2019年全国中考数学(续61套)压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题.doc

1、2019 年全国中考数学（续61 套）压轴题分类解析汇编专题 9：几何综合问题24. （ 2019 湖北恩施 12 分）如图， AB是 O 的弦， D为OA半径的中点，过 D作 CDOA交弦 AB于点 E，交 O于点 F，且 CE=CB（1）求证： BC是 O 的切线；（2）连接AF，BF，求 ABF 的度数；（3）如果 CD=15， BE=10，sinA=513，求 O 的半径【答案】解： （ 1）证明：连接OB，OB=OA，CE=CB，A=OBA，CEB=ABC。又CDOA，A+AED=A+CEB=90。OBA+ABC=90。 OBBC。BC是 O 的切线。（2）连接OF，AF，BF，DA

2、=D，O CDOA，OAF是等边三角形。AOF=60。1ABF= AOF=30。2（ 3）过点 C作 CGBE 于点 G，由 CE=CB，1 2EG=BE=5。易证 RtADERtCGE，5sin ECG=sinA=，13EG 5CE = =135sin ECG13。 CG CE2 EG2 132 52 12。又CD=15， CE=13，DE=2，由 RtADERtCGE得AD DECG GE，即AD 212 5，解得AD245。48 5 O 的半径为2AD=。【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【

3、分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明 OBC=90 即可证明 BC是 O 的切线。（2）连接OF，AF，BF，首先证明 OAF 是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出 ABF 的度数。1（3）过点 C作 CGBE 于点 G，由 CE=CB，可求出 EG=2BE=5，由 RtADERtCGE 和勾股定理求出 DE=2，由 RtADERtCGE 求出 AD的长，从而求出 O 的半径。25. （2019 黑龙江哈尔滨10 分）已知：在 ABC 中， ACB=90，0 点 P 是线段AC上一点，过点 A 作 AB的垂线，交 BP的延长线于点 M，MNA

4、C 于点 N，PQAB 于点 Q，A0=MN（1）如图l ，求证： PC=AN；（2） 如图2，点 E 是 MN上一点， 连接EP并延长交 BC于点 K，点 D是 AB上一点， 连接DK，DKE=ABC，EFPM于点 H，交 BC延长线于点 F，若 NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求 DQ的长【答案】解： （ 1）证明： BAAM，MNAP， BAM=ANM=90。PAQ+MAN= MAN+ AMN=90 ， PAQ=AMN。PQAB MNAC， PQA=ANM=90 。 AQ=M。N AQP MNA（ ASA）。AN=PQ， AM=AP。 AMB= APM。APM= BPCBPC+P

5、BC=90， AMB+ ABM=90 ， ABM= PBC。PQAB，PCBC，PQ=P（C 角平分线的性质） 。PC=AN。（2）NP=2 PC=3，由（ 1）知 PC=AN=。3 AP=NC=，5 AC=8。AM=AP=。5 2 2AQ MN AM AN 4。PAQ=AMN，ACB=ANM=90 ， ABC=MAN。 tan ABC tan MAN MN 4AN 3。 tan ABC ACBC， BC=6。NEKC， PEN=PKC。又 ENP=KCP， PNEPCK。NE NPCK PC。CK： CF=2：3，设CK=2k，则 CF=3k。 NE 22k 3，4NE k3。过N作 NTE

6、F 交 CF于 T，则四边形 NTFE是平行四边形。4NE=TF=3k，CT=CF TF=3k4 5k= k3 3。EFPM， BFH+HBF=90=BPC+HBF。BPC=BFH。EFNT， NTC=BFH=BPC。 tan NTC tan BPC BC 2PC。 tan NTC NC 2CT，1 5CT NC=2 2。CT=5 k= 53 2。 k= 32。CK=2 32=3，BK=BC CK=3。PKC+DKC=ABC+BDK，DKE=ABC， BDK=PKC。 tan PKC PC 1 。 tan BDK=1。KC过K 作 KGBD 于 G。tan BDK=1，tan ABC= 43，

7、设GK=4n，则 BG=3n，GD=4n。3 21BK=5n=3，n= 。BD=4n+3n=7n=。5 5 AB AC2 BC2 10 ，AQ=4， BQ=ABAQ=6。DQ=BQ BD=621 9 =5 5。【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）确定一对全等三角形 AQP MNA，得到 AN=PQ；然后推出 BP 为角平分线，利用角平分线的性质得到 PC=PQ；从而得到 PC=AN。（2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定 PKC 是等腰直角三角形；然后在 BDK 中，解直

8、角三角形即可求得 BD、 DQ的长度。26. （ 2019 湖北十堰 10 分）如图1， O 是ABC的外接圆， AB 是直径， ODAC，且 CBD=BAC， OD交 O于点 E（1）求证： BD是 O 的切线；（2）若点 E为线段OD的中点，证明：以O、A、 C、E 为顶点的四边形是菱形；FG（3）作 CFAB 于点 F，连接AD交 CF于点 G（如图 2），求的值FC【答案】解： （ 1）证明： AB 是 O 的直径， BCA=90。 ABC+BAC=90。又 CBD=BAC， ABC+CBD=90 。 ABD=90。 OBBD。BD为 O 的切线。（2）证明：如图，连接CE、OC，BE

9、，OE=E，D OBD=90 ， BE=OE=E。DOBE为等边三角形。 BOE=60 。又ODAC， OAC=60 。又OA=O，CAC=OA=O。EACOE 且 AC=OE。四边形 OACE是平行四边形。而 OA=O，E 四边形 OACE是菱形。（3）CFAB， AFC=OBD=90 。又ODAC， CAF=DOB。RtAFCRtOBD。 FC AFBD OB，即FCBD AFOB。又FGBD， AFGABD。 FG AFBD AB，即FGBD AFAB。 FG OB 1FC AB 2。【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角

10、形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由 AB是 O 的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到 BCA=90，则 ABC+BAC=90，而CBD=BA，得到 ABC+CBD=90 ，即 OBBD，根据切线的判定定理即可得到 BD为 O 的切线。（2）连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 BE=OE=E，D 则O BE为等边三角形，于是 BOE=60 ，又因为 ACOD，则 OAC=60 ， AC=OA=O，E即有 ACOE且 AC=OE，可得到四边形 OACE是平行四边形，加上 OA=O，E 即可得到四边形 OACE是菱

11、形。（3）由 CFAB 得到 AFC=OBD=90 ，而 ODAC，则 CAF=DOB，根据相似三角形的FC AF判定易得 RtAFCRtOBD，则有BD OB，即FCBD AFOB，再由 FG BD易证得 AFG ABD则，FG AFBD AB，即 FG BD AFAB，然后求 FG与 FC的比即可。27. （ 2019 江苏镇江 11 分）等边 ABC 的边长为 2，P 是 BC边上的任一点（与 B、C 不重合），连接AP，以 AP为边向两侧作等边 APD 和等边 APE，分别与边 AB、AC交于点 M、N（如图 1）。（1）求证： AM=AN；（2）设BP=x。3若， BM=8，求 x

12、的值；记四边形 ADPE与ABC重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式以及S 的最小值；连接DE，分别与边 AB、AC交于点 G、H（如图 2），当 x 取何值时， BAD=150？并判断此时以 DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解： （ 1）证明： ABC、APD 和APE都是等边三角形，AD=AP，DAP=BAC=600，ADM= APN=600。 DAM= PAN。ADM APN（ ASA），AM=A。N（2）易证 BPMCAP， BM BPCP CA，3BN=38，AC=2，CP=2x，x82 x 2，即 4x2 8x+3=

13、0 。1 3解得 x= 或 x=。2 2四边形 AMPN的面积即为四边形 ADPE与ABC重叠部分的面积。ADM APN， S ADM S APN 。S四 边形 S S S S S 。AMPN APM ANP APM ADM ADP如图，过点 P 作 PSAB 于点 S，过点 D 作DTAP 于点 T，则点 T 是 AP的中点。在 RtBPS中， P=600 ，BP=x，0PS=BPsin60 =320x，BS=BPcos60=12x。1AB=2，AS=AB BC=2 x。2222 2 2 1 3 2AP AS PS 2 x + x =x 2x+4 。2 21 1 3 3 2 S AP DT

14、AP AP= AP ADP2 2 2 4。3 3 3 3 322 2S S四边形 S AP x 2x+4 x 1 + 0 x 2 。AMPN ADP4 4 4 4当 x=1 时，S 的最小值为3 34。连接 PG，设 DE交 AP于点 O。0若BAD=15，0 0DAP =60 ，PAG =45。APD和APE都是等边三角形，AD=DP=AP=PE=。EA四边形 ADPE是菱形。DO垂直平分 AP。GP=A。G APG =PAG =450。0PGA =90。设 BG=t，0在 RtBPG中，B=60 ，BP=2t， PG= 3t 。AG=PG= 3t 。 3t+t=2 ，解得 t= 3 1。B

15、P=2t=2 3 2。0 当 BP=2 3 2 时，BAD=15。猜想：以 DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。0。四边形 ADPE是菱形， AODE，ADO= AEH=300 0 0 0BAD=15，易得 AGO=45，HAO=15，EAH=45。设 AO=a，则 AD=AE=2 a，OD= 3 a。DG=DO GO=（ 3 1）a。0 0 0 0又BAD=15，BAC=60，ADO=30，DHA=DAH=75。DH=AD=2，aGH=DH DG=2a（ 3 1）a=（3 3 ）a，HE=2DODH=2 3 a2a=2（ 3 1）a。2 22 2 2DG GH 3 1 a

16、 + 3 3 a = 16 8 3 a ，22 2HE 2 3 1 a = 16 8 3 a ， DG 2 GH2 HE 2 。以 DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。【分析】（1）由 ABC、 APD和APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用 ASA证明。（2）由 BPMCAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得 S四边形AM

17、PN S ADP ，用 x 的代数式表示 S，用二次函数的最值原理求出 S 的最小值。由 BAD=150 得到四边形 ADPE是菱形，应用相关知识求解。求出 DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。28. （ 2019 福建三明 14 分）在正方形 ABCD中，对角线 AC，BD交于点 O，点 P 在线段 BC上（不含点 B），BPE 12ACB， PE交 BO于点 E，过点 B作 BFPE，垂足为 F，交 AC于点 G（1） 当点 P 与点 C重合时（如图） 求证： BOG POE； （4 分）BF（2）通过观察、测量、猜想： = ，并结合图证明你的猜想； （5 分）PE（3）把正方

18、形 ABCD改为菱形，其他条件不变（如图） ，若 ACB=，求 BFPE的值（用含 的式子表示） （5 分）【答案】解： （1）证明：四边形 ABCD是正方形， P 与 C重合，OB=OP， BOC= BOG=90 。PFBG，PFB=90， GBO=90 BGO，EPO=90 BGO。GBO= EPO。 BOG POE（ AAS）。（2）BF 1PE 2。证明如下：如图，过 P 作 PM/AC 交 BG于 M，交 BO于 N， PNE=BOC=900， BPN=OCB。OBC= OCB =450， NBP=NPB。 NB=NP。MBN=900 BMN， NPE=900 BMN， MBN= N

19、PE。 BMN PEN（ ASA）。 BM=PE。12BPE=ACB，BPN=ACB， BPF=MPF。PFBM， BFP=MFP=900。1又PF=PF， BPF MPF（ ASA）。 BF=MF，即 BF= BM。2 BF=12PE， 即BF 1PE 2。（3）如图，过P 作 PM/AC 交 BG于点 M，交 BO于点 N，BPN=ACB=，PNE=BOC=900。12由（ 2）同理可得 BF=BM， MBN= EPN。BNM= PNE=900， BMNPEN。 BM BNPE PN。在 RtBNP中，tan =BNPN， BMPE= tan，即2BFPE=tan。 BF = 1 tanP

20、E 2。【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）由正方形的性质可由 AAS证得 BOG POE。（2）过P 作 PM/AC 交 BG于 M，交 BO于 N，通过ASA证明 BMN PEN 得到 BM=PE，通过ASA证明BPF MPF得到 BF=MF，即可得出BF 1PE 2的结论。（3）过P 作 PM/AC 交 BG于点 M，交 BO于点 N，同（ 2）证得 BF=12BM， MBN= EPN，从而可证得BMNPEN，由BM BNPE PN和 Rt BNP中tan =BNPN即可求得BF 1= tanPE 2。29.

21、（ 2019 辽宁沈阳12 分）已知，如图， MON=60 ，点 A，B 为射线 OM，ON上的动点（点 A， B不与点 O重合），且 AB=4 3，在 MON的内部、 AOB 的外部有一点 P，且 AP=BP，APB=120.（ 1）求 AP的长；（ 2）求证：点 P 在MON的平分线上；（ 3） 如图，点 C，D，E，F 分别是四边形 AOBP的边 AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.当 ABOP时，请直接写出四边形 CDEF的周长的值；若四边形 CDEF的周长用t 表示，请直接写出 t 的取值范围【答案】解： (1) 过点 P作 PQAB 于点 Q PA=PB

22、，APB=120 ， AB=4 3 ，1 2AQ=12AB=4 3 =2 3 ，APQ=121 2APB=120=60。AQ在 RtAPQ中， sin APQ=APAP=AQ 2 3 2 3sin APQ sin 60 324。（2）证明：过点 P 分别作 PSOM于点 S， PTON于点 T，OSP=OTP=90。在四边形 OSPT中， SPT=360 - OSP- SOT- OTP=360 - 90 - 60 - 90=120，APB=SPT=120。 APS=BPT。又 ASP=BTP=90， AP=BP， APS BPT（ AAS）。 PS=PT。点 P 在MON的平分线上。（ 3）

23、8+4 3 4+4 3 t 8+4 3 。【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理1【分析】（1）过点 P 作 PQAB 于点 Q根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知 AQ=BQ=2AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。（2）作辅助线 PS、PT（过点 P分别作 PSOM于点 S，PTON于点 T）构建全等三角形 APS BPT；然后根据全等三角形的性质推知 PS=OT；最后由角平分线的性质推知点 P 在MON的平分线上。（3）利用三角形中位线定理知四边形 CD

24、EF的周长的值是OP+AB。当 ABOP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；当 ABOP时，OP取最大值， 即四边形 CDEF的周长取最大值； 当点 A 或 B 与点 O重合时， 四边形 CDEF的周长取最小值，据此写出 t 的取值范围。30. （ 2019 辽宁大连12 分）如图1，梯形 ABCD中，ADBC，ABC2BCD 2，点 E 在 AD上，点 F 在 DC上，且 BEF=A.（ 1）BEF=_(用含 的代数式表示 ) ；（ 2）当 ABAD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；（ 3）当 ABAD时，将“点 E在 AD上”改为“点 E在 AD的延长

25、线上，且AEAB，AB mDE， ADnDE”，EB其他条件不变（如图2），求 的值（用含m、n 的代数式表示） 。EF【答案】解： （1）180 2。（2）EB=EF。证明如下：连接BD交 EF于点 O，连接BF。ADBC， A=180 - ABC=180 2，ADC=180 C=180 - 。1AB=AD， ADB= （180 A） =。2BDC=ADCADB=180 2。由（ 1）得： BEF=180 2=BDC。又 EOB=DOF， EOBDOF。OE OB =OD OF，即 OE = ODOB OF。EOD= BOF， EODBOF。 EFB=EDO= 。EBF=180 BEFEFB

26、= =EFB。EB=EF。（3） 延长 AB至 G，使 AG=AE，连接BE，GE，180 A 180 180 2 = = 2 2则G=AEG=。ADBC，EDF=C= ，GBC= A，DEB=EBC。EDF=G。BEF=A， BEF=GBC。GBC+ EBC=DEB+BEF，即 EBG=FED。DEFGBE。 EB = BGEF DE。AB=mD，E AD=nDE，AG=AE（= n+1）DE。BG=AG AB=（n+1）DEmDE（= n+1m）DE。 EB = n 1 m DE =n 1 m（ ）EF DE。【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分

27、析】（1）由梯形 ABCD中，ADBC，ABC=2BCD=2 ，根据平行线的性质， 易求得A 的度数，又由 BEF=A，即可求得 BEF 的度数：梯形 ABCD中，ADBC， A+ABC=180 。 A=180 ABC=180 2。又 BEF=A， BEF=A=180 2。（2）连接BD交 EF于点 O，连接BF，由 AB=AD，易证得 EOBDOF， 根据相似三角形的对应边成比例，可得 OE = OBOD OF，从而可证得 EODBOF， 又由相似三角形的对应角相等， 易得 EBF=EFB= ，即可得 EB=EF。（3）延长 AB至 G，使 AG=AE，连接BE，GE，易证得 DEFGBE，

28、然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得 EBEF的值。31. （ 2019 辽宁鞍山12 分）如图，正方形 ABCO的边 OA、OC在坐标轴上，点 B 坐标（ 3，3），将正方形 ABCO绕点 A 顺时针旋转角度 （0 90），得到正方形 ADEF，ED交线段OC于点 G，ED的延长线交线段BC于点 P，连 AP、AG（1）求证： AOG ADG；（2）求 PAG的度数；并判断线段OG、PG、 BP之间的数量关系，说明理由；（3）当 1=2 时，求直线 PE的解析式【答案】解： （ 1）证明： AOG= ADG=90 ，在 RtAOG和 RtADG中， AO=AD，AG=AG，AOG ADG

29、（ HL）。（2）PAG =45,PG=OG+B。P理由如下：由（ 1）同理可证 ADP ABP，则 DAP=BAP。由（ 1）AOG ADG， 1=DAG。又 1+DAG+ DAP+BAP=90，2DAG+2 DAP=90，即 DAG+ DAP=45。 PAG=DAG+ DAP=45。AOG ADG，ADP ABP，DG=O，G DP=BP。PG=DG+DP=OG。+BP（3） AOG ADG， AGO= AGD。又 1+AGO=90 ， 2+PGC=90 ， 1=2， AGO= AGD= PGC。又 AGO+ AGD+ PGC=180 ， AGO= AGD= PGC=60 。 1=2=30

30、。在 RtAOG中， AO=3，OG=AOtan30 = 3 ，G 点坐标为：（ 3 ，0），CG=33 。CG 3 3在 RtPCG中， PC= = = 3 1，P 点坐标为：（3， 3 1）。 0tan30 33设直线 PE的解析式为y=kx+b ，3k+b=0则3k+b= 3 1，解得3k=3b= 1。直线 PE的解析式为y=33x1。【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】（1）由 AO=AD， AG=AG，利用“ HL”可证 AOG ADG。（2）利用（

31、1）的方法，同理可证 ADP ABP，得出 1=DAG，DAP=BAP，而1+DAG+ DAP+BAP=90，由此可求 PAG 的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。（3）由 AOG ADG 可知， AGO= AGD，而 1+AGO=90 ， 2+PGC=90 ，当 1=2 时，可证AGO= AGD= PGC，而 AGO+ AGD+ PGC=180 ，得出 AGO= AGD= PGC=60 ，即 1=2=30，解直角三角形求 OG，PC，确定 P、G两点坐标，得出直线 PE的解析式。32. （ 2019 山东威海11 分）探索发现：已知：在梯形 ABCD中

32、，CDAB， AD、BC的延长线相交于点 E，AC、BD相交于点 O，连接EO并延长交 AB于点 M，交 CD于点 N。（ 1）如图，如果AD=BC，求证：直线 EM是线段AB的垂直平分线；（ 2）如图，如果ADBC，那么线段AM与 BM是否相等？请说明理由。学以致用：仅用直尺（没有刻度） ，试作出图中的矩形 ABCD的一条对称轴。 （写出作图步骤，保留作图痕迹）【答案】解： （ 1）证明： AD=BC，CDAB，AC=BD，DAB=CBA。AE=BE。点 E在线段AB的垂直平分线上。在ABD和BAC中， AB=BA， AD=BC，AC=BD，ABD BAC（ SSS）。 DBA=CAB。OA

33、=O。B点 O在线段AB的垂直平分线上。直线 EM是线段AB的垂直平分线。（ 2）相等。理由如下：CDAB， EDNEAM，ENCEMB，EDCEAB。 DN DE CN CE DE CE， ， 。AM AE BM BE AE BEDN CNAM BM。BM CNAM DN。CDAB， ONDOM，B ONCOM，A OCDOAB。 DN OD CN OC OD OC， ， 。BM OB AM OA OB OADN CNBM AM。AM CNBM DN。 BM AMAM BM2=BM2。AM=B。M。 AM（ 3）作图如下：作法： 连接AC，BD，两线相交于点 O1； 在梯形 ABCD外 DC

34、上方任取一点 E，连接EA， EB，分别交 DC于点 G，H； 连接BG，AH，两线相交于点 O2； 作直线 EO2，交 AB于点 M； 作直线 MO1。则直线 MO1。就是矩形 ABCD的一条对称轴。【考点】平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。【分析】（1）一方面由已知可得点 E在线段 AB的垂直平分线上；另一方面可由 SSS证明 ABD BAC，从而得DBA=CAB，因此 OA=O，B 得出点 O在线段 AB的垂直平分线上。从而直线 EM是线段 AB的垂直平分线。（ 2）一方面由 CDAB，得 EDNEAM，ENCEMB，EDCEAB

35、，利用对应边成比例可得BM CNAM DN；另一方面由 CD AB，得 OND OMB， ONC OMA， OCD OAB，利用对应边成比例可得AM CNBM DN。从而得到BM AMAM BM，即可得到 AM=BM的结论。（3）按（ 2）的结论作图即可。33. （ 2019 四川泸州9 分）如图， ABC 内接于 O， AB是 O 的直径， C是的弧 AD中点，弦 CEAB于点 H，连结 AD，分别交CE、BC于点 P、Q，连结 BD。(1) 求证： P 是线段 AQ的中点；15(2) 若 O 的半径为5，AQ=2，求弦 CE的长。【答案】解： （ 1）证明： AB 是 O 的直径，弦 CE

36、AB， AC AE 。又C 是弧 AD 的中点， AC CD 。 AE CD 。 ACP=CAP。PA=PC。AB是直径 ACB=90。PCQ=90 ACP，CQP=90 CAP。 PCQ= CQP。PC=PQ。PA=PQ，即 P 是 AQ的中点。（ 2） AC CD ， CAQ= ABC。又 ACQ= BCQ， CAQCBA。AC AQBC BA。15又 AQ=2，BA=10，15AC 2 3BC 10 4。设AC=3k， BC=4k，则由勾股定理得，2 2 23k 4k 10 ，解得 k=2。AC=6， BC=8。24根据直角三角形的面积公式，得： AC?BC=AB?C，H68=10CH。

37、CH=。548又CH=H，E CE=2CH=。5【考点】圆的综合题，圆周角定理。垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）首先利用等角对等边证明： ACP=CAP 得到： PA=PC，然再证明 PC=PQ，即可得到 P 是 AQ的中点。（2）首先证明： CAQCBA，依据相似三角形的对应边的比相等求得 AC、BC的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得 CH的长，则可以求得 CE的长。34. （2019 四川成都 10 分）如图， AB是 O 的直径，弦 CDAB 于 H，过CD延长线上一点 E 作 O 的切线交 AB的延长线于 F切点为 G，连接AG交 CD于 K（1）求

38、证： KE=GE；（2）若2KG =KD GE，试判断AC与 EF的位置关系，并说明理由；3（3） 在（ 2）的条件下，若 sinE= ，AK=2 5 ，求 FG的长5【答案】解： （ 1）证明：如答图 1，连接OG。EG为切线， KGE+OGA=90 。CDAB， AKH+OAG=90 。又 OA=O，G OGA= OAG。KGE=AKH=GKE。KE=G。E（2）ACEF，理由如下：连接GD，如答图 2 所示。KG 2=KD?G，E KG KD2=KD?G，E KG KDGE KG。又 KGE=GKE， GKDEGK。E=AGD。又 C=AGD， E=C。ACEF。（3）连接OG，OC，如

39、答图 3 所示。3由（ 2）E=ACH，sinE=sin ACH=。5可设AH=3t，则 AC=5t，CH=4t。KE=G，E ACEF，CK=AC=5。t HK=CK CH=t。在 RtAHK中，根据勾股定理得 AH ，即（ 3t ） 2+HK2=AK2 2+t2+HK2=AK2 2+t2=（ 2 5 ）2 ，解得 t= 2 。，解得 t= 2 。设O 半径为 r ，在 RtOCH中，OC=r，OH=r3t ，CH=4t，2 2 2由勾股定理得： OH+CH=OC，即（ r 3t ）2+（4t ）2=r2，解得 r=256t=2562。EF 为切线， OGF为直角三角形。25 6在 RtOGF中，OG=r=2CH 4AH 3，tan OFG=tanCA H=，25 2OG 6 25FG=4tan OFG 832。【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，