1、 微专题十一微专题十一 切线的辅助线问题切线的辅助线问题一一 切线的判定切线的判定 (教材教材P40作业题第作业题第4题题)已知：如图已知：如图1，AB是是 O的直径，的直径，BCAB，弦，弦ADOC.求求证：证：DC是是 O的切线的切线图图1证明证明：如答图，连结：如答图，连结OD.ADOC，COBA，ADODOC.OAOD，AADO，COBDOC.又又OCOC，ODOB，CDO CBO(SAS)，CDOCBO90，DC是是 O的切线的切线教材母题答图教材母题答图【思想方法思想方法】证明某直线为圆的切线时，证明某直线为圆的切线时，(1)如果已知直线如果已知直线与圆有公共点，即可作出经过该点的
2、半径，证明直线垂直于该与圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即半径，即“连半径，证垂直连半径，证垂直”；(2)如果直线与圆的公共点不确如果直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线，证明直线到圆心的距离等于半径，定，则过圆心作直线的垂线，证明直线到圆心的距离等于半径，即即“作垂直，证半径作垂直，证半径”如图如图2，以线段，以线段AB为直径作为直径作 O，CD与与 O相切相切于点于点E，交，交AB的延长线于点的延长线于点D，连结，连结BE，过点，过点O作作OCBE交切交切线线DE于点于点C，连结，连结AC.(1)求证：求证：AC是是 O的切线；的切线；(2)若若BDOB4
3、，求弦，求弦AE的长的长图图2解解：(1)证明：如答图，连结证明：如答图，连结OE.CD与与 O相切，相切，OECD，CEO90，OCBE，AOCOBE，COEOEB，OBOE，OBEOEB，AOCCOE，变形变形1答图答图2017金东区模拟金东区模拟如图如图3，AB是是 O的直径，的直径，PA是是 O的切线，点的切线，点C在在 O上，上，CBPO.(1)判断判断PC与与 O的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；(2)若若AB6，CB4，求，求PC的长的长图图3解解：(1)PC是是 O的切线的切线理由：如答图，连结理由：如答图，连结OC，CBPO，POAB，POCOCB，OCOB，O
4、CBB，POAPOC，又，又OAOC，OPOP，APO CPO，OAPOCP，PA是是 O的切线，的切线，OAP90，OCP90，PC是是 O的切线；的切线；变形变形2答图答图(2)连结连结AC，AB是是 O的直径，的直径，ACB90，由由(1)知知PCO90，BOCBPOC，2018临沂临沂如图如图4，ABC为等腰三角形，为等腰三角形，O是底是底边边BC的中点，腰的中点，腰AB与与 O相切于点相切于点D，OB与与 O相交于点相交于点E.(1)求证：求证：AC是是 O的切线；的切线；图图4变形变形3答图答图解解：(1)证明：如答图，过点证明：如答图，过点O作作OFAC，垂足为点，垂足为点F，连
5、，连结结OD，OA.ABC是等腰三角形，点是等腰三角形，点O是底边是底边BC的中点，的中点，OA也是也是ABC的高线，也是的高线，也是BAC的平分线，的平分线，AB是是 O的切线，的切线，ODAB，又又OFAC，OFOD，即，即OF是是 O的半径，的半径，AC是是 O的切线；的切线；二二 切线的性质切线的性质 (教材教材P44作业题第作业题第5题题)如图如图5，DB为半圆的直径，为半圆的直径，A为为BD延长线上一点，延长线上一点，AC切半切半圆于点圆于点E，BCAC于点于点C，交半圆于点，交半圆于点F.已知已知AC12，BC9.求求AO的长的长图图5教材母题答图教材母题答图【思想方法思想方法】
6、圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径是常用的辅助线点的半径是常用的辅助线 如图如图6，AB是半圆是半圆O的直径，的直径，P是是BA延长线上一延长线上一点，点，PC是是 O的切线，切点为的切线，切点为C，过点，过点B作作BDPC交交PC的延长的延长线于点线于点D，连结，连结BC.求证：求证：(1)PBCCBD；(2)BC2ABBD.图图6变形变形1答图答图证明证明：(1)如答图，连结如答图，连结OC.PC是是 O的切线，的切线，OCPC，BDPC，OCBD，BCOCBD，OBOC，PBCBCO，PBCCBD；(2)如答图，连结如答图，连结AC.AB是半圆是半圆O的直径，的直径，ACB90，BDPC，即，即D90，ACBD90，由由(1)知知ABCCBD，ABCCBD，
