中考数学压轴题专题汇编.doc

1、 中考数学压轴题专题汇编及答案 第1题如图，抛物线yx 22x3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点（1）直接写出A、B、C三点的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQAB交抛物线于点Q，过点Q作QNx轴于点N，若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）若FG2DQ，求点F的坐标xyPBNOMAQCDE解：（1

2、）由题设，依题意，得：A（3，0），B（1，0），C（0，3）（2）yx 22x3( x1 )24抛物线的对称轴为直线x1xyBOAQDKGF设M（x，0），P（x，x 22x3），其中3x 1P、Q关于直线x1对称，设Q的横坐标为a则a( 1 )1x，a2xQ（2x，x 22x3）MPx 22x3，PQ2xx22x周长d2( 22xx 22x3 )2x 28x22( x2 )210当x2设，d取最大值 此时M（2，0），AM2( 3 )1设直线AC的解析式为ykxb则 解得 直线AC的解析式为yx3将x2代入yx3得y1E（2，1），EM1SAEM AMME 11 （3）由（2）知，当矩形P

3、MNQ的周长最大时，x2此时点Q（0，3），与点C重合，OQ3yx 22x3( x1 )24，D（1，4）过D作DKy轴于K，则DK1，OK4QKOKOQ431DKQ是等腰直角三角形，DQFG2DQ4设F（m，m 22m3），则G（m，m3）FGm3( m 22m3 )m 23mm 23m4，解得m14，m21当m4时，m 22m35当m1时，m 22m30F（4，5）或（1，0）第2题如图，抛物线yax 24ax 与x轴交于点A、B（A在B的左侧），过点A的直线ykx3k交抛物线于另一点C（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，过点B作BDBC，交直线AC于点D，若BC5BD，求k的值；（3

4、）将直线ykx3k向上平移4个单位，平移后的直线交抛物线于E、F两点，求AEF错误!未找到引用源。的面积的最小值xyAOBCMD解：（1）ykx3kk( x3 )，A（3，0）xyAOBCMDFG把A（3，0）代入抛物线yax 24ax 9a12a 0，解得a 抛物线的解析式为y x 2x （2）令 x 2x 0，解得x11，x23B（1，0）联立 得C（4k1，4k 22k）作DFx轴于F，CGx轴于G，则BDFCBGBC5BD，CG5BF，BG5DF设BFm，则CG5m，DFk( m1 )3k2kkm，BG10k5km解得k 或k1（3）将直线ykx3k向上平移4个单位，平移后的直线为yk

5、x3k4当x3时，y4过A作AGy轴交直线EF于G，则AG4设E（x1，y1），F（x2，y2）联立 得x 2( 44k ) x 1312k0x1x24k4，x1x21312k| x2x1|yxOABGEFSAEF SAEG SAFG AG| x2x1| 4当k 时，AEF错误!未找到引用源。的面积有最小值16第3题如图，已知抛物线yx 22x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC（1）直接写出A、B、C三点的坐标；（2）点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PMy轴交抛物线于M，交x轴于N，当BCM的面积最大时，求BPN的周长；（3）在（2）的条件下，在抛物

6、线的对称轴上存在点Q，使CNQ为直角三角形，求点Q的坐标xyMCOBNAP解：（1）由题设，依题意，得：A（1，0），B（3，0），C（0，3）（2）设直线BC的解析式为ykxb则 解得 yx3SBCM SBPM SCPM PMOB PM当线段PM的长度取最大值时，BCM的面积最大设P（t，t3），则M（t，t 22t3）（0t 3）PMt 22t3( t3 )t 23t( t )2 xyMCOBNAPQDE当t 时，BCM的面积最大此时P（，），N（，0）BNPN ，PB BPN的周长为 3 （3）yx 22x3( x1 )24抛物线的对称轴为直线x1，与x轴交于点E（1，0）设Q（1，y）

7、，由N（，0），C（3，0），得CN 2 过点Q作QDy轴于D，则D（0，y）CQ 2( y3 )21 2y 26y10，NQ 2y 2 CNQ为直角三角形，有以下三种情况：当CN 2CQ 2NQ 2时， y 26y10y 2 解得y ，Q1（1，）当CN 2NQ 2CQ 2时， y 2 y 26y10解得y ，Q2（1， ）当CQ 2NQ 2CN 2时，y 26y10y 2 解得y ，Q3（1，），Q4（1，）综上所述，点Q的坐标为（1，），（1， ），（1，），（1，）第4题如图，在平面直角坐标系中，直线ykx1与y轴交于点C，与抛物线y x 2交于点A、B（点A在点B左侧），分别过A、B

8、两点作直线y1的垂线，垂足为E、F（1）求证：ACAE；（2）设ACE、BCF、ECF的面积分别为S1、S2、S3，若 ，求k的值；（3）M为EF的中点，连接MC并延长交抛物线于点P，连接PA、BM是否存在这样的点M，使PAC与BMC相似？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由xyBAOEFMC解：（1）由题设，依题意，设A（x，y），其中y x 2xyBAOEFCG则AC 2x 2( y1 )24yy 22y1( y1 )2AE 2( y1 )2ACAE（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由 得x 24kx40则x1x24k，x1x24AEBFy11y21kx11k

9、x212k( x1x2 )44k 24yOxABCMEFPHGS1S2S梯形AEFB S3 ( AEBF )EF EFCGS3 EFCG， ，解得k （3）连接AMACAE，ACEAECAEEF，AEy轴AECECOACEECO同理可得BCFFCOECFECOFCO ( ACOBCO )90M为EF的中点，CMEMxyOPABMEFCACMAEMAMCAME，ACMAEM90PCABCM90MACBMC90ABM若PACBMC，则PACBMCMACAPCAMC，PCCM即C是PM中点作PHEF于H，设直线EF交y轴于G则G是HM中点，PH2CG2( 11 )4点P的纵坐标为3，代入y x 2，

10、得x2M1（2，1），M2（2，1）若PACMBC，则PACMBC，PABMACM90，MACBMCAMB90，PAM90作PHEF于H，AGPH于G，交PM于K， 则AGEF，KAMAMEAMCAKMK，AKPK PKKM，PGGHAE设EF交x轴于N，则CN2CENECMBMCAPCxyMEFBGHAOCPKNECNPAC 2，EN2CN4设MNx，则CMEM4x，在RtCMN中，x 22 2( 4x )2解得x ，M3（ ，1）综上所述，符合条件的点M的坐标为M1（2，1），M2（2，1），M3（ ，1）第5题如图，抛物线y ( x2)( xm )（m0）与x轴交于A、B两点（A在B的左

11、侧），与y轴交于点C，连接AC、BC（1）若ABC为直角三角形，求m的值；（2）在（1）的条件下，点D是第一象限抛物线上一动点，过D点的直线交x轴、y轴的正半轴于E、F，连接OD，当OD的长最小时，求OEF面积的最小值；（3）直线y xb经过点B，与抛物线交于另一点G，点P在y轴上，点Q在抛物线上，以点B、G、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由CBAxy备用图CBAxy解：（1）令 ( x2)( xm )0，解得x12，x2mm0，A在B的左侧，A（2，0），B（m，0）令x0，得y2，C（0，2）OAOC2，ACOCAO45ABC为直角三角形，只能AC

12、B90BCOCBO45，OBOC2m2（2）m2，y ( x2)( x2 ) x 22x 242y设D（x，y），作DHx轴于H则OHx，DHyOD 2OH 2DH 2x 2y 242yy 2( y1 )23当点D的纵坐标为1时，OD 2最小，OD最小xyODCBAHFE由 x 221，解得x点D在第一象限，D（，1）设直线EF的解析式为ykxn则1kn，n1k ykx1k令y0，得x ；令x0，得y1kOE ，OF1kSOEF OEOF ( )( 1k ) k( )22OEF面积的最小值为2（3）直线y xb经过点B（m，0），0 mbb m，y x m令 ( x2)( xm ) x m，解

13、得xm或x m2G（ m2， m1）若BG是矩形的一条对角线，显然点P只能在直线BG的下方由PG BQ，可得点Q的横坐标为 m2y ( m22 )( m2m ) m1，Q（ m2， m1）yCQBAOGPxM点P的纵坐标为： m1 m1m2P（0，m2）作QMx轴于MBMm( m2 ) ( m4 )，QM m1 ( m4 )四边形BPGQ为矩形，BPBQBQMPBO， ， m0， 2，m2P（0，4）若BG是矩形的一条边，显然点P只能在直线BG的下方由点B的横坐标为m、点P的横坐标为0，可得矩形对角线交点的横坐标为 由点G横坐标为 m2可得点Q的横坐标为 m2ByOACxGPQNMy ( m2

14、2 )( m2m ) m5 Q（ m2， m5 ）点P的纵坐标为 m1 m5 m6 P（0， m6 ）作QMx轴于M，GNx轴于NBM m2m ( m4 )，QM m5 ( m4 )( 3m8 )BNm m2 m2 ( m4 )，GN m1 ( m4 )四边形BPEQ为矩形，BQBGBQMGBN， ， m0， ，m8P（0，19）综上所述，以点B、E、P、Q为顶点的四边形能成为矩形点P的坐标为（0，4）或（0，19）第6题如图，抛物线yx 2( m2 )x4的顶点C在x轴正半轴上，直线yx2与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧）（1）求m的值；（2）点P是抛物线上一点，当PAB的面积是AB

15、C面积的2倍时，求点P的坐标；（3）将直线AB向下平移t（t0）个单位，平移后的直线与抛物线交于A、B 两点（A 在B 的左侧），当ABC为直角三角形时，求t的值ABxyCO备用图ABxyCO解：（1）抛物线yx 2( m2 )x4的顶点坐标为C（ ，4 ）顶点C在x轴正半轴上， 0，4 0解得m2，m2或m6 m2（2）过C作CDAB于D，过P作PEAB于E过C作CFy轴，交直线AB于F，过P作PGy轴，交直线AB于G则PGCF，PGECFDABxyCOPGDFERtPGERtCFD， SPAB 2SABC ， ABPE2 ABCDPE2CD，PG2CFm2，抛物线的解析式为yx 24x4y

16、x 24x4( x2 )2，C（2，0）把x2代入yx2，得y4CF4，PG8设P（x，x 24x4），则G（x，x2）PGx 24x4( x2 )x 25x2x 25x28，解得x1或x6P1（1，9），P2（6，16）（3）设直线AB 的解析式为yxb，A（x1，y1），B（x2，y2）显然，ABC90xyABCOABFG若BAC90，过A 作FGx轴于G，BFFG于F则ACGBAF 1AGCG2x1，A（x1，2x1）2x1( x12 )2，解得x11或x12（舍去）A（1，1），代入yxb，得b0t2若BAC90，作AGx轴于G，BHx轴于H则ACGCBH， ，y1y22( x1x2

17、)x1x24令x 24x4xb，即x 25x4b0则x1x25，x1x24bxyABCOABGHy1y2( x1b )( x2b )x1x2b( x1x2 )b 2b 24b4b 24b410( 4b )4解得b1或b2当b2时，yx2，直线过点C，A 与C重合b2不合题意，舍去b1，t2( 1 )3综上所述，t2或t3第7题已知抛物线yx 2bxc与x轴交于点A（m2，0）和B（2m1，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，对称轴为直线x1（1）求抛物线的解析式；（2）直线ykx2（k0）与抛物线相交于不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）（x1x2），当| x1x2|最小

18、时，求M、N两点的坐标；（3）若线段OB在x轴上移动，首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，求L最小值时点O、B移动后的坐标及L的最小值xyOABCP解：（1）对称轴为直线x1， 1，b2xyOCABOBCPPA（m2，0），B（2m1，0）， 1m1，A（1，0），B（3，0） 解得 抛物线的解析式为yx 22x3（2）令x 22x3kx2，得x 2( k2 )x10则x1x22k，x1x21 ( x1x2 )2( x1x2 )24x1x2( k2 )24当k2时，( x1x2 )2的最小值为4即| x1x2|的最小值为2，x 210x1x2，x11，x21，y10，y24M（1

19、，0），N（1，4）（3）O（0，0），B（3，0），P（1，4），C（0，3）O、B、P、C构成多边形的周长为LOBBPPCCO线段OB平移过程中，OB、PC的长度不变要使L最小，只需BPCO最小平移线段OC到BC，四边形OBCC是矩形C（3，3）作点P关于x轴的对称点P（1，4），连接CP 与x轴交于B可求直线CP 的解析式为y x 当y0时，x ，B（ ，0）又3 ，点B向左平移 个单位到B同时点O向左平移 个单位到O（ ，0）即线段OB向左平移 个单位时，L最小此时BPCO最小为CPOBOB3，CP周长L的最小值为 3第8题如图，已知二次函数的图象M经过A（1，0），B（4，0），C（

20、2，6）三点（1）求该二次函数的解析式；（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若ABG与ABC相似，求点G的坐标；（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（1m2）是图象M上一动点，当ACD的面积为 时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形若能，求出点P的坐标；若不能，说明理由lyBAOGDCxHFlyBAOGDCx解：（1）设二次函数的解析式为yax 2bxc，由题意得：lyBAOKDCx 解得 二次函数的解析式为yx 23x4（2）若ABG与ABC相似，则 易求AB5，AC3AG 过G、C分别作

21、x轴的垂线，垂足为F和H则AGFACH， ，解得AF ，GF lyBAODCxQEP点G的坐标为（ ， ）（3）过D作DKy轴交AC于K设直线AC的解析式为ykxt 解得 直线AC的解析式为y2x2D（m，n）在二次函数的图象上，D（m，m 23m4）K（m，2m2）KD2m2( m 23m4 )m 2m2SACD SAKD SCKD KD( xD xA ) KD( xC xD )lyBAODCxQEP KD( xC xA ) ( m 2m2 )3SACD ，( m 2m2 )3 解得m D（ ， ）yx 23x4( x )2 图象M的对称轴l为直线x 点D关于l的对称点为E，DE2( )2设

22、P（x，x 23x4）lyBAOPDCxQE若PQ为平行四边形的一条边则PQDE，且PQDE2| x |2，解得x 或x P1（ ， ），P2（ ， ）若PQ为平行四边形的一条对角线则PQ、DE互相平分此时P点是抛物线的顶点P3（ ， ）综上所述，满足条件的点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）第9题如图，抛物线yax 22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，对称轴与x轴交于点M，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，且PMAB（1）求抛物线的解析式；（2）点K是x轴正半轴上一点，点A、P关于点K的对称点分别为A1、P1，连接P

23、A1、P1A1，若PA1P1A1，求点K的坐标；（3）矩形ADEF的边AF在x轴负半轴上，边AD在第二象限，AD2，DE3将矩形ADEF沿x轴正方向平移t（t0）个单位，直线AD、EF分别交抛物线于G、H问：是否存在实数t，使得以点D、F、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由xyCBAODEF备用图xyPCBAOM解：（1）根据题意，由yax 22ax3aa( x1 )( x3 )xyPCBAOM令y0，则x11，x23A在B的左侧，A（1，0），B（3，0），AB4PMAB，PM4yax 22ax3aa( x1 )24aP（1，4a），PM4a4a4，a1

24、抛物线的解析式为yx 22x3（2）a1，P（1，4），PM4作P1Qx轴于Q点A、P关于点K的对称点分别为A1、P1AKA1K，PKP1K，PKMP1KQxyPCBAOMKP1A1QxyCBOADGHEFPKMP1KQ，P1QPM4，MKQKA1QAM2PA1P1A1，PA1MA1P1Q ， A1M8，A1（9，0）K（4，0）（3）存在由题意，点G的横坐标为t1，点H的横坐标为t4若GH为平行四边形的一条边，则DGFH( t4 )22( t4 )32( t1 )22( t1 )3解得t 若GH为平行四边形的一条对角线，则DGFH( t4 )22( t4 )3( t1 )22( t1 )32

25、解得t xyCBOADGHEFxBOADEFGHy第10题如图，已知抛物线yax 2bxc的顶点坐标为（1， ），且与x轴交于A（4，0）、B两点，与y轴交于点C，P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P满足PAO不大于45，求P点的横坐标m的取值范围；（3）当P点的横坐标m0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q问：是否存在P点，使QPOBCO？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由xyBAOC解：（1）抛物线的顶点坐标为（1， ）设抛物线为ya( x1 )2 点A（4，0）在抛物线上a( 41 )2 0，a xyMBAQQOPPCP抛物线的解析式为y

26、( x1 )2 即y x 2x4（2）由y x 2x4，令x0，得y4C（0，4）A（4，0），OAOCOAC45过A作APAC交抛物线于P，则PAO45作PMx轴于M，则PMAMP（m，m4），m4 m 2m4解得m4（舍去）或m4P（4，8）动点P满足PAO不大于45时，P点的横坐标m的取值范围是4m0（3）存在点P使QPOBCO当P点在第二象限时，由题意PQOCOB B（2，0），C（0，4），PQ2QOP（m， m）， m m 2m4解得m m0，P（ ，）当P点在第三象限时，同理可得P（m， m） m m 2m4，解得m m0，P（ ，）综上所述，满足条件的点P坐标为（ ，）或（ ，

27、）第11题如图，抛物线y x 2bxc与x轴分别相交于点A（2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；是否存在这样的点F，使PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由xyOMNPHCABFxyOMNPHCABF解：（1）由题设，依题意，得：y x 2x4（2）设H（x， x 2x4）由题意，OMON四边形OMHN为矩形，MHONOMMH，x x 2x4解得x

28、2（舍去）或x2H（2，2）存在设抛物线的对称轴交x轴于D，作PGMF于GxyOMPGCABFDy x 2x4 ( x1 )2 P（1，）易求直线BC的解析式为yx4设F（m，m4）当PFB90时在y x 2x4中，当x0时，y4C（0，4），OBOC，OBC45BFM和PFG均为等腰直角三角形xyOMNPGCABFDPGFG，1m ( 4m )解得m ，F（ ，）当FPB90时，则PFGPBD ， 解得m ，F（ ，）综上所述，存在点F（ ，）或（ ，），使PFB为直角三角形第12题如图，已知抛物线C1：y x 2，平移抛物线yx 2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的

29、抛物线为C2，且C2与y轴交于点C（0，2）（1）求抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），求过A、B、C三点的圆的圆心E的坐标；（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由xyCABOD解：（1）由题意，设D（a， a 2）则抛物线C2的解析式为y( xa )2 a 2点C（0，2）在抛物线C2上2( 0a )2 a 2，解得a2D在y轴右侧，a2抛物线C2的解析式为y( x2 )22（2）在y( xa )22中，令y0，得x2点B在点A的右侧，A（2，0），B（2，0）xyC

30、ABODEF过A、B、C三点的圆的圆心E一定在AB的垂直平分线上设E（2，m）由CEAE得2 2( 2m )2( 22 )2m 2解得m 圆心E的坐标为（2，）（3）假设存在F（t，）使四边形CEBF为菱形，则BFCFCE( 2t )2( )2t 2( 2 )2 解得t，F（，）易求CE ，CF BFCFCEBE即存在点F（，）使四边形CEBF为菱形第13题如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，抛物线的顶点为P，对称轴为直线x1，且OC3OA（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在抛物线上，点E在直线AP上，使DEOE，求点E的横坐标；（3

31、）连接BC与抛物线的对称轴交于点F，在抛物线上是否存在点G，使GPF与GBF 的面积相等，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.xyABOFPC备用图xyABOPCxyABONPCMED解：（1）抛物线yx 2bxc的对称轴为直线x1 1，b2，yx 22xcOC3OA，OA OC c，A（ c，0）( c )22( c )c0，c3抛物线的解析式为yx 22x3（2）由（1）知，A（1，0），C（0，3）D（2，m）在抛物线上，m2 2433D（2，3）当x1时，y4，P（1，4）易求直线AP的解析式为y2x2设E（m，2m2），过E作MNx轴，交y轴于M，DNMN于NDEOE，OM

32、EENDxyABOPCGF ， 解得m 点E的横坐标为 （3）存在令x 22x30，解得x1或x3B（3，0）易求直线BC的解析式为yx3当x1时，y2，F（1，2）SGPF SGBF ，P、B两点到直线FG的距离相等分两种情况讨论：当P、B在直线FG同侧时，则FGPB易求直线PB的解析式为y2x6设直线PB的解析式为y2xn把F（1，2）代入，得n4y2x4xyABOHPCGF由 解得 G1（2，2），G2（2，2）当P、B在直线FG异侧时，则直线FG过PB的中点设对称轴交x轴于HF（1，2），P（1，4），F为PH中点FGx轴，点G的纵坐标为2令x 22x32，解得x1G3（1，2），G4

33、（1，2）综上所述，存在满足条件的点G，其坐标为：（2，2）或（2，2）或（1，2）或（1，2）第14题如图，点D在第一象限，以D为圆心的D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A、B两点，AB6，抛物线yax 2bxc经过A、B、C三点（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，（3）点P是抛物线上的动点，线段PA与线段BC相交于点Q，当PQ4AQ时，求点P的坐标yDxCABOMEyDxCABOM解：（1）连接CD、DB，作DEAB于E ，则AEBE AB3D与y轴相切于点C（0，4），DCOC，DEOC4OECDDB 5A（2，0），B（8，0）抛物线yax 2bxc经过A、B、C三点yDxCABOME 解得a ，b ，c4抛物线的解析式为y x 2 x4（2）直线BM与D相切，理由如下：连接DM交AB于E，由对称性可知DMABBEMDEB90y x 2 x4 ( x5 )2 yDxPCABOQFGEM ， ， BEMDEB，MBEBDEBDEDBE90MBEDBE90，DBM90