2020年中考数学总复习：代数压轴综合题课件.pptx

1、2020年中考数学总复习代数压轴综合题1.(2019北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.1a11,2a中考真题解析解析(1)抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,点A的坐标为.将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B的坐标为.(2)点B在抛物线上,4a+2b-=-,即b=-2a.抛物线的对称轴为x=1.(3)点A,B,P.当a0时,-

2、0,如图1.1a10,a12,a12,a1a1a10,a12,a11,2a1a图1图2令抛物线上的点C.当x1时,y随x的增大而减小,yC1).1,2Cy1a当x1时,y随x的增大而增大,xD2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.当a0时,(i)当-a2,如图2.121a令抛物线上的点C.当x-.令抛物线上的点D(xD,2)(xD1).当x1时,y随着x的增大而减小,xD2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.(ii)当a=-时,A(0,2),B(2,2),P,Q(2,2),如图3.1,2Cy1a121,22图3图4结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点Q(2,

3、2).(iii)当a-时,0-2,如图4.121a令抛物线上的点C.当x-.令抛物线上的点D(xD,yD),当x1时,y随x的增大而减小,1,2Cy1a11,DDxya xD0时,如图1.2ba22aa图1将x=5代入抛物线的解析式得y=12a,12a4,a.a4,a-.若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.43图3将点(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a,a=-1.综上所述,a或a-或a=-1.1343思路分析思路分析(1)先求B点坐标,由B点向右平移5个单位长度确定C点坐标.(2)确定A点坐标,代入抛物线的解析式,利用公式确定对称轴.(3)结合图象和抛物线的对

4、称性解答.解题关键解题关键解决本题第(3)问的关键是要先确定题目中抛物线所过的定点,进而通过临界点求出a的取值范围.同时不要忽略抛物线顶点是公共点的情况.3.(2017北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式;(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3).若x1x2x3,结合函数的图象,求x1+x2+x3的取值范围.解析解析(1)令y=0,即0=x2-4x+3,解得x=1或x=3.抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点

5、A在点B的左侧),点A,B的坐标分别为(1,0),(3,0).令x=0,得y=3.抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点C,点C的坐标为(0,3).设直线BC的表达式为y=kx+b,k0,解得直线BC的表达式为y=-x+3.(2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.30,3,kbb1,3,kb 由题意可知,点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2)关于直线x=2对称,x2-2=2-x1,x1+x2=4.由x1x2x3,结合函数的图象,可得-1y30,即-1-x3+30,解得3x34.7x1+x2+x3y1,则x2的取值范围是;(2)已知

6、点P(-1,2),将点P向右平移4个单位长度,得到点Q.当n=3时,若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求m的取值范围.解析解析(1)m=2,抛物线为y=x2-2x+n.x=-=1,抛物线的对称轴为直线x=1.(1分)当x=1时,y=1-2+n=n-1,顶点的纵坐标为n-1.(2分)由开口方向向上可知当x2y1;由对称轴为x=1可知,当x24时,y2y1,所以x24.(4分)(2)点P(-1,2)向右平移4个单位得到点Q,点Q的坐标为(3,2).n=3,抛物线为y=x2-mx+3.当抛物线经过点Q(3,2)时,2=32-3m+3,解得m=.当抛物线经过点P(-1,2)时,2=(-1

7、)2+m+3,解得m=-2.22103当抛物线的顶点在线段PQ上时,=2,解得m=2.结合图象可知(图略),m的取值范围是m-2或m=2或m.(6分)2124m103思路分析思路分析本题(1)需要关注对称轴与顶点的关系;(2)中恰有一个公共点,有两种情况,一种是相交,另一种是相切,即顶点在线段PQ上.解题关键解题关键解决本题的关键是画出y=x2-mx+3的示意图:画出的图象开口方向、大小都不变,与y轴交点也不变,进而借助图象进行观察.5.(2019北京东城一模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=mx2-6mx+9m+1(m0).(1)求抛物线的顶点坐标;(2)若抛物线与x轴的两个交

8、点分别为A和B(点A在点B的左侧),且AB=4,求m的值;(3)已知四个点C(2,2),D(2,0),E(5,-2),F(5,6),若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点,请直接写出m的取值范围.解析解析(1)y=mx2-6mx+9m+1=m(x2-6x+9)+1=m(x-3)2+1.抛物线的顶点坐标为(3,1).(2分)(2)对称轴为x=3,且AB=4,A(1,0),B(5,0),将A(1,0)代入抛物线,可得m=-.(4分)(3)m.(6分)提示:分别将C(2,2),F(5,6)代入抛物线表达式得m=1,m=,将D(2,0),E(5,-2)代入抛物线表达式得m=-1,m=-,因为没有公共

9、点,所以图象开口应更小,即m的绝对值更大,所以m.14545434546.(2019北京朝阳一模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2x+a-3,当a=0时,抛物线与y轴交于点A,将点A向右平移4个单位长度,得到点B.(1)求点B的坐标;(2)将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折,图象的其他部分保持不变,得到一个新的图象,记为图形M,若图形M与线段AB恰有两个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.解析解析(1)当a=0时,抛物线表达式为y=x2-2x-3,当x=0时,y=-3,点A的坐标为(0,-3).(1分)点B的坐标为(4,-3).(2分)(2)如图1,当a=

10、0时,图形M与线段AB恰有三个公共点,如图2,当a=-3时,图形M与线段AB恰有一个公共点,图1如图3,当a=1时,图形M与线段AB恰有两个公共点,图2图3由图象可知,当-3a0或a=1时,图形M与线段AB恰有两个公共点.(6分)思路分析思路分析本题(2)要理解“在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折”的含义,尝试画出各种情况的示意图.7.(2019北京丰台一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c过原点和点A(-2,0).(1)求抛物线的对称轴;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点B,记抛物线与直线AB围成的封闭区域(不含边界)为W.当a=1时,求出区域W内的整

11、点个数;若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,直接写出a的取值范围.30,2解析解析(1)抛物线y=ax2+bx+c过原点(0,0)和点A(-2,0),抛物线的对称轴为x=-1.(1分)(2)抛物线y=ax2+bx+c经过原点(0,0)和点A(-2,0),c=0,b=2a.抛物线解析式可化为y=ax2+2ax.a=1时,抛物线解析式为y=x2+2x.(2分)抛物线的顶点为(-1,-1).由图象知(图略),区域W内的整点个数为2.(3分)a或1a2或-4a0时,图象经过(-1,-2),则a=2,1a2;图象经过(1,2),(1,1),分别得到a=,a=,a;(2)当a0时,图象经过(-1,4),

12、(-1,3)时,分别得到a=-4,a=-3,-4a-3.1323231313238.(2019北京石景山一模,26)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+1(k0)经过点A(2,3),与y轴交于点B,与抛物线y=ax2+bx+a的对称轴交于点C(m,2).(1)求m的值;(2)求抛物线的顶点坐标;(3)N(x1,y1)是线段AB上一动点,过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点P(x2,y2),Q(x3,y3)(点P在点Q的左侧).若x2x10时,如图,2ba若抛物线过点B(0,1),则a=1.结合函数图象可得0a1.当a0时,不符合题意.综上所述,a的取值范围是0a1.(6分)9.(2019

13、北京通州一模,26)已知二次函数y=x2-ax+b在x=0和x=4时的函数值相等.(1)求二次函数y=x2-ax+b的对称轴;(2)过P(0,1)作x轴的平行线与二次函数y=x2-ax+b的图象交于不同的两点M、N.当MN=2时,求b的值;当PM+PN=4时,请结合函数图象,直接写出b的取值范围.解析解析(1)二次函数y=x2-ax+b在x=0和x=4时的函数值相等.对称轴为直线x=2.(1分)(2)不妨设点M在点N的左侧.对称轴为直线x=2,MN=2,点M的坐标为(1,1),点N的坐标为(3,1).(2分)-=2,1=1-a+b.a=4,b=4.(4分)1b0时,当a=1时,抛物线在点A,B

14、之间的部分与线段AB所围成的区域内恰有7个整点.当a=时,抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内有6个整点.结合函数图象可得a1.(5分)当a0时,同理可得-1a-.a的取值范围是-1a-或0时,把A(-1,6)代入y=ax2-4ax+1,得a=1,a1,当a0时,将点(2,6)代入y=ax2-4ax+1,得a=-,a-,2ba42aa5454综上,当抛物线与线段AB始终有两个公共点时,a1或ay1y2.(3)当OAP=90时,抛物线经过点P(3,3),m1=1,m2=5(舍).(4分)当AOP=90时,抛物线经过点P(0,3),m1=-2,m2=2(舍).若OAP为钝角三角形,m

15、的取值范围为m1或m0时,当二次函数C2的图象经过点A(-3,1)时,k=,当二次函数C2的图象经过点B(1,1)时,k=,k.(5分)当k0时,C2的图象与线段AB相切,切点坐标为,解得k=-4.(6分)12161216121,12综上所述,k或k=-4.161215.(2019北京怀柔二模,26)在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与抛物线y=ax2-(3+a)x+3(a0)交于A,B两点,并且OA0,OB=4时,B(4,4).可得a=.当a0,OB=2时,B(2,2).可得a=,a.(4分)同理可得当a0时,-a-,a或-a-.(6分)21312252131252116192013125

16、12116192016.(2019北京丰台二模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C1:y=ax2-2ax-3a(a0)和点A(0,-3).将点A先向右平移2个单位,再向上平移5个单位,得到点B.(1)求点B的坐标;(2)求抛物线C1的对称轴;(3)把抛物线C1沿x轴翻折,得到一条新抛物线C2,抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G.若图象G与线段AB恰有一个交点时,结合图象,求a的取值范围.解析解析(1)B(2,2).(1分)(2)抛物线C1对称轴为x=-=1.(3分)(3)当抛物线C1:y=ax2-2ax-3a过点A(0,-3)时,-3a=-3,解得a=1.(4分)当抛物线C1:y

17、=ax2-2ax-3a过点(0,-2)时,-3a=-2,解得a=.(5分)由图象知(图略),a的取值范围是-1a-或a1.(6分)22aa23232317.(2019北京海淀二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2-2ax+3与直线l:y=kx+b交于A,B两点,且点A在y轴上,点B在x轴的正半轴上.(1)求点A的坐标;(2)若a=-1,求直线l的解析式;(3)若-3k0时,当a=3时,抛物线C过点B(1,0),此时k=-3.结合函数图象可得a3.当a0时,当a=-1时,抛物线C过点B(3,0),此时k=-1.结合函数图象可得a-1.综上所述,a的取值范围是a3.18.(20

18、19北京顺义二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2+2mx-3(m0)与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,该抛物线的顶点D的纵坐标是-4.(1)求点A、B的坐标;(2)设直线l与直线AC关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的表达式;(3)平行于x轴的直线b与抛物线交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),与直线l交于点P(x3,y3).若x1x30)的顶点D的纵坐标是-4,=-4,解得m=1,y=x2+2x-3,令y=0,则x1=-3,x2=1,A(-3,0),B(1,0).(2分)(2)由题意,抛物线的对称轴为x=-1,点C(0,-3)的对称点坐标是E(-2

19、,-3),点A(-3,0)的对称点坐标是B(1,0),设直线l的表达式为y=kx+b,点E(-2,-3)和点B(1,0)在直线l上,解得直线l的表达式为y=x-1.(4分)21244mmm23,0.kbkb 1,1.kb(3)由对称性可知x2-(-1)=-1-x1,得x1+x2=-2,结合图象可得-2x31,-4x1+x2+x30时,依题意得解得a;(ii)当a0时,依题意得解得a-2.综上,a0时,截得的线段长为,令2,解得m;当m0时,截得的线段长为,令2,解得m-.3322(1)(1)1m 22(1)(1)1m 322(1)(1)1m22(1)(1)1m3思路分析思路分析解决本题最后一问

20、需要借助勾股定理,用含m的式子表示出截得的线段长.21.(2018北京海淀一模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2ax+b的顶点在x轴上,P(x1,m),Q(x2,m)(x1x2)是此抛物线上的两点.(1)若a=1,当m=b时,求x1,x2的值;将抛物线沿y轴平移,使得它与x轴的两个交点间的距离为4,试描述出这一变化过程;(2)若存在实数c,使得x1c-1,且x2c+7成立,则m的取值范围是.解析解析抛物线y=x2-2ax+b的顶点在x轴上,=0,b=a2.(1)a=1,b=1.抛物线的解析式为y=x2-2x+1.m=b=1,令x2-2x+1=1,解得x1=0,x2=2.依

21、题意,设平移后的抛物线为y=(x-1)2+k.抛物线的对称轴是直线x=1,平移后与x轴的两个交点之间的距离是4,(3,0)是平移后的抛物线与x轴的一个交点,(3-1)2+k=0,即k=-4.变化过程:将原抛物线向下平移4个单位.(2)m16.提示:根据题意可知,点P、Q间的距离大于8,又因为P、Q两点关于直线x=a对称,因此x2a+4,将x=a+4,y=m24(2)4ba 代入函数解析式得m=16,所以m16.22.(2018北京朝阳一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax-4(a0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A,B的坐标;(2)若方程ax2-4a

22、x-4=0(a0)有两个不相等的实数根,且两根都在1,3之间(包括1,3),结合函数的图象,求a的取值范围.解析解析(1)y=ax2-4ax-4=a(x-2)2-4a-4.令x=0,得y=-4,A(0,-4).抛物线的对称轴为直线x=2,B(2,0).(2)当抛物线经过点(1,0)时,a=-,当抛物线经过点(2,0)时,a=-1.结合函数图象可知,a的取值范围为-a-1.434323.(2018北京丰台一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a的最高点的纵坐标是2.(1)求抛物线的对称轴及抛物线的表达式;(2)将抛物线在1x4之间的部分记为图象G1,将图象G1沿直线x

23、=1翻折,翻折后的图象记为G2,图象G1和G2组成图象G.过点(0,b)作与y轴垂直的直线l,当直线l和图象G只有两个公共点时,将这两个公共点分别记为P1(x1,y1),P2(x2,y2),求b的取值范围和x1+x2的值.解析解析(1)抛物线y=ax2-4ax+3a=a(x-2)2-a,抛物线的对称轴为直线x=2.抛物线最高点的纵坐标是2,a=-2.抛物线的表达式为y=-2x2+8x-6.(2)由图象可知,b=2或-6b0.由图象的对称性可得x1+x2=2.思路分析思路分析解决本题第二问需要先画出示意图,通过观察解决.解题关键解题关键解决本题第二问的关键是要根据示意图寻找临界点,求x1+x2时

24、要借助抛物线的对称性.24.(2018北京石景山一模,26)在平面直角坐标系xOy中,将抛物线G1:y=mx2+2(m0)向右平移个单位长度后得到抛物线G2,点A是抛物线G2的顶点.(1)直接写出点A的坐标;(2)过点(0,)且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B,C两点.当BAC=90时,求抛物线G2的表达式;若60BAC120,直接写出m的取值范围.333解析解析(1)A(,2).(2)设抛物线G2的表达式为y=m(x-)2+2,如图所示,设抛物线的对称轴与直线l的交点为D,由题意可得AD=2-=.BAC=90,AB=AC,ABD=45,BD=AD=,点B的坐标为(0,).33333333

25、3点B在抛物线G2上,m(0-)2+2=,解得m=-.抛物线G2的表达式为y=-(x-)2+2,即y=-x2+2x+.-m-.提示:当BAC=60时,ABD=60,可得BD=1,点B的坐标为(-1,),进而可求得m=-.当BAC=120时,ABD=30,可得BD=3,点B的坐标为(-3,),进而可求得m=-,所以m的取值范围为-m-.333333333333339333333933925.(2018北京东城二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-3(a0)经过点A(-1,0)和点B(4,5).(1)求该抛物线的表达式;(2)求直线AB关于x轴的对称直线的表达式;(3)点P

26、是x轴上的动点,过点P作垂直于x轴的直线l,直线l与抛物线交于点M,与直线AB交于点N.当PMPN时,求点P的横坐标xP的取值范围.解析解析(1)把点(-1,0)和(4,5)分别代入y=ax2+bx-3(a0),得解得抛物线的表达式为y=x2-2x-3.(2)设点B(4,5)关于x轴的对称点为B,则点B的坐标为(4,-5).设所求直线的表达式为y=mx+n,m0,把点(-1,0)和(4,-5)分别代入y=mx+n,得解得直线AB关于x轴的对称直线的表达式为y=-x-1.(3)设直线AB与抛物线y=x2-2x-3交于点C,直线l与直线AB的交点为N,则PN=PN.PMPN,PMPN.03,516

27、43,abab1,2.ab 0,54,mnmn 1,1.mn 点M在线段NN上(不含端点).点M在抛物线y=x2-2x-3夹在点C与点B之间的部分上.联立y=x2-2x-3与y=-x-1,可得点C的横坐标为2.又点B的横坐标为4,点P的横坐标xP的取值范围为2xp0),若当-2n-1时,总有x1-x3x3-x20,请结合函数的图象,直接写出k的取值范围.解析解析(1)x=2.(2)抛物线y=ax2-4ax+a-1的对称轴为直线x=2,抛物线M与x轴的交点为A,B(点A在点B左侧),AB=2,A,B两点的坐标分别为A(1,0),B(3,0),点A在抛物线M上,将A(1,0)的坐标代入抛物线的函数

28、表达式,得a-4a+a-1=0,解得a=-.抛物线M的函数表达式为y=-x2+2x-.(3)k.提示:如下图,x30,直线l与y轴的交点在点(0,-2)上方,又直线l过抛物线的顶点D,根据图象可知,k=.1212325412,212202 5427.(2018北京海淀二模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,1),B(-1,1),C(m,n),其中n1,以点A,B,C为顶点的平行四边形有三个,记第四个顶点分别为D1,D2,D3,如图所示.(1)若m=-1,n=3,则点D1,D2,D3的坐标分别是(),(),();(2)是否存在点C,使得点A,B,D1,D2,D3在同一条抛物线上?若

29、存在,求出点C的坐标;若不存在,说明理由.解析解析(1)D1(-3,3),D2(1,3),D3(-3,-1).(2)不存在.理由如下:假设存在满足条件的点C,即A,B,D1,D2,D3在同一条抛物线上,则线段AB的垂直平分线x=-2即为这条抛物线的对称轴,而D1,D2在直线y=n上,则D1D2的中点C也在抛物线的对称轴上,故m=-2,即点C的坐标为(-2,n).由题意得D1(-4,n),D2(0,n),D3(-2,2-n).注意到D3在抛物线的对称轴上,故D3为抛物线的顶点.设抛物线的表达式是y=a(x+2)2+2-n.当x=-1时,y=1,代入得a=n-1.所以y=(n-1)(x+2)2+2

30、-n.令x=0,得y=4(n-1)+2-n=3n-2=n,解得n=1,与n1矛盾.所以不存在满足条件的点C.28.(2017北京西城一模,27)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2-(2m+1)x+m-5的图象与x轴有两个公共点.(1)求m的取值范围;(2)若m取满足条件的最小的整数.写出这个二次函数的解析式;当nx1时,函数值y的取值范围是-6y4-n,求n的值;将此二次函数图象平移,使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x-h)2+k,当x-且m0.m的取值范围是m-且m0.(2)m取满足条件的最小的整数,m=1.二次函数的解析式为y=x2-3x-4.图

31、象的对称轴为直线x=.当nx1时,函数值y随自变量x的增大而减小,函数值y的取值范围是-6y4-n,当x=1时,函数值为-6.当x=n时,函数值为4-n.n2-3n-4=4-n,解得n=-2或n=4(不合题意,舍去).n的值为-2.20,(21)4(5)0,mmm m1241243232由知y=x2-3x-4,故a=1.函数图象经过原点,k=-h2,当x2时,y随x的增大而减小,h2,k-4.思路分析思路分析(1)由抛物线与x轴有两个交点得即可求出m的取值范围.(2)通过(1)可以确定m的值.根据二次函数图象的增减性确定端点处函数值,列方程求解.画出图象,由图象过原点得k=-h2,观察图象得到

32、h的范围,从而求得k的范围.0,0,m29.(2019北京朝阳二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2a2x(a0)的对称轴与x轴交于点P.(1)求点P的坐标(用含a的代数式表示);(2)记函数y=-x+(-1x3)的图象为图形M,若抛物线与图形M恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.3494解析解析(1)抛物线y=ax2-2a2x的对称轴是直线x=-=a,点P的坐标是(a,0).(2分)(2)由题意可知图形M为线段AB,A(-1,3),B(3,0).当抛物线经过点A时,解得a=-或a=1;当抛物线经过点B时,解得a=.(3分)如图1,当a=-时,抛物线与图形M恰有

33、一个公共点.222aa323232图1如图2,当a=1时,抛物线与图形M恰有两个公共点.如图3,当a=时,抛物线与图形M恰有两个公共点.32图2图3结合函数的图象可知,当a-或0a时,抛物线与图形M恰有一个公共点.(6分)3232思路分析思路分析本题的第二问需要画出抛物线的示意图(经过原点),同时关注对称轴与顶点的坐标之间有怎样的数量关系.教师专用题组1.(2019安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.(1)求k,a,c的值;(2)过点A(0,m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的

34、图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记W=OA2+BC2.求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.解析解析(1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+4,即k=-2,因为一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以(0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点(1,2)也在二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+c,从而a=-2.(6分)(2)解法一:因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以可设点B的坐标为(x0,m),由对称性得点C的坐标为

35、(-x0,m),故BC=2|x0|.又点B在二次函数y=-2x2+4的图象上,所以-2+4=m,即=2-,从而BC2=4=8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4),所以m=1时,W有最小值7.(12分)解法二:由(1)得二次函数的解析式为y=-2x2+4,因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1=,x2=-.所以BC=2,又OA=m,从而W=OA2+BC2=m2+=m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4).所以m=1时,W有最小值7.(12分)2

36、0 x20 x2m20 x22m22m22m22 22m思路分析思路分析(1)将(1,2)代入一次函数解析式求出k,代入二次函数解析式得a+c=2,由题意可判断点(0,c)也在一次函数图象上,从而求得a,c.(2)解法一:由题意可设点B(x0,m),由二次函数的对称性可得点C(-x0,m),可得BC=2|x0|,依据B点在二次函数的图象上,得出=2-,从而求出W关于m的函数解析式,最后根据二次函数的性质求出最值.解法二:由(1)可令-2x2+4=m,求出两根,从而得BC的长,从而求出W关于m的函数解析式,最后根据二次函数的性质求出最值.20 x2m2.(2019内蒙古包头,26,12分)如图,

37、在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2(a0)与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC.(1)求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴方程;(2)点D为抛物线对称轴上一点,连接CD、DB,若DCB=CBD,求点D的坐标;(3)已知F(1,1),若E(x,y)是抛物线上一个动点(其中1x2),连接CE,CF,EF,求CEF面积的最大值及此时点E的坐标;(4)若点N为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.解析解析(1)抛物线y=ax2+bx+2(

38、a0)过A(-1,0),B(3,0)两点,解得抛物线的解析式为y=-x2+x+2.对称轴方程是x=1.(3分)(2)过点D作DGy轴于G,作DHx轴于H.设点D(1,y0),C(0,2),B(3,0),在RtCGD中,CD2=CG2+GD2=(2-y0)2+(1-0)2,在RtBHD中,BD2=BH2+HD2=(3-1)2+(y0-0)2.在BCD中,DCB=CBD,CD=BD,CD2=BD2.(2-y0)2+(1-0)2=(3-1)2+(y0-0)2,4y0=1,y0=.点D的坐标是.(6分)20,9320,abab2,34.3ab 23431411,4(3)过点E作EQy轴于Q,过点F作F

39、Ry轴于R,过点E作EPFR于P,EQR=QRP=RPE=90,四边形QRPE是矩形.则SCEF=S矩形QRPE-SEQC-SCRF-SFPE,E(x,y),C(0,2),F(1,1),SCEF=EQQR-EQQC-CRRF-FPEP=x(y-1)-x(y-2)-11-(x-1)(y-1).y=-x2+x+2,SCEF=-x2+x,12121212121223431376SCEF=-+.-0,12,当x=时,CEF的面积取最大值,为.此时点E的坐标为.(9分)(4)存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.点M的坐标为(2,2)或或.(12分)13274x49481374744

40、9487 55,4 24104,3102,3思路分析思路分析(1)根据A,B两点坐标用待定系数法求抛物线的解析式;(2)作DGy轴,DHx轴,然后分别在RtCGD和RtBHD中求出CD2和BD2,由DCB=CBD可推出CD=BD,列方程,问题解决;(3)作EQy轴于Q,FRy轴于R,EPFR于P,可证四边形QRPE是矩形,再根据SCEF=S矩形QRPE-SEQC-SCRF-SFPE得到关于x的二次函数,最后由二次函数的性质求出最值,问题解决;(4)抛物线的对称轴方程是x=1,C,B两点在对称轴的两侧,故在对称轴的左侧有一点,在对称轴的右侧存在两点:一点在x轴的上方,另一点在x轴的下方,然后分别

41、求出.3.(2019四川成都,28,12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,5),与x轴相交于B(-1,0),C(3,0)两点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)点D在抛物线的对称轴上,且位于x轴的上方,将BCD沿直线BD翻折得到BCD,若点C恰好落在抛物线的对称轴上,求点C和点D的坐标;(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点Q在抛物线的对称轴上,当CPQ为等边三角形时,求直线BP的函数表达式.解析解析(1)由题意,得解得抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.(2)抛物线与x轴的交点为B(-1,0),C(3,0),BC=4,抛物线的对称轴为直线x=1.设抛物线的对称轴与

42、x轴交于点H,则H点的坐标为(1,0),BH=2.由翻折得CB=CB=4.在RtBHC中,由勾股定理,得CH=2.点C的坐标为(1,2),tanCBH=.CBH=60.425,0,930,abcabcabc1,2,3.abc 22C BBH224233C HBH2 323由翻折得DBH=CBH=30.在RtBHD中,DH=BHtanDBH=2tan30=.点D的坐标为.(3)取(2)中的点C,D,连接CC.BC=BC,CBC=60,CCB为等边三角形.分类讨论如下:当点P在x轴上方时,点Q在x轴上方.连接BQ,CP.PCQ,CCB为等边三角形,CQ=CP,BC=CC,PCQ=CCB=60.BC

43、Q=CCP.BCQ CCP.BQ=CP.122 332 31,3点Q在抛物线的对称轴上,BQ=CQ.CP=CQ=CP.又BC=BC,BP垂直平分CC.由翻折可知BD垂直平分CC.点D在直线BP上.设直线BP的函数表达式为y=kx+b,则解得直线BP的函数表达式为y=x+.0,2 3,3kbkb 3,33.3kb3333当点P在x轴下方时,点Q在x轴下方.QCP,CCB为等边三角形,CP=CQ,BC=CC,CCB=QCP=CCB=60.BCP=CCQ.BCP CCQ.CBP=CCQ.BC=CC,CHBC,CCQ=CCB=30,CBP=30.设BP与y轴相交于点E.在RtBOE中,OE=OBtan

44、CBP=OBtan30=1=,点E的坐标为.设直线BP的函数表达式为y=kx+b,则解得直线BP的函数表达式为y=-x-.综上所述,直线BP的函数表达式为y=x+或y=-x-.12333330,30,3,3kbb 3,33.3kb 333333333333思路分析思路分析(1)把A,B,C的坐标代入y=ax2+bx+c中可以求得函数表达式;(2)由翻折得BC=BC=4,CBD=CBD.由勾股定理,解直角三角形可求得点C,D的坐标;(3)分情况讨论:当P,Q均在x轴上方时,依据条件证得BCQ CCP,再根据对称性得点D在直线BP上,用待定系数法求出直线BP的解析式;当P,Q均在x轴下方时,设BP

45、与y轴交于点E,先证得BCP CCQ,进而可求得CBP=30以及点E的坐标,再求出直线BP的解析式.4.(2019福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c(b0,由抛物线的对称性,不妨设x1x2,则x1=,x2=,所以x110,右交点D的坐标为(b,0).点(x0,0)与点D间的距离为b-=.(10分)(4)4040;1010.(12分)详解:如图,a与L的交点坐标满足:y=x-b=-x2+bx,得交点D(b,0),E(-1,-1-b).当b为整数时,而x也是整数,12b12对应的y=-x2+bx和y=x-b均为整数.当x=-1和x=b时,对应的“美点”各只有一个.从x=0到x=b-

46、1共有b个整数,每个整数x都对应两个“美点”,此时“美点”个数为2b+2.把b=2019代入,求得“美点”个数为4040.当b不是整数时,但x是整数,x-b不是整数,即边界y=x-b(-1xb)上没有“美点”;而在边界y=-x2+bx(-1xb)上,满足bx是整数才有“美点”.对于b=2019.5,x应是从0到2018的偶数,此时“美点”的个数为20182+1=1010.思路分析思路分析(1)由题意得OA=OB,AB=8,b=4,可得L的方程为y=-x2+4x,进而得出L的对称轴为x=2,把x=2代入y=x-4得出交点坐标;(2)将二次函数解析式配方得出顶点坐标为,根据点C在l下方得出点C与l

47、的距离为b-=-(b-2)2+11,进而得出最大值;(3)由y3是y1,y2的平均数,可得y3=,即y1+y2=2y3,得b+x0-b=2(-+bx0),求出x0的值,令y=-x2+bx=0,求出点D的坐标,两者横坐标相减得出结论;(4)易得点D(b,0),点E(-1,-1-b),分两种情况,当b为整数,而x也是整数时,求得“美点”的个数;当b不是整数,但x是整数时,求得“美点”的个数.2,2 4b b24b14122yy20 x6.(2019河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=-x-2经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛

48、物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.当PCM是直角三角形时,求点P的坐标;作点B关于点C的对称点B,则平面内存在直线l,使点M,B,B到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:y=kx+b的解析式.(k,b可用含m的式子表示)1212解析解析(1)直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点C,A(-4,0),C(0,-2).抛物线y=ax2+x+c经过点A,C,抛物线的解析式为y=x2+x-2.(3分)(2)点P的横坐标为m,点P的坐标为.当PCM是直角三角形时,有以下两种情况:(i)当CPM=90时,PCx轴,m2

49、+m-2=-2.解得m1=0(舍去),m2=-2.点P的坐标为(-2,-2).(5分)12120162,2.acc 1,42.ac 1412211,242mmm1412(ii)当PCM=90时,过点P作PNy轴于点N,CNP=AOC=90.NCP+ACO=OAC+ACO=90,NCP=OAC.CNPAOC.=.C(0,-2),N,CN=m2+m,PN=m.即=,解得m3=0(舍去),m4=6.当m=6时,m2+m-2=10,点P的坐标为(6,10).综上所述,点P的坐标为(-2,-2)或(6,10).(8分)CNAOPNCO2110,242mm1412211424mm2m1412y=x-m-2

50、或y=x-2或y=x-2.(11分)提示:满足条件的直线l即MBB的三条中位线所在的直线.当y=0时,x2+x-2=0,解得x1=-4,x2=2,点B的坐标为(2,0).点C的坐标为(0,-2),点B,B关于点C对称,点B的坐标为(-2,-4).点P的横坐标为m(m0),点M的坐标为.利用待定系数法可求出直线BB的解析式为y=x-2;直线BM的解析式为y=-x+;直线BM的解析式为y=x-.分三种情况考虑:34442mm424mm14121,22mm424mm42mm424mm542mm当直线lBB且过线段CM的中点N时,直线l的解析式为y=x-m-2;当直线lBM且过点C时,直线l的解析式为