRn（为圆心角的度数）（为圆心角的弧度数）（2）扇形面积公式：2=360n RS扇1=2SlR扇21=2SR扇n（为圆心角的度数）（为圆心角的弧度数）例例62(1)232半径为 的圆中，弧度的圆心角所对的弧长是长为 的弧所对的圆心角的弧度数是431(

25、2)7220cm如果一扇形的圆心角为，半径等于，则扇形的面积为280 cm(3)圆的一段弧长等于该圆内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为（）CA 、B、C、D、32332例71206OABcm已知扇形的圆心角 为，半径为，求扇形的弧长及所含弓形的面积。120AOB6 例例8、一扇形的周长为一扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？角各取什么值时，才能使扇形面积最大？互动探究互动探究3.扇形的周长为扇形的周长为20，面积为面积为24，求扇形的圆，求扇形的圆心角心角【点评】【点评】涉及扇形的周长、弧长、圆心角涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量，求哪些量，然后灵活运用扇形的弧长些量，求哪些量，然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程公式、面积公式直接求解或列方程(组组)求解求解1)已知扇形的周长为10cm,面积为4cm,求扇形的圆心角的弧度数。（2）已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积取得最大？最大面积是多少？作业：作业：1、（做在本子上）