1、专题二十六 平面向量的数量积及平面向量的应用【高频考点解读】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义、了解平面向量的数量积与向量投影的关系、2.掌握数量积的坐标表达式、会进行平面向量数量积的运算、3.能运用数量积表示两个向量的夹角、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系、4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题、【热点题型】题型一 平面向量的数量积例1、已知向量a、b、满足|a|3、|b|2、且a(ab)、则a与b的夹角为()A. B. C. D.【提分秘籍】 1、两向量的夹角是指当两向量的起点相同时、表示两向量的有向线段所形成的角、若起点不同
2、、应通过移动、使其起点相同、再观察夹角、2、两向量的夹角为锐角cos 0且cos 1.3、向量的投影是一个实数、其值可正、可负、可为零、【举一反三】已知向量a、b的夹角为120、且|a|1、|b|2、则向量ab在向量ab方向上的投影是_、【热点题型】题型二 数量积的性质及运算律例2、如图、在平面四边形ABCD中、若AB2、CD1、则()()()A、5 B、0C、3 D、5【提分秘籍】 1、在实数运算中、若a、bR、则|ab|a|b|、但对于向量a、b却有|ab|a|b|、当且仅当ab时等号成立、这是因为|ab|a|b|cos |、而|cos |1.2、实数运算满足消去律：若bcca、c0、则有
3、ba.在向量数量积的运算中、若abac(a0)、则不一定得到bc.3、实数运算满足乘法结合律、但向量数量积的运算不满足乘法结合律、即(ab)c不一定等于a(bc)、这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量、而a(bc)表示一个与a共线的向量、而c与a不一定共线、【热点题型】题型三 平面向量数量积的有关结论例3、已知向量a和b的夹角为120、|a|1、|b|3、则|ab|()A. B、2 C. D、4【提分秘籍】在实数运算中、若ab0、则a与b中至少有一个为0、而在向量数量积的运算中、不能从ab0推出a0或b0成立、实际上由ab0可推出以下四种结论：a0、b0；a0、b0；a0、b0；a0、b0
4、、但ab.【举一反三】若向量a、b满足|a|1、|b|2、且a(ab)、则a与b的夹角为()A. B. C. D.【热点题型】题型四 平面向量的夹角与模例4、(1)平面向量a与b的夹角为60、 |a|2、|b|1、则|a2b|()A. B、2 C、4 D、10(2)(2013年高考江西卷)设e1、e2为单位向量、且e1、e2的夹角为、若ae13e2、b2e1、则向量a在b方向上的投影为_、【提分秘籍】 1、当ab是非坐标形式时、求a与b的夹角、需求得ab及|a|、|b|或得出它们的关系、2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用、要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|
5、2(ab)2a22abb2；(3)若a(x、y)则|a| .【举一反三】已知a、b都是单位向量、且|ab|1、则a、b的夹角的取值范围是_、答案：【热点题型】题型五 数量积研究垂直问题及应用例5、已知向量a(cos 、sin )、b(cos 、sin )、0或且17、设向量a(a1、a2)、b(b1、b2)、定义一种向量积ab(a1b1、a2b2)、已知向量m、n、点P(x、y)在ysin x的图象上运动、Q是函数yf(x)图象上的点、且满足mn(其中O为坐标原点)、则函数yf (x)的值域是_、8、已知向量e1、e2、则e1e2_.9、已知两个单位向量a、b的夹角为60、cta(1t)b.若bc0、则t_.10、在ABC中、若A120、1、则|的最小值是_、11、设向量a(4cos 、sin )、b(sin 、4cos )、c(cos 、4sin )、(1)若a与b2c垂直、求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16、求证：ab.
