1、第2章 2.4 抛物线1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.学习目标栏目索引知识梳理 自主学习题型探究 重点突破当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习知识点一抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形答案性质范围 ，yR ，yRxR，1xR，1对称轴x轴x轴y轴y轴顶点 1离心率 1(0,0)x0 x0y0y0e=1知识点二焦点弦答案x1x2p知识点三直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程的解的个数.当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的
2、公共点；当0时，直线与抛物线有个公共点；当0，即k1且k0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；当0，即k1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；当1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离.综上所述，(1)当k1或k0时，直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k1时，直线l与抛物线C没有公共点.反思与感悟直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.反思与感悟解析答案跟踪训练3如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物
3、线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.证明设kABk(k0)，直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，直线AB的方程是yk(x4)2.消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解.解析答案直线BC的斜率为定值.解析答案返回解后反思思想方法分类讨论思想的应用解析答案分析由于抛物线的开口有两种可能性：向左或向右，其标准方程可以设为y22px(p0)或y22px(p0).解设直线和抛物线相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)当抛物线开口向右时，消去y，得4x2(2p4)x10.解后反思解得p2(负值舍去)或p6，
4、故抛物线的标准方程为y212x.(2)当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为y22p1x(p10)，同理可得p12，此时所求抛物线的标准方程为y24x.综上所述，抛物线的标准方程为y24x或y212x.解后反思分类讨论思想在解决抛物线问题时经常用到，如对抛物线的开口方向进行讨论，对直线的斜率是否存在进行讨论，对判别式的取值范围进行讨论等.返回解后反思 当堂检测1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为_.解析设抛物线y22px或y22px(p0)，解析答案得|y|p，2|y|2p8，p4.抛物线方程为y28x或y28x.y28x或
5、y28x2.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为_.解析答案3.抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点坐标为_.解析答案解析因为y4x2与y4x5不相交，设与y4x5平行的直线方程为y4xm.设此直线与抛物线相切，此时有0，即1616m0，m1.解析答案4.经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是_.6x4y30解析答案5.已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a_.直线与抛物线相切，a0且14a0.课堂小结1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.直线与抛
6、物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果.(2)代数法：设直线l的方程为ykxm，抛物线的方程为y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2BxC0(或Ay2ByC0).返回直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
