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(完整版)利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题.doc

1、导数结合洛必达法则巧解高考压轴题法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) 及;(2)在点a的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g(x)0; (3),那么 =。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) 及; (2),f(x) 和g(x)在与上可导,且g(x)0; (3),那么 =。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件:(1) 及; (2)在点a的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g(x)0; (3),那么 =。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意: 1.将上面公式中的xa,x换成x+,x-,洛必达法则也成立。2.洛

2、必达法则可处理,型。3.在着手求极限以前,首先要检查是否满足,型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。 4.若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。二高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数。(1)若,求的单调区间;(2)若当时,求的取值范围 解:(II)当时,对任意实数a,均在;当时,等价于令(x0),则,令,则,知在上为增函数,;知在上为增函数,;,g(x)在上为增函数。由洛必达法则知,故综上,知a的取值范围为。2(2011年全国新课标理)已知函数,曲线在点处的切线方程为。()求、的值;

3、()如果当,且时,求的取值范围。解:(II)由题设可得,当时,k=0在上为增函数=0当时,当x(1,+)时,当时,当x(1,+)时,在上为减函数,在上为增函数洛必达法则知,即k的取值范围为(-,03.已知函数f(x)=x(1+a)lnx在x=1时,存在极值。(1)求实数a的值;(2)若x1,mlnx成立,求正实数m的取值范围解:=g(x)=令h(x)= 令则,令M(x)=r(x),0,则,r(x)为减,且r(1)=0,则h(x)为减,且h(1)=0,则g(x)为减,这样,g(x)0),分子r(x)=,(x0, ),扩展定义域,求导0,可知,r(x)为定义域内增函数,而r(x)r(0)=0.所以

4、0.为增函数。则ah(0)-不存在,罗比达法则可得为1练习1. 2006年全国2理 设函数f(x)(x1)ln(x1),若对所有的x0,都有f(x)ax成立,求实数a的取值范围2. 2006全国1理 已知函数.()设,讨论的单调性;()若对任意恒有,求的取值范围.3. 2007全国1理 4. 设函数()证明:的导数;()若对所有都有,求的取值范围5. 2008全国2理 设函数()求的单调区间;()如果对任何,都有,求的取值范围 解:() 当()时,即;当()时,即因此在每一个区间()是增函数,在每一个区间()是减函数解:()略()应用洛必达法则和导数若,则;若,则等价于,即则.记, 而.另一方

5、面,当时,因此6. 2008辽宁理 设函数.求的单调区间和极值;是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.7 2010新课标理 设函数=.()若,求的单调区间;()若当x0时0,求a的取值范围.8 .2010新课标文已知函数.()若在时有极值,求函数的解析式;()当时,求的取值范围. 解:()略()应用洛必达法则和导数当时,即.当时,;当时,等价于,也即.记,则.记,则,因此在上单调递增,且,所以,从而在上单调递增.由洛必达法则有,即当时,所以,即有.综上所述,当,时,成立.9. 2010全国大纲理 设函数.()证明:当时,;()设当时,求的取值范围.

6、解:()略()应用洛必达法则和导数由题设,此时.当时,若,则,不成立;当时,当时,即;若,则;若,则等价于,即.记,则.记,则,.因此,在上单调递增,且,所以,即在上单调递增,且,所以.因此,所以在上单调递增.由洛必达法则有,即当时,即有,所以.综上所述,的取值范围是.10. 2011新课标理 已知函数,曲线在点处的切线方程为.()求、的值;()如果当,且时,求的取值范围.押题 若不等式对于恒成立,求的取值范围.解:应用洛必达法则和导数当时,原不等式等价于.记,则.记,则.因为,所以在上单调递减,且,所以在上单调递减,且.因此在上单调递减,且,故,因此在上单调递减.由洛必达法则有,即当时,即有

7、.故时,不等式对于恒成立.通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足: 可以分离变量;用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性; 现“”型式子.第三部分:新课标高考命题趋势及方法1. 高考命题趋势 近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化,坚持了稳中求改、稳中创新的原则,充分发挥数学作为基础学科的作用,既重视考查中学数学基础知识的掌握程度,又注重考查进入高校继续学习的潜能。为此,高考数学试题常与大学数学知识有机接轨,以高等数学为背景的命题形式成为了热点.2.分类讨论和假设反证 许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题,其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方法,一部分题用这种方法很凑效,另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决,高中阶段解决它只有华山一条路分类讨论和假设反证的方法.3.洛必达法则 虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解,但这种方法往往讨论多样、过于繁杂,学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了”型的式子,而这就是大学数学中的不定式问题,解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.

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