1、考试要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.第第8节正弦定理和余弦定理及其应用节正弦定理和余弦定理及其应用知 识 梳 理1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则 b2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C2Rsin B2Rsin Csin Asin Bsin C一解两解一解一解一解常用结论与易错提醒1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角
2、的范围的限制.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)(2)(3)(4)(5)答案A3.(必修5P10B2改编)在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_.解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或
3、2A2B，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形 4.(2016上海卷)已知ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_.(2)由题意得sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，规律方法已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 变式迁移【例2】(经典母题)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c
4、，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定解析由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即A .ABC为直角三角形.答案B【变式迁移1】(一题多解)将本例条件变为“若2sin Acos Bsin C”，那么ABC一定是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析法一由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因
5、为AB0)，由余弦定理可得答案C【变式迁移3】(一题多解)将本例条件变为“若a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C”，试确定ABC的形状.解法一利用边的关系来判断：即c2b2c2a2，所以a2b2，所以ab.又a2b2c2ab.2b2c2b2，所以b2c2，bc，abc.ABC为等边三角形.法二利用角的关系来判断：ABC180，sin Csin(AB)，又2cos Asin Bsin C，2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0，又A与B均为ABC的内角，所以AB.又由a2b2c2ab，又0C1，2.a2b26.角度3利用图形求解【例43】已知ABC是边长为3的等边三角形，点D为BC边上一点且BD1，E，F分别为边CA，AB上的点(不包括端点)，则DEF周长的最小值为_，此时BDF的面积为_.解析设D关于直线AB的对称点为M，关于AC的对称点为N，连接MN，分别与AB，AC交于点F，E，则DEF周长的最小值为MN.D为BC的三等分点，等边ABC边长为3，又MDN120，由RtDPF与RtMPF全等，DFMF.规律方法解决与三角形有关的最值(范围)问题，主要根据题设条件，借助基本不等式、函数的性质求解，有时还需要数形结合寻找解题思路.
