高中数学必修1人教版必修一不同函数增长的差异课件.ppt

1、1.1.用平均变化率比较函数值变化的快慢用平均变化率比较函数值变化的快慢(1)(1)定义定义:函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间 x x1 1,x,x2 2(x(x1 1xx2 2时时)或或 x x2 2,x,x1 1(x(x2 2xx1 1时时)上的平均变化率为上的平均变化率为 2121fxfxy.xxx（）（）(2)(2)实质实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)(3)理解理解:自变量每增加自变量每增加1 1个单位个单位,函数值将增加函数值将增加_个单位个单位.(4)(4)应用应用:比较函数值变化的快慢比较函数值变化的快慢.yx【思考思

2、考】对于函数对于函数f(x)=x+1,g(x)=4x-3,f(x)=x+1,g(x)=4x-3,当当xx足够大时足够大时,对于对于xR,f(xxR,f(x0 0+x),g(x+x),g(x0 0+x)+x)的大小关系能确定吗的大小关系能确定吗?提示提示:当当xx足够大时足够大时,f(x,f(x0 0+x)g(x+x)1a1时时,指数函数指数函数f(x)=af(x)=ax x,当自变量每增加当自变量每增加1 1个单位时个单位时,随着自变量的增大随着自变量的增大,f(x)=a,f(x)=ax x的函数值增长的的函数值增长的越来越快越来越快;定义定义:类似指数函数的增长称为指数增长类似指数函数的增长

3、称为指数增长(或指数级或指数级增长、爆炸式增长增长、爆炸式增长).).(2)(2)线性增长线性增长:类似一次函数的增长称为线性增长类似一次函数的增长称为线性增长(或直或直线增长线增长).).【思考思考】指数增长和线性增长中增长速度哪一个大指数增长和线性增长中增长速度哪一个大?提示提示:指数增长指数增长.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)若若f(x)=2x+1,f(x)=2x+1,自变量每增加自变量每增加1 1个单位个单位,函数值将增加函数值将增加1 1个单位个单位.()(2)(2)增长速度是不为增长速度是不为0 0的常数的函数

4、模型是线性增长模的常数的函数模型是线性增长模型型.()(3)(3)指数函数指数函数f(x)=af(x)=ax x(a0(a0且且a1)a1)的增长速度一定比线的增长速度一定比线性增长速度大性增长速度大.()提示提示:(1)(1).自变量每增加自变量每增加1 1个单位个单位,函数值将增加函数值将增加2 2个个单位单位.(2).(2).线性增长的增长速度是不变的线性增长的增长速度是不变的.(3)(3).当当a1a1时时,指数增长速度比线性增长速度大指数增长速度比线性增长速度大.2.2.四个人赛跑四个人赛跑,假设他们跑过的路程假设他们跑过的路程f fi i(x)(i1,2,3,4)(x)(i1,2,

5、3,4)和时间和时间x(x1)x(x1)的函数关系分别的函数关系分别是是f f1 1(x)=x(x)=x2 2,f,f2 2(x)=4x,f(x)=4x,f3 3(x)=log(x)=log2 2x,fx,f4 4(x)=2(x)=2x x,如果如果他们一直跑下去他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数最终跑在最前面的人具有的函数关系是关系是()A.fA.f1 1(x)=x(x)=x2 2B.fB.f2 2(x)=4x(x)=4xC.fC.f3 3(x)=log(x)=log2 2x xD.fD.f4 4(x)=2(x)=2x x【解析解析】选选D.D.显然四个函数中显然四个函数中,指数函

6、数是增长最快的指数函数是增长最快的.故最终跑在最前面的人具有的函数关系是故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f f4 4(x)=2(x)=2x x.3.3.在某种金属材料的耐高温实验中在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示的情况由微机记录后显示的图像如图所示.现给出下列现给出下列说法说法:前前5 min5 min温度增加的速度越来越快温度增加的速度越来越快;前前5 min5 min温度温度增加的速度越来越慢增加的速度越来越慢;5 min5 min以后温度保持匀速增加以后温度保持匀速增加;5 min5 min以后温度保持不变以后温度保持

7、不变.其中正确的说法是其中正确的说法是_.(_.(填序号填序号)【解析解析】因为温度因为温度y y关于时间关于时间t t的图像是先凸后平的图像是先凸后平,即即5 min5 min前每当前每当t t增加一个单位增量增加一个单位增量,则则y y相应的增量越来相应的增量越来越小越小,而而5 min5 min后是后是y y关于关于t t的增量保持为的增量保持为0,0,则正确则正确.答案答案:类型一比较函数值增加的快慢类型一比较函数值增加的快慢 【典例典例】已知函数已知函数y=4y=4x x,分别计算函数在区间分别计算函数在区间 1,21,2 与与 3,43,4 上的平均变化率上的平均变化率,并说明并说

8、明,当自变量每增加当自变量每增加1 1个单个单位时位时,函数值的变化规律函数值的变化规律.【思维思维引引】按照平均变化率的公式进行计算按照平均变化率的公式进行计算,再说明再说明变化规律变化规律.【解析解析】因为因为 所以所以y=4y=4x x在区在区间间 1,21,2 上的平均变化率为上的平均变化率为 =12,=12,在区间在区间 3,43,4 上的平均变化率为上的平均变化率为 =192,=192,所以当自变量每增加所以当自变量每增加1 1个单位时个单位时,区间的左端点越大区间的左端点越大,函数值增加越快函数值增加越快.21121xxxxx2121y44441xxxxx（），12 14 412

9、 1（）34 34 4143（）【内化内化悟悟】当区间左端点越大当区间左端点越大,函数值增加越快时函数值增加越快时,函数的图像有函数的图像有什么特征什么特征?提示提示:图像上升图像上升,图像越来越陡图像越来越陡.【类题类题通通】平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用(1)(1)计算函数在不同区间上的平均变化率计算函数在不同区间上的平均变化率,利用平均变利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢化率的大小比较函数值增加的快慢,(2)(2)平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小两点连线斜率的大小

10、,通过直线可以直观观察函数值的通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响变化对曲线变化趋势的影响.【习练习练破破】已知函数已知函数y=xy=x2 2-2x-3.-2x-3.(1)(1)分别计算函数在区间分别计算函数在区间 1,21,2与与3,43,4上的平均变化率上的平均变化率,分析当自变量每增加分析当自变量每增加1 1个单位时个单位时,函数值变化的规律函数值变化的规律;(2)(2)记记A(1,f(1),B(2,f(2),C(3,f(3),D(4,f(4),A(1,f(1),B(2,f(2),C(3,f(3),D(4,f(4),判定直线判定直线ABAB与直线与直线BCBC斜率的相对大

11、小斜率的相对大小.【解析解析】(1)=x(1)=x2 2+x+x1 1-2,-2,所以所以在区间在区间 1,21,2 上的平均变化率为上的平均变化率为1,1,在区间在区间 3,43,4 上的平上的平均变化率为均变化率为5,5,所以自变量每增加所以自变量每增加1 1个单位个单位,区间长不变区间长不变的条件下的条件下,端点之和越大端点之和越大,函数值增加越快函数值增加越快.(2)(2)直线直线ABAB的斜率为的斜率为1,1,直线直线CDCD的斜率为的斜率为5,5,直线直线ABAB的斜率的斜率小于直线小于直线CDCD的斜率的斜率.22221121x2x3x2x3yxxx（）【加练加练固固】已知函数已

12、知函数y=-xy=-x2 2+2x+1,+2x+1,计算在区间计算在区间 1,2,2,31,2,2,3上的平上的平均变化率均变化率,并说明并说明,当自变量每增加当自变量每增加1 1个单位时个单位时,函数值函数值的变化规律的变化规律.【解析解析】=-(x=-(x2 2+x+x1 1)+2,)+2,所以在区间所以在区间 1,21,2 上的平均变化率为上的平均变化率为-1,-1,在区间在区间 2,32,3 上的平均变化率为上的平均变化率为-3,-3,所以自变量每增加所以自变量每增加1 1个单位个单位,区间长不变的条件下区间长不变的条件下,端点之和越大端点之和越大,函数值减小越快函数值减小越快.类型二

13、比较函数平均变化率的大小类型二比较函数平均变化率的大小22221121x2x1x2x1yxxx （）类型二类型二 比较函数平均变化率的大小比较函数平均变化率的大小【典例典例】已知函数已知函数f(x)=3f(x)=3x x,g(x)=2x,h(x)=log,g(x)=2x,h(x)=log3 3x,x,比较比较这三个函数在区间这三个函数在区间 a,a+1a,a+1(a1)(a1)上的平均变化率的上的平均变化率的大小大小.【思维思维引引】计算出平均变化率计算出平均变化率,再利用指数函数、再利用指数函数、对数函数的性质比较大小对数函数的性质比较大小.【解析解析】因为因为 =2=23 3a a,又因为

14、又因为a1,a1,所以所以2 23 3a a223 31 1=6,=6,loglog3 3 log log3 3 =log =log3 32log2log3 33=16,3=16,a 1af33xa1a（）333g2a12a2xa1alog a1log ah1log(1)xa1aa（），（）（），（）1(1)a1(1)1因此在区间因此在区间 a,a+1a,a+1 上上,f(x),f(x)的平均变化率最大的平均变化率最大,h(x),h(x)的的平均变化率最小平均变化率最小.【内化内化悟悟】指数函数、一次函数、对数函数的函数值变化快慢的指数函数、一次函数、对数函数的函数值变化快慢的顺序是什么顺序是

15、什么?提示提示:由慢到快依次是对数函数、一次函数、指数函数由慢到快依次是对数函数、一次函数、指数函数.【类题类题通通】不同函数平均变化率大小的比较不同函数平均变化率大小的比较计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率;利用指利用指数、对数函数的性质比较大小数、对数函数的性质比较大小,一般选取一个中间值进一般选取一个中间值进行比较行比较,以确定平均变化率的大小以确定平均变化率的大小.【习练习练破破】已知函数已知函数f(x)=4f(x)=4x x,g(x)=5,g(x)=5x x,分别计算这两个函数在区分别计算这两个函数在区间间 2,32,3 上的平均变化率上

16、的平均变化率,并比较它们的大小并比较它们的大小.【解析解析】所以在区间所以在区间 2,32,3 上上f(x)f(x)的平均变化率比的平均变化率比g(x)g(x)的小的小.3232f44g5548100 x32x32，类型三函数增长速度的应用类型三函数增长速度的应用角度角度1 1增长曲线的选择增长曲线的选择【典例典例】高为高为H,H,满缸水量为满缸水量为V V0 0的鱼缸的轴截面如图所的鱼缸的轴截面如图所示示,其底部碰了一个小洞其底部碰了一个小洞,满缸水从洞中流出满缸水从洞中流出,若鱼缸水若鱼缸水深为深为h h时水的体积为时水的体积为V,V,则函数则函数V=f(h)V=f(h)的大致图像是的大致

17、图像是世纪金榜导学号世纪金榜导学号()【思维思维引引】根据鱼缸的形状根据鱼缸的形状,判断判断h h变化时水的体积变化时水的体积V V变化的快慢变化的快慢,选择变化曲线选择变化曲线.【解析解析】选选B.B.当当h=Hh=H时时,体积是体积是V,V,故排除故排除A,C.hA,C.h由由0 0到到H H变变化的过程中化的过程中,V,V的变化开始时增长速度越来越快的变化开始时增长速度越来越快,类似于类似于指数型函数的图像指数型函数的图像,后来增长速度越来越慢后来增长速度越来越慢,类似于对类似于对数型函数的图像数型函数的图像,综合分析可知选综合分析可知选B.B.【素养素养探探】在增长曲线的选择过程中在增

18、长曲线的选择过程中,常常用到核心素养中的直观常常用到核心素养中的直观想象想象,根据变量增长的快慢根据变量增长的快慢,想象函数曲线的变化想象函数曲线的变化,从而从而选择恰当的曲线描述实际问题选择恰当的曲线描述实际问题.本例中本例中,若将鱼缸的形状变为如图的形状若将鱼缸的形状变为如图的形状,则应选择哪则应选择哪一个曲线一个曲线?【解析解析】选选D.D.当当h=Hh=H时时,体积是体积是V,V,故排除故排除A,C.hA,C.h由由0 0到到H H变变化的过程中化的过程中,增长速度越来越慢增长速度越来越慢,类似于对数型函数的类似于对数型函数的图像图像,最后增长速度快最后增长速度快,类似于指数函数的图像

19、类似于指数函数的图像,故综合故综合分析可知选分析可知选D.D.角度角度2 2函数变化率大小的应用函数变化率大小的应用【典例典例】函数函数f(x)=2f(x)=2x x和和g(x)=xg(x)=x3 3的图像如图所示的图像如图所示.设两设两函数的图像交于点函数的图像交于点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),且且x x1 1xg(1),f(2)g(1),f(2)g(2),f(9)g(10),f(9)g(10),所以所以1x1x1 12,9x2,9x2 210,10,所以所以x x1 16x6x,2 019x2 2,从图像上可以看出从图像上可以看出,当当x

20、 x1 1xxxx2 2时时,f(x)g(x),f(x)g(x),所以所以f(6)g(6);f(6)xxx2 2时时,f(x)g(x),f(x)g(x),所以所以f(2 019)g(2 019);f(2 019)g(2 019);又因为又因为g(2 019)g(6),g(2 019)g(6),所以所以f(2 019)g(2 019)g(6)f(6).f(2 019)g(2 019)g(6)f(6).【类题类题通通】由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法由图像判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时函数时,

21、通常是观察函数图像上升快慢通常是观察函数图像上升快慢,即随着自变量即随着自变量的增长的增长,图像最图像最“陡陡”的函数是指数函数的函数是指数函数,图像趋于平图像趋于平缓的函数是对数函数缓的函数是对数函数.【习练习练破破】函数函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图像的图像,如图所示如图所示:(1)(1)试根据函数增长差异找出曲线试根据函数增长差异找出曲线C C1 1,C,C2 2对应的函数对应的函数;(2)(2)比较函数增长差异比较函数增长差异(以两图像交点为分界点以两图像交点为分界点,对对f(x),g(x)f(x),g(x)的大小进行比较的大小

22、进行比较).).【解析解析】(1)C(1)C1 1对应的函数为对应的函数为g(x)=0.3x-1,Cg(x)=0.3x-1,C2 2对应的对应的函数为函数为f(x)=lg x.f(x)=lg x.(2)(2)当当xxxf(x);,g(x)f(x);当当x x1 1xxxg(x);,f(x)g(x);当当xxxx2 2时时,g(x)f(x).,g(x)f(x).【加练加练固固】函数函数f(x)=1.1f(x)=1.1x x,g(x)=ln x+1,h(x)=,g(x)=ln x+1,h(x)=的图像的图像如图所示如图所示,试分别指出各曲线对应的函数试分别指出各曲线对应的函数,并比较三者并比较三者

23、的增长差异的增长差异(以以1,a,b,c,d,e1,a,b,c,d,e为分界点为分界点).).12x【解析解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间间,可明显得出曲线可明显得出曲线C C1 1对应的函数是对应的函数是f(x)=1.1f(x)=1.1x x,曲线曲线C C2 2对应的函数是对应的函数是h(x)=,h(x)=,曲线曲线C C3 3对应的函数是对应的函数是g(x)=ln x+1.g(x)=ln x+1.由图像可得由图像可得:当当x1xh(x)g(x);,f(x)h(x)g(x);12x当当1xe1xg(x)h(x);,f(x)g(x)h(x);当当exaexf(x)h(x);g(x)f(x)h(x);当当axbaxh(x)f(x);,g(x)h(x)f(x);当当bxcbxg(x)f(x);,h(x)g(x)f(x);当当cxdcxf(x)g(x);,h(x)f(x)g(x);当当xdxd时时,f(x)h(x)g(x).,f(x)h(x)g(x).