中考数学二次函数综合练习题附详细答案.doc

1、一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，抛物线yax2+bx+3（a0）的对称轴为直线x1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线yx1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E（1）求抛物线的解析式（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若ABP的面积最大，求此时点P的坐标（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标【答案】(1)yx22x+3；(2)点P(，)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(6，3)，D3(2，7)【解析】【分析】(1)令y0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x1，求出点C的坐标

2、，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m，m22m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PFy轴交直线AB于点F，利用SABPSPBF+SPFA，用含m的式子表示出ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标【详解】解：(1)令y0，可得：x10，解得：x1，点A(1，0)，抛物线yax2+bx+3(a0)的对称轴为直线x1，1213，即点C(3，0)， ，解得

3、： 抛物线的解析式为：yx22x+3；(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动，设点P(m，m22m+3)，抛物线与直线yx1交于A、B两点， ，解得：， 点B(4，5)，如图，过点P作PFy轴交直线AB于点F，则点F(m，m1)，PFm22m+3m+1m23m+4，SABPSPBF+SPFA(m23m+4)(m+4)+(m23m+4)(1m)-（m+ ）2+ ，当m时，P最大，点P(，).(3)当x1时，y112，点E(1，2)，如图，直线BC的解析式为y5x+15，直线BE的解析式为yx1，直线CE的解析式为yx3，以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，直线D1D3的解析式为y5x+

4、3，直线D1D2的解析式为yx+3，直线D2D3的解析式为yx9，联立 得D1(0，3)，同理可得D2(6，3)，D3(2，7)，综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(6，3)，D3(2，7)【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解2童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价元,每星期的销售量为件.(1)降价后

5、,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元【解析】【分析】（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题【详解】解：（1）根据题意得，（60x）10+1003100，解得：x40，604020元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w，根据题意得，w（x30）（60x）10+10010x2

6、+1000x2100010（x50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型3如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点，点P是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点D的坐标；（2）点在轴上，若以，为顶点的四边形是平行四边形，求此时点的坐标；（3）过点作直线CD的垂线，垂足为，若将沿翻折，点的对应点为是否存在点，使恰好落在轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】（1）；点坐

7、标为； （2）P1(0,2)； P2(,-2)；P3(,-2) ; （3）满足条件的点有两个，其坐标分别为：（， ），（，）【解析】【分析】1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D的坐标(2)分两种情况进行讨论,当AE为一边时,AEPD,当AE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P坐标(3)结合图形可判断出点P在直线CD下方,设点P的坐标为(，),分情况讨论,当P点在y轴右侧时,当P点在y轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可【详解】解：（1）抛物线经过，两点，解得：，抛物线解析式为：； 当时，解得：，（舍），即：点坐标为 （2），两

8、点都在轴上，有两种可能：当为一边时，此时点与点重合（如图1），当为对角线时，点、点到直线（即轴）的距离相等，点的纵坐标为（如图2），把代入抛物线的解析式，得：，解得：，点的坐标为，综上所述：； ； （3）存在满足条件的点，显然点在直线下方，设直线交轴于，点的坐标为（，），当点在轴右侧时（如图3），又，,又，即，点的坐标为（，）， 当点在轴左侧时（如图4），此时，（），又，又，此时，点的坐标为（，） 综上所述，满足条件的点有两个，其坐标分别为：（，），（，）【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法的出解析式，难度较大4如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个

9、交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MNy轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。【答案】（1）（2）（3）P的坐标为（1，12）或（6，5）或（2，3）或（3，4）【解析】【分析】（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数

10、最值原理求解。（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线联立，即可求得点P的坐标。【详解】解：（1）设直线BC的解析式为，将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。直线BC的解析式为。将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。抛物线的解析式。（2）点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，设M。点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，N。当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。MN的最大值是。（3）当MN取得最大值时，N。的对称轴是，B（5，0），A（1，0）。AB=4。由勾股定理可得，。设BC与PQ的距离为h，

11、则由S1=6S2得：，即。如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则BH=，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。易得，BEH是等腰直角三角形，EH=。直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：或。当时，与联立，得，解得或。此时，点P的坐标为（1，12）或（6，5）。当时，与联立，得，解得或。此时，点P的坐标为（2，3）或（3，4）。综上所述，点P的坐标为（1，12）或（6，5）或（2，3）或（3，4）。5如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图

12、象上有一点B，使AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使POB=90？若存在，求出点P的坐标，并求出POB的面积；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x23x。（2）点B的坐标为：（4，4）。（3）存在；理由见解析；【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。（

13、3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OBOP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标求POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出BOP的面积。【详解】解：（1）函数的图象与x轴相交于O，0=k+1，k=1。这个二次函数的解析式为y=x23x。（2）如图，过点B做BDx轴于点D，令x23x=0，解得：x=0或3。AO=3。AOB的面积等于6，AOBD=6。BD=4。点B在函数y=x23x的图象上，4=x23x，解得：x=4或x=1（舍去）。又顶点坐标为：（ 1.5，2.25），且2.254，x轴下方不存在B点。点B的坐标为：（4，4）。（3）存在。点B的坐标为：（

14、4，4），BOD=45，。若POB=90，则POD=45。设P点坐标为（x，x23x）。若，解得x=4 或x=0（舍去）。此时不存在点P（与点B重合）。若，解得x=2 或x=0（舍去）。当x=2时，x23x=2。点P 的坐标为（2，2）。POB=90，POB的面积为：POBO=8。6（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3

15、）证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值【答案】（1）a=，A（，0），抛物线的对称轴为x=；（2）点P的坐标为（，0）或（，4）；（3）【解析】试题分析：（1）由点C的坐标为（0，3），可知9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得CAO=60，依据AE为BAC的角平分线可求得DAO=30，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标设点P的坐标为（，a）依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、

16、AP=DP三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可试题解析：（1）C（0，3），9a=3，解得：a=令y=0得：，a0，解得：x=或x=，点A的坐标为（，0），B（，0），抛物线的对称轴为x=（2）OA=，OC=3，tanCAO=，CAO=60AE为BAC的平分线，DAO=30，DO=AO=1，点D的坐标为（0，1）设点P的坐标为（，a）依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a1）2当AD=PA时，4=12+a2，

17、方程无解当AD=DP时，4=3+（a1）2，解得a=0或a=2（舍去），点P的坐标为（，0）当AP=DP时，12+a2=3+（a1）2，解得a=4，点P的坐标为（，4）综上所述，点P的坐标为（，0）或（，4）（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：，解得：m=，直线AC的解析式为设直线MN的解析式为y=kx+1把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，点N的坐标为（，0），AN=将与y=kx+1联立解得：x=，点M的横坐标为过点M作MGx轴，垂足为G则AG=MAG=60，AGM=90，AM=2AG=，= = =点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主

18、要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键7在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线yx22x，其顶点为A(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”试求抛物线yx22x的“不动点”的坐标；平移抛物线yx22x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式.【答案】(l)抛物线yx22x的开口向上，顶点A的坐标是(1，1)，抛物线的变化情况是：抛

19、物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；(2)(0，0)、(3，3)； 新抛物线的表达式是y(x1)21.【解析】【分析】（1），故该抛物线开口向上，顶点的坐标为；（2）设抛物线“不动点”坐标为，则，即可求解；新抛物线顶点为“不动点”，则设点，则新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，四边形是梯形，则直线在轴左侧，而点，点，则，即可求解.【详解】(l)，抛物线yx22x的开口向上，顶点A的坐标是(1，1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的.(2)设抛物线yx22x的“不动点”坐标为(t，t).则tt22t，解得t10，t23.所以，抛物线yx22x

20、的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3).新抛物线的顶点B是其“不动点”，设点B的坐标为(m，m)新抛物线的对称轴为直线xm，与x轴的交点为C(m，0)四边形OABC是梯形，直线xm在y轴左侧.BC与OA不平行OCAB.又点A的坐标为(1，一1)，点B的坐标为(m，m)，m1.新抛物线是由抛物线yx22x向左平移2个单位得到的，新抛物线的表达式是y(x1)21.【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可.8如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接. （1）求二次函数的表达式；（2）若

21、点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，.【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DGx轴，交AE于点F，表示ADE的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可详解：（1）二次函数y=ax2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0），C（0，6），解得：，所以二次函

22、数的解析式为：y=；（2）由A（4，0），E（0，2），可求AE所在直线解析式为y=，过点D作DNx轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H，如图， 设D（m，），则点F（m，），DF=（）=，SADE=SADF+SEDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2（） =，当m=时，ADE的面积取得最大值为 （3）y=的对称轴为x=1，设P（1，n），又E（0，2），A（4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（1，1）； 当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（1，）； 当PE=AE时，=，解得：

23、n=2，此时点P坐标为：（1，2） 综上所述：P点的坐标为：（1，1），（1，），（1，2）点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键9如图，抛物线y=ax2+c（a0）经过C（2，0），D（0，1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数【答案】解：（1

24、）y=x21（2）详见解析（3）详见解析【解析】【分析】（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证。（3）k=0时，求出AM、BN的长，然后代入计算即可得解；设点A（x1，x121），B（x2，x221），然后表示出，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x12，并求出x12+x22，x12x22，然后代入进行计算即可得解。【详解】解：（1）抛物线y=ax2+c（a0）经过C（2，0），D（0，1），解得。抛物线的解析式为y=x21。（2）证明：

25、设点A的坐标为（m，m21），则。直线l过点E（0，2）且平行于x轴，点M的纵坐标为2。AM=m21（2）=m2+1。AO=AM。（3）k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，AM=BN=0（2）=2，。k取任何值时，设点A（x1，x121），B（x2，x221），则。联立，消掉y得，x24kx4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1x2=4，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=16k2+8，x12x22=16。无论k取何值，的值都等于同一个常数1。10如图1，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为.点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿

26、以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点与点重合时运动停止.设运动时间为秒.（1）当时，线段的中点坐标为_；（2）当与相似时，求的值；（3）当时，抛物线经过、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，如图2所示.问该抛物线上是否存在点，使，若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）的中点坐标是；（2）或；（3），.【解析】分析：（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P和Q的路程OP和AQ的长，再根据中点坐标公式可得结论；（2）根据矩形的性质得：B=PAQ=90，所以当CBQ与PAQ相似时，存在两种情况：当PAQQBC时，当PAQCBQ时，分别列方程可得t的值；（3）根据t=1求

27、抛物线的解析式，根据Q（3，2），M（0，2），可得MQx轴，KM=KQ，KEMQ，画出符合条件的点D，证明KEQQMH，列比例式可得点D的坐标，同理根据对称可得另一个点D详解：（1）如图1，点A的坐标为（3，0），OA=3，当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4，P（2，0），Q（3，4），线段PQ的中点坐标为：（，），即（，2）；故答案为：（，2）；（2）如图1，四边形OABC是矩形，B=PAQ=90当CBQ与PAQ相似时，存在两种情况：当PAQQBC时，4t2-15t+9=0，（t-3）（t-）=0，t1=3（舍），t2=，当PAQCBQ时，t2-9t+9=0，t=，0t6，7，x=不

28、符合题意，舍去，综上所述，当CBQ与PAQ相似时，t的值是或；（3）当t=1时，P（1，0），Q（3，2），把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，抛物线：y=x2-3x+2=（x-）2-，顶点k（，-），Q（3，2），M（0，2），MQx轴，作抛物线对称轴，交MQ于E，KM=KQ，KEMQ，MKE=QKE=MKQ，如图2，MQD=MKQ=QKE，设DQ交y轴于H，HMQ=QEK=90，KEQQMH，MH=2，H（0，4），易得HQ的解析式为：y=-x+4，则，x2-3x+2=-x+4，解得：x1=3（舍），x2=-，D（-，）；同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使HQM=MKQ=QKE，由对称性得：H（0，0），易得OQ的解析式：y=x，则，x2-3x+2=x，解得：x1=3（舍），x2=，D（，）；综上所述，点D的坐标为：D（-，）或（，）点睛：本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数的交点等知识，本题比较复杂，注意用t表示出线段长度，再利用相似即可找到线段之间的关系，代入可解决问题