北师版九年级数学上册第1章特殊平行四边形复习课件.ppt

1、第一章 特殊平行四边形12341如图，在如图，在 ABCD中，中，E，F两点在对角线两点在对角线BD上运动，上运动，且保持且保持BEDF，连接，连接AE，CF.请你猜想请你猜想AE与与CF有怎有怎样的数量关系和位置关系样的数量关系和位置关系，并并对你的猜想加以证明对你的猜想加以证明1类型类型平行四边形中的动点问题平行四边形中的动点问题AECF，AECF.证明如下：证明如下：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ABCD，ABCD.ABECDF.在在ABE和和CDF中，中，ABCD，ABECDF，BEDF，ABECDF.AECF，AEBCFD.AEBAEDCFDCFB180，AEDCF

2、B.AECF.返回返回解：解：2在矩形在矩形ABCD中，中，AB4 cm，BC8 cm，AC的垂直的垂直平分线平分线EF分别交分别交AD，BC于点于点E，F，垂足为，垂足为O.(1)如图如图，连接，连接AF，CE，试，试证明四边证明四边形形AFCE为菱形，并求为菱形，并求AF的长的长2类型类型矩形中的动点问题矩形中的动点问题四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADBC.CADACB，AEFCFE.EF垂直平分垂直平分AC，垂足为，垂足为O，OAOC.AOECOF.OEOF.证明证明：四边形四边形AFCE为平行四边形为平行四边形又又EFAC，四边形四边形AFCE为菱形为菱形设设AFCFx cm，

3、则，则BF(8x)cm，在在RtABF中，中，AB4 cm，由勾股定理得由勾股定理得42(8x)2x2，解得解得x5，AF5 cm.(2)如图如图，动点，动点P，Q分别从分别从A，C两点同时出发，沿两点同时出发，沿AFB和和CDE各边匀速运动一周，即点各边匀速运动一周，即点P自自AFBA停止，点停止，点Q自自CDEC停止停止在在运动过程中，已知点运动过程中，已知点P的速度为的速度为5 cm/s，点，点Q的速的速度为度为4 cm/s，运动时间为，运动时间为t s，当以当以A，C，P，Q四点为顶点四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的四边形是平行四边形时，求t的值的值显然当点显然当点P在在AF上，

4、点上，点Q在在CD上时，上时，A，C，P，Q四四点不可能构成平行四边形；点不可能构成平行四边形；同理点同理点P在在AB上时，点上时，点Q在在DE或或CE上，也不可能构上，也不可能构成平行四边形成平行四边形因此只有当点因此只有当点P在在BF上，点上，点Q在在ED上时，才能构成平上时，才能构成平行四边形行四边形。如图，连接如图，连接AP，CQ，则以，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四点为顶点的四边形是平行四边形，此时四边形，此时PCQA.点点P的速度为的速度为5 cm/s，点，点Q的速度为的速度为4 cm/s，运动时间为，运动时间为t s，PC5t cm，QA(124t)cm.5t124

5、t，解得，解得t .以以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，四点为顶点的四边形是平行四边形时，t .4343返回返回3如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中，B60，动点，动点E在边在边BC上，动点上，动点F在边在边CD上上(1)如图如图，若，若E是是BC的中点，的中点，AEF60，求证：，求证：BEDF；3类型类型菱形中的动点问题菱形中的动点问题 连接连接AC.在菱形在菱形ABCD中，中，B60，ABBCCD，BCD180B120.ABC是等边三角形是等边三角形又又E是是BC的中点，的中点，AEBC.AEF60，FEC90AEF30.CFE180FECBCD1803012030.

6、FECCFE.ECCF.BEDF.返回返回证明证明：3如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中，B60，动点，动点E在边在边BC上，动点上，动点F在边在边CD上上(2)如图，若如图，若EAF60，求证：求证：AEF是等边三角形是等边三角形连接连接AC.由由(1)知知ABC是等边三角形，是等边三角形，ABAC，ACBBACEAF60.BAECAF.BCD120，ACB60，ACF60B.ABEACF.AEAF.AEF是等边三角形是等边三角形证明证明：4如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为8 cm，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且上的动点，且AEBFCGDH.

7、(1)求证：四边形求证：四边形EFGH是正方形是正方形；4类型类型正方形中的动点问题正方形中的动点问题证明：如图，证明：如图，四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，AABCCADC90，ABBCCDAD.AEBFCGDH，BECFDGAH.AEHBFECGFDHG.EHEFFGGH，12.四边形四边形EFGH为菱形为菱形1390，12，2390.HEF90.四边形四边形EFGH为菱形，为菱形，四边形四边形EFGH为正方形为正方形4如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为8 cm，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且上的动点，且AEBFCGDH.(2)判断直线判

8、断直线EG是否经过是否经过一一个个定点，并说明理由定点，并说明理由解：直线解：直线EG经过一个定点经过一个定点理由如下：如图，连接理由如下：如图，连接BD，DE，BG，EG，EG与与BD交于交于O点点BE DG，四边形四边形BGDE为平行四边形为平行四边形BD，EG互相平分互相平分BOOD.点点O为正方形的中心为正方形的中心直线直线EG必过正方形的中心必过正方形的中心返回返回第一章 特殊平行四边形12345678910111如图，将一张长为如图，将一张长为10 cm，宽为，宽为8 cm的矩形纸片对折的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(图图中的虚线

9、中的虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为剪下，再打开，得到的菱形的面积为()A10 cm2 B20 cm2C40 cm2 D80 cm2A返回返回1题型题型特殊平行四边形中的折叠问题特殊平行四边形中的折叠问题2(中考中考泰安泰安)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，E是是AD的的中中 点点，将，将ABE沿直线沿直线BE折叠后得到折叠后得到GBE，延长，延长BG交交CD于点于点F，若，若AB6，BC4 ，则则FD的长的长为为 ()A2 B4 C.D2636B返回返回3如图，将正方形纸片如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边折叠，使边AB，CB均落均落在对角线在对角线BD上，得折痕上，得折痕B

10、E，BF，则，则EBF的大小的大小为为()A15 B30 C45 D60C返回返回4如图，在如图，在RtABC中，中，B90，AC60 cm，A60.点点D从点从点C出发沿出发沿CA方向以方向以4 cm/s的速度向点的速度向点A匀速运动，同时点匀速运动，同时点E从点从点A出发沿出发沿AB方向以方向以2 cm/s的的速度向点速度向点B匀速运动，匀速运动，2题型题型特殊平行四边形中的动点问题特殊平行四边形中的动点问题当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运 动动设点设点D，E运动的时间是运动的时间是t s(0t15)过点过点D作作DFBC于点于点F，

11、连接，连接EF.若四边形若四边形AEFD为菱形，则为菱形，则t的值为的值为()A5 B10C15 D20B返回返回5如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为4，DAC的平分线交的平分线交DC于点于点E.若点若点P，Q分别是分别是AD和和AE上的动点，则上的动点，则DQPQ的最小值是的最小值是()A2 B4 C2 D422C返回返回6如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ACa，BDb，ACBD，顺次连接四边形，顺次连接四边形ABCD各边中点，得四各边中点，得四边形边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边各边中点，得四边形中点，得四边形A2B2C

12、2D2，如此进行下去，如此进行下去，得得四边形四边形AnBnCnDn.3题型题型特殊平行四边形中的中点四边形问题特殊平行四边形中的中点四边形问题下列结论正确的是下列结论正确的是()四边形四边形A4B4C4D4是菱形是菱形；四边形四边形A3B3C3D3是矩形；是矩形；四边形四边形A7B7C7D7的周长为的周长为；四边形四边形AnBnCnDn的面积为的面积为.A BC DA返回返回7(中考中考广安广安)如图，如图，E，F，G，H分别为菱形分别为菱形ABCD四四边的中点，边的中点，AB6 cm，ABC60，则四边形，则四边形EFGH的面积为的面积为_9 cm2返回返回8(中考中考枣庄枣庄)如图，边长

13、为如图，边长为1的正方形的正方形ABCD绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转45得到正方形得到正方形AB1C1D1，边，边B1C1与与CD交于点交于点O，则四边形，则四边形AB1OD的面积是的面积是()A.B.C.D1342 122 12C4题型题型特殊平行四边形中的图形变换问题特殊平行四边形中的图形变换问题返回返回9如图，四边形如图，四边形ABCD是正方形，点是正方形，点G是是BC边上任意边上任意一点，一点，DEAG于点于点E，BFDE，交，交AG于点于点F.(1)求证：求证：AFBFEF.四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ABAD，BADBAGEAD90.DEAG，AEDDEG90.EAD

14、ADE90.ADEBAF.又又BFDE，BFADEG90.证明：证明：在在AED和和BFA中，中，AEDBFA，ADEBAF，ADAB，AEDBFA(AAS)BFAE.AFAEEF，AFBFEF.(2)将将ABF绕点绕点A逆时针旋转，使得逆时针旋转，使得AB与与AD重合，重合，记此时点记此时点F的对应点为点的对应点为点F.若正方形若正方形ABCD的边长的边长为为3，求点，求点F与旋转前的图形中点与旋转前的图形中点E之间的距离之间的距离如图，将如图，将ABF绕绕A点逆时针旋转得到点逆时针旋转得到ADF，B与与D重合，连接重合，连接FE，由，由(1)得得DEAF.根据题意，知根据题意，知FAF90

15、，DEAFAF，FAEAED90.即即FAEAED180.解：解：AFED.四边形四边形AEDF为平行四边形为平行四边形又又AED90，四边形四边形AEDF是矩形是矩形ADEF.AD3，EF3.即点即点F与旋转前的图形中点与旋转前的图形中点E之间的距离为之间的距离为3.返回返回10如图，在如图，在ABCD中，中，E，F分别是分别是AB，CD的中的中点，连接点，连接AF，CE.(1)求证：求证：BECDFA；5题型题型灵活应用特殊平行四边形的性灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明质与判定进行计算或证明四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，ABCD，BD，BCAD.E，F分别

16、是分别是AB，CD的中点，的中点，BEDF.BECDFA(SAS)返回返回证明：证明：10如图，在如图，在ABCD中，中，E，F分别是分别是AB，CD的中的中点，连接点，连接AF，CE.(2)连接连接AC，当，当CACB时，判断四边形时，判断四边形AECF是是什么特殊四边形，并说明理由什么特殊四边形，并说明理由四边形四边形AECF是矩形理由如下：是矩形理由如下：AE AB，CF CD，ABCD，AECF.又又AECF，四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形当当CACB时，时，AEEB，CEAB.AEC90.四边形四边形AECF是矩形是矩形1212返回返回解：解：11(中考中考漳州漳州)如

17、图，在矩形如图，在矩形ABCD中，点中，点E在边在边CD上，将该矩形沿上，将该矩形沿AE折叠，使点折叠，使点D落在边落在边BC上的点上的点F处，过点处，过点F作作FGCD，交，交AE于点于点G，连接，连接DG.(1)求证：四边形求证：四边形DEFG为菱形为菱形；如如图，根据折叠的性质，得图，根据折叠的性质，得DGFG，EDEF，12，FGCD，31.23.FGFE.DGGFEFDE.四边形四边形DEFG为菱形为菱形证明：证明：11(中考中考漳州漳州)如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，点中，点E在边在边CD上，将该矩形沿上，将该矩形沿AE折叠，使点折叠，使点D落在边落在边BC上的点上的点F处，

18、过点处，过点F作作FGCD，交，交AE于点于点G，连接，连接DG.(2)若若CD8，CF4，求的值，求的值设设DEx，则，则EFDEx，EC8x，在在RtEFC中，中，FC2EC2EF2，即即42(8x)2x2，解得解得x5.DE5，CE8x3.35CEDE解：解：12如图如图，在正方形，在正方形ABCD中，中，E，F分别是边分别是边AD，DC上的点，且上的点，且AFBE.(1)求证：求证：AFBE.四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，ADAB，DBAE90.DAFBAF90.AFBE，ABEBAF90.DAFABE.DAFABE(ASA)AFBE.证明：证明：(2)如图如图，在正方形，在

19、正方形ABCD中，中，M，N，P，Q分别是边分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且上的点，且MPNQ.MP与与NQ是是否相等？并说明理由否相等？并说明理由MP与与NQ相等理由如下：相等理由如下：过点过点A作作AFMP交交CD于于F，过点，过点B作作BENQ交交AD于于E，则四边形则四边形AMPF、四边形、四边形BNQE都是平行四边形，都是平行四边形，AFMP，BENQ.MPNQ，AFBE.由由(1)知知AFBE，MPNQ.返回返回解：解：第一章 特殊平行四边形12341(中考中考北京北京)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，BD为一条对为一条对角线，角线，ADBC，AD2BC，ABD

20、90，E为为AD的中点，连接的中点，连接BE.(1)求证：四边形求证：四边形BCDE为菱形；为菱形；1类型类型利用菱形的判定证明菱形利用菱形的判定证明菱形AD2BC，E为为AD的中点，的中点，DEBC.ADBC，四边形四边形BCDE是平行四边形是平行四边形ABD90，E为为AD的中点，的中点，BE ADDE.四边形四边形BCDE是菱形是菱形12证明：证明：1(中考中考北京北京)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，BD为一条对为一条对角线，角线，ADBC，AD2BC，ABD90，E为为AD的中点，连接的中点，连接BE.(2)连接连接AC,若若AC平分平分BAD，BC1，求，求AC的长的长

21、ADBC，AC平分平分BAD，BACDACBCA.ABBC1.ABD90，E为为AD的中点，的中点，BEAE AD.AD2BC2，BEAE1AB.12解：解：ABE为等边三角形为等边三角形BAE60.DAC30，ADB30.ADC60.ACD90.在在RtACD中，中，AD2，DAC30，CD1.AC.2222213ADCD 返回返回2(中考中考兰州兰州)如图如图，将一，将一张矩形纸片张矩形纸片ABCD沿着对沿着对角线角线BD向上折叠，顶点向上折叠，顶点C落到点落到点E处，处，BE交交AD于点于点F.(1)求证：求证：BDF是等腰三角形；是等腰三角形；2类型类型利用菱形的性质与判定解折叠问题利

22、用菱形的性质与判定解折叠问题由由折叠得折叠得BDCBDE，DBCDBE.又又四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADBC.DBCFDB.DBEFDB.DFBF.BDF是等腰三角形是等腰三角形证明：证明：(2)如图如图，过点，过点D作作DGBE，交，交BC于点于点G，连接，连接FG交交BD于点于点O.判断四边形判断四边形BFDG的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；若若AB6，AD8，求，求FG的长的长四边形四边形BFDG是菱形理由如下：是菱形理由如下：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，FDBG.DGBE，四边形四边形BFDG是平行四边形是平行四边形DFBF，四边形四边形BFDG是菱形是菱形

23、解：解：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，A90.BD .四边形四边形BFDG是菱形，是菱形，GFBD，FG2OF，OB BD5.设设DFBFx，则则AFADDF8x，22226810ABAD 12在在RtABF中，中，AB2AF2BF2，即即62(8x)2x2，22222525.442515544152.2xFBRt FOBFOBFOBFGFO 解解得得 在在中中，返回返回3(中考中考包头包头)如图，在如图，在ABC中，中，C90，B30，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEBA交交AC于点于点E，DFCA交交AB于点于点F，已知，已知CD3.(1)求求AD的长；的长；3类型类型利用

24、菱形的性质与判定求线段的长利用菱形的性质与判定求线段的长C90，B30，CAB60.AD平分平分CAB，CAD CAB30.在在RtACD中，中，ACD90，CAD30，AD2CD6.12解：解：3(中考中考包头包头)如图，在如图，在ABC中，中，C90，B30，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEBA交交AC于点于点E，DFCA交交AB于点于点F，已知，已知CD3.(2)求四边形求四边形AEDF的周长的周长(注意：本题中的计算过程注意：本题中的计算过程和结果均保留根号和结果均保留根号)DEBA交交AC于点于点E，DFCA交交AB于点于点F，四边形四边形AEDF是平行四边形，是平行四边形

25、，EADADF.又又EADFAD，ADFFAD.AFDF.四边形四边形AEDF是菱形是菱形AEDEDFAF.解：解：DEAB，EDCB30.在在RtCED中，中，CDE30，CE DE.又又CE2CD2DE2，DE2 (负值舍去负值舍去)四边形四边形AEDF的周长为的周长为8 .1233221 9.2DEDE 返回返回4如图，分别以如图，分别以RtABC的斜边的斜边AB、直角边、直角边AC为边向为边向ABC外作等边三角形外作等边三角形ABD和等边三角形和等边三角形ACE，F为为AB的中点，的中点，DE与与AB交于点交于点G，EF与与AC交于点交于点H，ACB90，BAC30，给出如下结论：给出

26、如下结论：4类型类型利用菱形的性质与判定解决相关问题利用菱形的性质与判定解决相关问题EFAC；四边形四边形ADFE为菱形；为菱形；AD4AG；FHBD.其中正确的结论是其中正确的结论是()ABCDC返回返回第一章 特殊平行四边形12341(中考中考扬州扬州)如图，如图，AC为矩形为矩形ABCD的对角线，将边的对角线，将边AB沿沿AE折叠，使点折叠，使点B落在落在AC上的点上的点M处，将边处，将边CD沿沿CF折叠，使点折叠，使点D落在落在AC上的点上的点N处处(1)求证：四边形求证：四边形AECF是是平行四边形；平行四边形；1类型类型利用矩形的性质与判定求线段的长利用矩形的性质与判定求线段的长由

27、题意可得由题意可得AMAB，CNCD，FNCD90，AMEB90.ANF90，CME90.ANFCME.四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，ABCD，ADBC.AMCN，FANECM.AMMNCNMN，即，即ANCM.证明：证明：在在ANF和和CME中，中，FANECM，ANCM，ANFCME，ANFCME(ASA)AFCE.又又AFCE，四边形四边形AECF是平行四边形是平行四边形 1(中考中考扬州扬州)如图，如图，AC为矩形为矩形ABCD的对角线，将边的对角线，将边AB沿沿AE折叠，使点折叠，使点B落在落在AC上的点上的点M处，将边处，将边CD沿沿CF折叠，使点折叠，使点D落在落在AC上的

28、点上的点N处处(2)若若AB6，AC10，求四边形求四边形AECF的面积的面积AB6，AC10，BC8.设设CEx，则，则EMBE8x，CM1064.在在RtCEM中，中，(8x)242x2，解得，解得x5.四边形四边形AECF的面积为的面积为CEAB5630.返回返回解：解：2如图，在如图，在ABC中，中，A90，D是是AC上的上的一一 点点，BDDC，P是是BC上的任意一点，上的任意一点，PEBD，PFAC，E，F为垂足为垂足试判断线段试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系之间的数量关系，并并说明理由说明理由2类型类型利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系利用矩形的性质与判定判断线段的数

29、量关系PEPFAB.理由：过点理由：过点P作作PGAB于于G，交，交BD于于O，如图所示，如图所示PFAC，A90，AAGPPFA90.四边形四边形AGPF是矩形是矩形AGPF，PGAC.解：解：又又BDDC，CGPBDBP.OBOP.PGAB，PEBD，BGOPEO90.在在BGO和和PEO中，中，BGOPEO，GOBEOP，OBOP，BGOPEO.BGPE.ABBGAG，PEPFAB.返回返回3如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点 O，AOCO，BODO，且，且ABCADC180.(1)求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形；是矩形；3类型类型

30、利用矩形的性质与判定求角利用矩形的性质与判定求角AOCO，BODO，四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形ABCADC.ABCADC180，ABCADC90.ABCD是矩形是矩形证明：证明：3如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点 O，AOCO，BODO，且，且ABCADC180.(2)若若ADFFDC32，DFAC，求，求BDF的度数的度数ADC90，ADFFDC32，FDC36.DFAC，DCO903654.四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，OCOD.ODCDCO54.BDFODCFDC543618.返回返回解：解：4如图，已知点如图，已

31、知点E是是ABCD中中BC边的中点，连接边的中点，连接AE并并延长交延长交DC的延长线于点的延长线于点F.(1)连接连接AC，BF，若，若AEC2ABC，求证求证：四边形：四边形ABFC为矩形为矩形；4类型类型利用矩形的性质与判定求面积利用矩形的性质与判定求面积四边形四边形ABCD为平行四边形，为平行四边形，ABDC.ABEECF.又又点点E为为BC的中点，的中点，BECE.在在ABE和和FCE中，中，ABEFCE，BECE，AEBFEC，ABEFCE.ABCF.证明：证明：又又ABCF，四边形四边形ABFC为平行四边形为平行四边形AEEF.AEC为为ABE的外角，的外角，AECABCEAB.

32、又又AEC2ABC，ABCEAB.AEBE.AEEFBECE，即即AFBC.四边形四边形ABFC为矩形为矩形4如图，已知点如图，已知点E是是ABCD中中BC边的中点，连接边的中点，连接AE并并延长交延长交DC的延长线于点的延长线于点F.(2)在在(1)的条件下，若的条件下，若AFD是是等边三角形等边三角形，且边长为，且边长为4，求求四边形四边形ABFC的面积的面积四边形四边形ABFC是矩形，是矩形，ACDF.又又AFD是等边三角形，是等边三角形，222.4223.223243.ABFCDFCFCDACS 矩矩形形返回返回解：解：第一章 特殊平行四边形12345678910111213141如图

33、，如图，ACBADB90，M，N分别是分别是AB，CD的中点的中点(1)求证：求证：MNCD；(2)若若AB10，CD8，求，求MN的长的长1考点考点一个定理一个定理直角三角形斜边上的中线定理直角三角形斜边上的中线定理连接连接DM，CM.由已知得由已知得CM AB，DM AB.CMDM.又又点点N为为CD的中点，的中点，MNCD.12121212AB10，CD8，DM AB5，DN CD4.又又MNCD，MN 3.22DMDN 返回返回(1)证明：证明：(2)解：解：2如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，AD平分平分BAC，交，交BC于点于点D，在线段，在线段AD上任取

34、一点上任取一点P(点点A除外除外)，过点，过点P作作EFAB，分别交，分别交AC，BC于点于点E，F，作，作PMAC，交，交AB于点于点M，连接，连接ME.(1)求证：四边形求证：四边形AEPM为菱形为菱形（菱形）（菱形）2考点考点三个图形三个图形EFAB，PMAC，四边形四边形AEPM为平行四边形为平行四边形AD平分平分BAC，CADBAD.EPAB，BADEPA.EAPEPA.EAEP.四边形四边形AEPM为菱形为菱形证明：证明：(2)当点当点P在何处时，菱形在何处时，菱形AEPM的面积为四边形的面积为四边形EFBM面积的一半？请说明理由面积的一半？请说明理由解：当解：当点点P为为EF的中

35、点时，的中点时，S菱形菱形AEPM S四边形四边形EFBM.理由：理由：四边形四边形AEPM为菱形，为菱形，APEM.ABAC，CADBAD，ADBC.12EMBC.又又EFAB，四边形四边形EFBM为平行四边形为平行四边形过点过点E作作ENAB于点于点N，如图，如图，EP EF，S菱形菱形AEPMAMENEPEN EFEN S四边形四边形EFBM.121212返回返回3感知：如图感知：如图，在矩形，在矩形ABCD中，点中，点E是边是边BC的中的中点，将点，将ABE沿沿AE折叠，使点折叠，使点B落在矩形落在矩形ABCD内部内部的点的点F处，连接处，连接AF并延长并延长，交交CD于点于点G，连接

36、，连接FC，易易证证GCFGFC.（矩形）（矩形）2考点考点三个图形三个图形探究探究：将图：将图中的矩形中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条改为平行四边形，其他条件不变，如图件不变，如图，判断，判断GCFGFC是否仍是否仍然成立，并说明理由然成立，并说明理由GCFGFC仍然成立理由如下：仍然成立理由如下：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ABCD.BECG180.AFE是由是由ABE翻折得到的，翻折得到的，AFEB，EFBE.又又AFEEFG180，ECGEFG.解：解：点点E是边是边BC的中点，的中点，ECBE.EFBE，ECEF.ECFEFC.ECGECFEFGEFC.GC

37、FGFC.应用应用：如图：如图，若，若AB5，BC6，则，则ADG的周长为的周长为_16返回返回4如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，过点，过点C的直线的直线MNAB，D为为AB边上一点，过点边上一点，过点D作作DEBC，交，交直线直线MN于于E，垂足为，垂足为F，连接，连接CD，BE.(1)求证：求证：CEAD.（正方形）（正方形）2考点考点三个图形三个图形DEBC，DFB90.ACB90，ACBDFB.ACDE.MNAB，即，即CEAD，四边形四边形ADEC是平行四边形是平行四边形CEAD.证明：证明：(2)当点当点D为为AB的中点时，四边形的中点时，四边形BECD是什么特殊四是

38、什么特殊四边形？请说明理由边形？请说明理由四边形四边形BECD是菱形是菱形理由：理由：D为为AB的中点，的中点，ADBD.CEAD，BDCE.又又BDCE，四边形四边形BECD是平行四边形是平行四边形ACB90，D为为AB的中点，的中点，CDBD.四边形四边形BECD是菱形是菱形解：解：(3)若点若点D为为AB的中点，则当的中点，则当A的大小满足什么条件的大小满足什么条件时，四边形时，四边形BECD是正方形是正方形？请说明理由？请说明理由当当A45时，四边形时，四边形BECD是正方形是正方形理由如下：理由如下：ACB90，A45ABCA45.ACBC.点点D为为AB的中点，的中点，CDAB.C

39、DB90.四边形四边形BECD是菱形，是菱形，菱形菱形BECD是正方形是正方形即当即当A45时，四边形时，四边形BECD是正方形是正方形返回返回解：解：5如图，在如图，在ABC中，中，BAC的平分线交的平分线交BC于点于点D，E是是AB上一点，且上一点，且AEAC，EFBC交交AD于点于点F.求证：四边形求证：四边形CDEF是菱形是菱形（判定与性质（判定与性质1菱形）菱形）3考点考点三个判定与性质三个判定与性质如如图，连接图，连接CE，交，交AD于点于点O.ACAE，ACE为等腰三角形为等腰三角形AO平分平分CAE，AOCE，且，且OCOE.EFCD，12.又又DOCFOE，DOCFOE(AS

40、A)OFOD，即即CE与与DF互相垂直且平分互相垂直且平分四边形四边形CDEF是菱形是菱形返回返回证明：证明：6(中考中考湘西州湘西州)如图，在如图，在ABCD中，中，DEAB，BFCD，垂足分别为，垂足分别为E，F.求证：求证：(1)ADECBF；（判定与性质（判定与性质2矩形）矩形）3考点考点三个判定与性质三个判定与性质四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AC，ADCB.又又DEAB，BFCD，DEABFC90.ADECBF.证明：证明：6(中考中考湘西州湘西州)如图，在如图，在ABCD中，中，DEAB，BFCD，垂足分别为，垂足分别为E，F.求证：求证：(2)四边形四边形DE

41、BF为矩形为矩形ADECBF，AECF.CDAB，DFBE.又又CDAB，四边形四边形DEBF为平行四边形为平行四边形又又DEB90，四边形四边形DEBF为矩形为矩形返回返回证明：证明：7如图，如图，E为正方形为正方形ABCD的边的边AB的延长线上一点，的延长线上一点，DE交交AC于点于点F，交，交BC于点于点G，H为为GE的中点的中点求证：求证：FBBH.（判定与性质（判定与性质3正方形）正方形）3考点考点三个判定与性质三个判定与性质四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，CDBC，DCFBCF45，DCB90，CBE90.又又CFCF，DCFBCF.CDFCBF.证明：证明：H为为GE的中

42、点，的中点，HBHG GE.HGBHBG.CDGCGD90，CGDBGHHBG，FBGHBG90，即即FBH90.FBBH.12返回返回8如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB10，BC5，点，点E，F分分别在别在AB，CD上，将矩形上，将矩形ABCD沿沿EF折叠，使点折叠，使点A，D分别落在矩形分别落在矩形ABCD外部的外部的点点A1，D1处处，求阴影部分图形的周长，求阴影部分图形的周长（技巧（技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧）解与四边形有关的折叠问题的技巧）4考点考点四个技巧四个技巧在矩形在矩形ABCD中，中，AB10，BC5，CDAB10，ADBC5.又又将矩形将矩形ABCD沿

43、沿EF折叠，使点折叠，使点A，D分别落在分别落在矩形矩形ABCD外部的点外部的点A1，D1处，根据轴对称的性处，根据轴对称的性质可得，质可得，A1EAE，A1D1AD，D1FDF.解：解：设线段设线段D1F与线段与线段AB交于点交于点M，则阴影部分的周长为，则阴影部分的周长为(A1EEMMD1A1D1)(MBMFFCCB)AEEMMD1ADMBMFFCCB(AEEMMB)(MD1MFFC)ADCBAB(FD1FC)10AB(FDFC)1010101030.返回返回9如图，正方形如图，正方形ABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O，点，点O也是正也是正方形方形ABCO的一个顶点，如果两个正方形

44、的边长都等的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于于1，那么正方形，那么正方形ABCO绕顶点绕顶点O转动转动，两个正方形重叠部分的，两个正方形重叠部分的面积面积大小有什么大小有什么规律？请说明理由规律？请说明理由（技巧（技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧）解与四边形有关的旋转问题的技巧）4考点考点四个技巧四个技巧两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是 .理由：理由：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，OBOC，OBEOCF45，BOC90.四边形四边形ABCO是正方形，是正方形，EOF90.EOFBOC.EOFBOFBOCBOF，14解：解：即即B

45、OECOF.BOECOF.SBOESCOF.两个正方形重叠部分的面积等于两个正方形重叠部分的面积等于SBOC.S正方形正方形ABCD111，SBOC S正方形正方形ABCD .两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是 .141414返回返回10如图，在边长为如图，在边长为10的菱形的菱形ABCD中，对角线中，对角线BD16，对角线对角线AC，BD相交于相交于点点G，点点O是直线是直线BD上的动点上的动点，OEAB于于E，OFAD于于F.(1)求对角线求对角线AC的长及菱形的长及菱形ABCD的面积的面积（技巧（技巧3解与四边形有关的动态问题的技巧）解与四边

46、形有关的动态问题的技巧）4考点考点四个技巧四个技巧在在菱菱形形中中，由由勾勾股股定定理理得得，菱菱形形的的面面积积22221116822108622612.11121696.22ABCDACBDBGBDAGABBGACAGABCDAC BD 解：解：(2)如图如图，当点，当点O在对角线在对角线BD上运动时，上运动时，OEOF的值的值是否发生变化？请说明理由是否发生变化？请说明理由OEOF的值不变的值不变理由如下：理由如下：如图如图，连接，连接AO，则则SABDSABOSAOD，BDAG ABOE ADOF，即即 166 10OE 10OF.解得解得OEOF9.6，是定值，不变，是定值，不变12

47、1212121212(3)如图如图，当点，当点O在对角线在对角线BD的延长线上时，的延长线上时，OEOF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由之间的数量关系，并说明理由OEOF的值发生变化，的值发生变化，OE，OF之间的数量关系之间的数量关系为为OEOF9.6.理由如下：如图理由如下：如图，连接，连接AO，则，则SABDSABOSAOD，BDAG ABOE ADOF，即即 166 10OE 10OF.解得解得OEOF9.6，是定值，不变，是定值，不变OEOF的值发生变化，的值发生变化，OE，O

48、F之间的数量关系为之间的数量关系为OEOF9.6.121212121212返回返回11如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点O在在ABC的内的内部，部，BOC90，OBOC，D，E，F，G分别是分别是AB，OB，OC，AC的中点的中点(1)求证：四边形求证：四边形DEFG是矩形；是矩形；（技巧（技巧4解中点四边形的技巧）解中点四边形的技巧）4考点考点四个技巧四个技巧如如图，连接图，连接AO并延长，交并延长，交BC于于H.ABAC，OBOC，AH是是BC的中垂线，的中垂线，即即AHBC于于H.D，E，F，G分别是分别是AB，OB，OC，AC的中点，的中点，DGEFBC，DEAHGF.证明

49、：证明：四边形四边形DEFG是平行四边形是平行四边形EFBC，AHBC，AHEF.DEAH，DEEF.DEF90.DEFG是矩形是矩形(2)若若DE2，EF3，求，求ABC的面积的面积BOC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，BC2EF2OH236，AHOAOH2DEEF2237.SABC BCAH 6721.1212返回返回解：解：12如图，把矩形纸片如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点折叠，使点B落在点落在点D 处处，点点C落在点落在点C处，折痕处，折痕EF与与BD交于点交于点O，已知，已知AB16，AD12，求折痕，求折痕EF的长的长（思想（思想1方程思想）方程思想）5考点考点三种思想三种

50、思想由已知易知由已知易知CDFCDA90，CDEADF.ACC90，ADBCDC，DAFDCE.DFDEBF.四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，AB DC.连接连接BE，则四边形，则四边形DFBE是菱形是菱形OEOF，BDEF.解：解：设设AFx，则，则DFBF16x.在在RtDAF中，中，AD2AF2DF2，即即122x2(16x)2.整理得整理得32x112.x .DF .在在RtABD中，中，DB2AD2AB2122162400，7225222222120.10.2R2522510.241515.2215.22DBDODBtDOFOFDFDOOFEFOF 在在中中，返回返回13如图，在