1、向量的运算加法加法减法减法数乘数乘a共线向量基本定理共线向量基本定理向量向量 与向量与向量 共线共线当且仅当有唯一一个实数当且仅当有唯一一个实数 使得使得(0)a a bababbb00OPBA三点共线的等价条件三点共线的等价条件,1,OA P BOPxOAyOBxyA P B 为平面内异于的任意一点，且满足。若，则三点共线，反之亦然。一维直线一维直线二维平面二维平面ab=该如何表示？例例1 已知平行四边形已知平行四边形ABCD中中,M,N分别是分别是BC,DC的中点且的中点且 ，用，用 表示表示 .bADaAB,ba,ANAM,ADBCMNbaBMABAM解：DNADANbaADABBCAB
2、212121abABADDCAD212121一维直线一维直线二维平面二维平面ab=1 122a=ee1e2e OCABMNa11eOM22eON 设设 是同一平面内的两个不共线的向量，是同一平面内的两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，问：与问：与 之间有怎样的关系？之间有怎样的关系？21,eea21,eea2211eeONOMa证明证明121 122 eeee 确定一对不共线向量，后，是否平面内任意一个向量都可以用来表示呢？0a 当 时思考思考(1)(1)120.0.aee(2)(2)1e2e1e2e12.aee 当 与 或 共线时aa1220aee 1 120a
3、ee(3)(3)a改变 的位置如下图几种情况a1e2eAOCBNMO Oa1e2eCABNM1 12212(0,0)aee 1 12212(0,0)aee(3)(3)a改变 的位置如下图几种情况1e2eaAOBNMC C1 12212(0,0)aee 平面向量基本定理平面向量基本定理:如果如果 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 有且只有有且只有一对实数一对实数 ,使使21ee、a21、2211eea12 .e e 其中，叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底 概念辨析概念辨析1、把、把不共线不共线的的非零向量非
4、零向量 叫做表叫做表示这一平面内所有向量的一组示这一平面内所有向量的一组基底基底.12,e e 概念辨析概念辨析2、平面内所有向量的平面内所有向量的基底基底.唯一吗？唯一吗？（有无数组）（有无数组）BAOMa1e2eOMaABxy概念辨析概念辨析3、唯一性的理解2211eea2023年5月5日星期五12,?4、若基底选取不同 则表示同一向量的实数是一定不同BAOMa1e2eOMaABxy2123eea yxa423 mnnma23 平面向量基本定理平面向量基本定理:如果如果 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 有
5、且只有有且只有一对实数一对实数 ,使使21ee、a21、2211eea12 .e e 其中，叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底 例3：用基底表示向量12,e e 122.53ee 已知向量 ，求作向量2e 1e23e 12.5e122.53ee 11,32,PABCADAB BEBCBAc BCaacCD BP 如图，为内一点，且，记用，来表示变式111,32,PABCADAB BEBCBAc BCaacCD BP 如图，为内一点，且，记用，来表示变式12155PABCAPABACABCABC 若 为内一点，且，求与的面积比例4 系数的理解2155PABCAPABACAPBABC 若 为内一点，且，求与的面积比例4 系数的理解例5 系数和理解,1,OA P BOPxOAyOBxyA P B 为平面内异于的任意一点，且满足。若，则三点共线，反之亦然。若系数和为不等于1的常数？例5 系数和理解=120(,)AOBAOBCOABOCxOAyOB x yRxy 半径为1的扇形，如图所示，点 在以为圆心的弧上运动，若，则的最大值是多少？例5 系数和理解=120(,)AOBAOBCOABOCxOAyOB x yRxy 半径为1的扇形，如图所示，点 在以为圆心的弧上运动，若，则的最大值是多少？小结1、概念2、表示3、系数4、系数和作业作业本45-46
