高中数学课件第二章第11节《变化率与导数、导数的计算》资料.ppt

1、1.了解导数概念的实际背景了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义理解导数的几何意义.3.(文文)能根据导数定义，求函数能根据导数定义，求函数yc(c为常数为常数)，y x，yx2，y 的导数的导数.(理理)能根据导数定义，求函数能根据导数定义，求函数yc(c为常数为常数)，y x，yx2，yx3，y ，y 的导数的导数.4.(文文)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数的导数的四则运算法则求简单函数的导数.(理理)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数

2、的导数，能求简单的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单 的复合函数的复合函数(仅限于形如仅限于形如f(axb)的复合函数的复合函数)的的 导数导数.1.导数的概念导数的概念(1)函数函数f(x)从从x1到到x2的平均变化率的平均变化率 函数函数f(x)从从x1到到x2的平均变化率为的平均变化率为 ，若若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示，则平均变化率可表示 为为 .(2)f(x)在在xx0处的导数处的导数 函数函数yf(x)在在xx0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是 ，称其为函数，称其为函数yf(x)在在xx0处的导数，记作处的导数，记作 f(x0)或或 ，即，即f(x0

3、)(3)导函数导函数 当当x变化时，变化时，f(x)称为称为f(x)的导函数，则的导函数，则f(x)y2.导数的几何意义导数的几何意义 函数函数yf(x)在在xx0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲 线线yf(x)在点在点P(x0，y0)处的切线的处的切线的 ，过点，过点P 的切线方程为：的切线方程为：斜率斜率yy0f(x0)(xx0)原函数原函数导函数导函数f(x)cf(x)xn(nQ*)f(x)sinxf(x)cosxf(x)ax(a0且且a1)f(x)exf(x)logax(a0且且a1)f(x)lnx3.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式f(x)0f(x)e

4、xf(x)nxn1f(x)cosxf(x)(a0且且a1)f(x)axIna(a且且a a1)f(x)f(x)-sinx4.导数运算法则导数运算法则 (1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)(3).f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)5.复合函数的导数复合函数的导数(理理)复合函数复合函数yf(g(x)的导数和函数的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的导数间 的关系为的关系为yx ，即，即y对对x的导数等于的导数等于y对对u的导的导 数与数与u对对x的导数的积的导数的积.f(u)ux1.若若f(x)2x2图象上一点图象上一点(1,2)及附近一点及附近一点(

5、1x,2 y)，则则 等于等于 ()A.32xB.4x C.42x D.3x解析：解析：yf(1x)f(1)4x2(x)2，42x.答案：答案：C2.函数函数yxcosxsinx的导数为的导数为 ()A.xsinxB.xsinx C.xcosx D.xcosx解析：解析：y(xcosxsinx)(xcosx)(sinx)cosxxsinxcosxxsinx.答案：答案：B3.曲线曲线yx32x4在点在点(1,3)处的切线的倾斜角为处的切线的倾斜角为 ()A.30 B.45 C.60 D.120解析：解析：设倾斜角为设倾斜角为.y3x22，y|x131221，45.答案：答案：B4.设设f(x)

6、，则，则f(x).解析：解析：f(x)()()()()答案：答案：5.已知点已知点P在曲线在曲线f(x)x4x上，曲线在点上，曲线在点P处的切线平行处的切线平行 于直线于直线3xy0，则点，则点P的坐标为的坐标为.解析：解析：由题意知，函数由题意知，函数f(x)x4x在点在点P处的切线的斜率处的切线的斜率等于等于3，即即f(x0)13，x01，将其代入，将其代入f(x)中可得中可得P(1，0).答案：答案：(1,0)根据导数的定义求函数根据导数的定义求函数yf(x)在点在点x0处导数的方法：处导数的方法：1.求函数的增量求函数的增量yf(x0 x)f(x0)；2.求平均变化率求平均变化率 ；3

7、.得导数得导数f(x0).上述过程可简化为：一差、二比、三极限上述过程可简化为：一差、二比、三极限.利用导数的定义求函数利用导数的定义求函数y 的导数的导数.思路点拨思路点拨按照一差、二比、三极限按照一差、二比、三极限.课堂笔记课堂笔记y ，即即y .若将若将“y ”改为改为“y ”呢？呢？解：解：y ，1.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数运用可导函数求导法则和导数公式，求函数yf(x)在开区在开区 间间(a，b)内的导数的基本步骤：内的导数的基本步骤：(1)分析函数分析函数yf(x)的结构和特征；的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；选择恰当的求导法则和导数公式求导；(

8、3)整理得结果整理得结果.2.对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函 数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理 式或整式求解更为方便式或整式求解更为方便.求下列函数的导数：求下列函数的导数：(1)y(3x34x)(2x1)；(2)y3xex2xe；(3)Y ；(4)(理理)yln(3x2)e2x1.思路点拨思路点拨化简变形后结合求导法则和求导公式进行求解化简变形后结合求导法则和求导公式进行求解.课堂笔记课堂笔记(1)y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x，y24x

9、39x216x4或或y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)224x39x216x4；(2)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln3)ex3xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2；(3)y ；(4)(理理)yln(3x2)e2x1ln(3x2)(e2x1)(3x2)e2x1(2x1)2e2x1.1.函数函数yf(x)在点在点P(x0，y0)处的导数处的导数f(x0)表示函数表示函数y f(x)在在xx0处的瞬时变化率，导数处的瞬时变化率，导数f(x0)的几何意义就是函数的几何意义就是函数 yf(x)在在P(x0

10、，y0)处的切线的斜率，其切线方程为处的切线的斜率，其切线方程为yy0 f(x0)(xx0).2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数求出函数yf(x)在点在点x0处的导数处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程根据直线的点斜式方程，得切线方程 yy0f(x0)(xx0).特别警示特别警示求曲线的切线要注意求曲线的切线要注意“过点过点P的切线的切线”与与“在在点点P处的切线处的切线”的差异，过点的差异，过点P的切线中，点的切线中，点P不一定是切点，不一定是切点，点点P也不一定在已知曲线上，而在点也不一定在已知曲线上

11、，而在点P处的切线，必以点处的切线，必以点P为为切点切点.已知曲线已知曲线y .(1)求曲线在点求曲线在点P(2,4)处的切线方程；处的切线方程；(2)求曲线过点求曲线过点P(2,4)的切线方程；的切线方程；(3)求满足斜率为求满足斜率为1的曲线的切线方程的曲线的切线方程.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)yx2，在点在点P(2,4)处的切线的斜率处的切线的斜率ky|x24.曲线在点曲线在点P(2,4)处的切线方程为处的切线方程为y44(x2)，即即4xy40.(2)设曲线设曲线y 与过点与过点P(2,4)的切线相切于点的切线相切于点A()，则切线的斜率，则切线的斜率ky|.切线方程为切线

12、方程为y()(xx0)，即即y .点点P(2,4)在切线上，在切线上，4 ，即即 40，40，(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得，解得x01或或x02，故所求的切线方程为故所求的切线方程为4xy40或或xy20.(3)设切点为设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为，故切线的斜率为k 1，解得解得x01，故切点为，故切点为(1，)，(1,1).故所求切线方程为故所求切线方程为y x1和和y1x1，即即3x3y20和和xy20.高考对本节内容的传统考法是以选择题、填空题或高考对本节内容的传统考法是以选择题、填空题或在解答题的某一问中考查导数几何意义的应用，很少在解答

13、题的某一问中考查导数几何意义的应用，很少直接考查函数求导运算直接考查函数求导运算.但但09年天津高考则直接考查了年天津高考则直接考查了导数的概念及运算，是一个新的考查方向导数的概念及运算，是一个新的考查方向.考题印证考题印证 (2009天津高考天津高考)设函数设函数f(x)在在R上的导函数为上的导函数为f(x)，且，且2f(x)xf(x)x2.下面的不等式在下面的不等式在R上恒成立的是上恒成立的是 ()A.f(x)0B.f(x)0 C.f(x)x D.f(x)x 【解析】【解析】选选 用排除法，设用排除法，设x0，则，则f(0)0，排除，排除B、D；设设f(x)x2 ，符合题目条件，但，符合题

14、目条件，但C不恒成立不恒成立.A 自主体验自主体验已知已知f(x)4x，则，则f(1).解析：解析：因为因为f(x)4x，所以，所以f(x)4，因此因此f(1)4，解得，解得f(1)2.答案：答案：21.一质点沿直线运动，如果由始点起经过一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为秒后的位移为s t3 t22t，那么速率为零的时刻是，那么速率为零的时刻是 ()A.0秒秒B.1秒末秒末 C.2秒末秒末 D.1秒末和秒末和2秒末秒末解析：解析：st23t2令令s0，则，则t1或或t2.答案：答案：D2.(文文)yx2cosx的导数是的导数是 ()A.2xcosxx2sinx B.2xcosxx

15、2sinx C.2xcosx D.x2sinx 解析：解析：y2xcosxx2sinx.答案：答案：B(理理)已知已知y sin2xsinx，则，则y是是 ()A.仅有最小值的奇函数仅有最小值的奇函数B.既有最大值又有最小值的偶函数既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数非奇非偶函数解析：解析：y cos2x2cosxcos2xcosx2cos2x1cosx2(cosx )2答案：答案：B3.(2010威海模拟威海模拟)设曲线设曲线yax2在点在点(1，a)处的切线处的切线 与直线与直线2xy60平行，则平行，则a ()A.1 B.C.D.1解析：解

16、析：y2ax，y|x12a.即即yax2在点在点(1，a)处处的切线斜率为的切线斜率为2a.直线直线2xy60的斜率为的斜率为2.这两直线平行，这两直线平行，它们的斜率相等，即它们的斜率相等，即2a2，解得，解得a1.答案：答案：A4.(2009江苏高考江苏高考)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，点中，点P在曲在曲 线线C：yx310 x3上，且在第二象限内，已知曲线上，且在第二象限内，已知曲线 C在点在点P处的切线的斜率为处的切线的斜率为2，则点，则点P的坐标为的坐标为.解析：解析：yx310 x3，y3x210.由题意，设切点由题意，设切点P的横坐标为的横坐标为x0，且，且x00，

17、即即 102，4，x02，y0 10 x0315.故点故点P的坐标为的坐标为(2,15).答案：答案：(2,15)5.如图所示，函数如图所示，函数yf(x)的图象在点的图象在点P处的切处的切 线方程是线方程是yx8，则，则f(5)，f(5).解析：解析：切线方程与切线方程与yf(x)交于点交于点P(5，y0)，y0583.由切线的意义知由切线的意义知f(5)1.答案：答案：316.已知函数已知函数f(x)x33x及及yf(x)上一点上一点P(1，2)，过点，过点P 作直线作直线l.(1)求使直线求使直线l和和yf(x)相切且以相切且以P为切点的直线方程；为切点的直线方程；(2)求使直线求使直线l和和yf(x)相切且切点异于相切且切点异于P的直线方程的直线方程.解：解：(1)由由f(x)x33x得得f(x)3x23，过点，过点P且以且以P(1，2)为切点的直线的斜率为切点的直线的斜率f(1)0，所求的直线方程为所求的直线方程为y-2(2)设过设过P(1，2)的直线的直线l与与yf(x)切于另一点切于另一点(x0，y0)，则，则f(x0)3.又直线过又直线过(x0，y0)，P(1，2)，故其斜率可，故其斜率可表示为表示为 ，又，又 3，即即 3x02 ，解得，解得x01(舍去舍去)或或x0 ，故所求直线的斜率为，故所求直线的斜率为k3(1)，y(2)(x1)，即，即9x4y10.