高中物理竞赛课件第七章-热力学基础-.ppt

1、热力学研究热现象的宏观理论 热力学:从能量观点出发,以观察和实验事实为依据,分析研究物态变化过程中有关热功转化的关系和条件.热力学热力学第一定律热力学第二定律第七章第七章 热力学基础热力学基础1第七章第七章 热力学基础热力学基础（Bases of thermodynamics)7.1 准静态过程准静态过程7.2 热力学第一定律热力学第一定律7.3 热力学第一定律对等值过程应用热力学第一定律对等值过程应用7.4 绝热过程，多方过程绝热过程，多方过程7.5 循环过程，循环过程，卡诺卡诺循环循环7.6 热力学第二定律热力学第二定律7.7 可逆过程和可逆过程，卡诺定理可逆过程和可逆过程，卡诺定理7.8

2、 熵和熵增加原理熵和熵增加原理7.9 热力学第二定律的统计意义热力学第二定律的统计意义2第七章第七章 热力学基础热力学基础7.1 热力学第一定律7.2 第一定律对于等值过程的应用7.3 绝热过程 多方过程7.4 循环过程7.5 热力学第二定律3 热热力力学学循环过程循环过程 卡诺卡诺循环循环热力学第二定律热力学第二定律等体过程等体过程热机效率热机效率致冷系数致冷系数热力学热力学第一定律第一定律 热热力力学学第第一一定定律律的的应应用用等压过程等压过程等温过程等温过程绝热过程绝热过程卡诺热机效率卡诺热机效率卡诺致冷系数卡诺致冷系数摩尔热容摩尔热容多方过程多方过程过程量过程量功、热量功、热量状态量

3、、内能；状态量、内能；状态方程状态方程4 热热力力学学第二定律开氏表述第二定律开氏表述dV=0；P/T=CQ=E+A 热热力力学学第第一一定定律律的的应应用用dP=0；V/T=CdT=0；PV=CdQ=0；PVr=CTCMmQPVn=C；n=0，1，E=0；Q1-Q2=A净第二定律克氏表述第二定律克氏表述TCMmEVRTMmPV 21VVPdVA5 热热力力学学循环过程循环过程 卡诺卡诺循环循环热力学第二定律热力学第二定律等体过程等体过程热机效率热机效率致冷系数致冷系数热力学热力学第一定律第一定律 热热力力学学第第一一定定律律的的应应用用等压过程等压过程等温过程等温过程绝热过程绝热过程卡诺热机

4、效率卡诺热机效率卡诺致冷系数卡诺致冷系数摩尔热容摩尔热容多方过程多方过程TCMmQ6一、关于热力学的一些基本概念一、关于热力学的一些基本概念1.1.热力学系统（热力学系统（热力学研究对象，热力学研究对象，简称系统）简称系统）1。开放系统。开放系统：系统与外界既有能量传递，又有质量传递的系统。：系统与外界既有能量传递，又有质量传递的系统。2。孤立系统。孤立系统：系统与外界既没能量传递，又没质量传递的系统。：系统与外界既没能量传递，又没质量传递的系统。3。封闭系统。封闭系统：系统与外界只有能量传递，没有质量传递的系统。：系统与外界只有能量传递，没有质量传递的系统。（a）一般系统：）一般系统：与外界

5、既有功又有热量的传递与外界既有功又有热量的传递（b）透热系统：）透热系统：与外界没有功的交换但有热量的传递与外界没有功的交换但有热量的传递（c）绝热系统：）绝热系统：与外界没有热量的传递但有功的交换与外界没有热量的传递但有功的交换2.热力学过程：热力学系统状态随时间变化的过程热力学过程：热力学系统状态随时间变化的过程非静态过程（非平衡过程）非静态过程（非平衡过程）实际过程实际过程7.1 热力学第一定律热力学第一定律7PV图上PT图上VT图上平衡态平衡态一个点一个点准静态过程准静态过程一条曲线一条曲线理想气体的内能理想气体的内能V内能是状态参量的函数，内能的变化由状态变化单值决定。内能是状态参量

6、的函数，内能的变化由状态变化单值决定。P1(T1)2(T2)84.准静态过程的功准静态过程的功 对体系作功能使体系的温度升高，从而增加物体的内能。所以做功是体系与外对体系作功能使体系的温度升高，从而增加物体的内能。所以做功是体系与外界能量交换的一种方法。是外界有序运动的能量和系统内分子的无序运动的能量界能量交换的一种方法。是外界有序运动的能量和系统内分子的无序运动的能量的转换的转换能量传递的宏观形式能量传递的宏观形式。A=12p dVVVpdlSp1212pdoVVVVdlF=dA.pSdl=pdV9 功的几何意义功的几何意义:功在数值上等于功在数值上等于p V 图上过曲线下的面积。图上过曲线

7、下的面积。ababpVomnVV.nambAanbA功和所经历的过程有关功和所经历的过程有关5.热量热量 热量不是一种物质，它是物质之间进行能量交换的一种方式，这种方式是通过分子热量不是一种物质，它是物质之间进行能量交换的一种方式，这种方式是通过分子的热运动以及分子间的碰撞来实现的的热运动以及分子间的碰撞来实现的能量传递的微观形式能量传递的微观形式。)(12TTcmQC物质的比热容物质的比热容10实验表明：实验表明：对系统QAE（系统状态发生变化）（系统状态发生变化）从使系统的状态改变这一点上传热和作功是等效的。从使系统的状态改变这一点上传热和作功是等效的。二、热力学第一定律二、热力学第一定律

8、EAE=12+Q物理意义：包括热量在内的能量守恒定律物理意义：包括热量在内的能量守恒定律 表明：热（无规则运动）和功（有规则运动）表明：热（无规则运动）和功（有规则运动）的转换可通过系统内能变化来实现。的转换可通过系统内能变化来实现。对于一微小的过程第一定律可表示为：对于一微小的过程第一定律可表示为：A=dddE+Q111.Q是一个过程量是一个过程量2.正负号的规定正负号的规定:3.热力学第一定律适用于任何系统的任何过程热力学第一定律适用于任何系统的任何过程（包括非（包括非静态过程）静态过程）4.对于准静态过程热力学第一定律可表达为：对于准静态过程热力学第一定律可表达为：21=EE+pdVQ)

9、(0);(0)(0);(0)(0);(0系统内能减少系统内能增加外界对系统作功系统对外作功系统放热系统吸热EEAAQQ注意：注意：EAE=12+Q12定义：dTdQCmol：摩尔物质从21TTMm7.2 热力学第一定律热力学第一定律对于理想气体等值过程的应用对于理想气体等值过程的应用13dTdQCVV）（00PdVdAdVdEdQVRdTidERTiE22dTdQCPPRdTRdTiPdVdEdQP2RdTPdVVdPPdVPVdRTPV）（143i单原子：355i双原子：576i多原子：68二、三种等值过程二、三种等值过程V热源热源Q1.等容过程等容过程00dAdV特征：TT12pVoab.

10、过程方程：过程方程：恒量TP150.1PdVA）（TCMmTTRiMmEV)(2).2(12TCMmEAEQVV).3(特征：特征：dp=0（吸热）（吸热）等容降压：等容降压：（放热）（放热）恒量过程方程：TV12p21o.VVV 2.等压过程等压过程热源热源pQTT12pVoab.16)()().1(1212TTRMmVVPPdVA)()(2).2(1212TTCMmTTRiMmEVTCMmTTRCMmAEQPVP)().3(12吸热吸热放热放热3.等温过程等温过程恒温大热源恒温大热源TTQ特征：特征：dT=00dE12p21o.VVV1712ln).1(2121VVRTMmVdVRTMmP

11、dVAVVVV2211VPVP21lnPPRTMm0).2(EAEAQT).3(吸热吸热放热放热pV1122ppI II.oVV18特征：特征：dQ=0IIIpVo.一、一、绝热过程绝热过程绝热套绝热套1.准静态绝热过程准静态绝热过程1)(2)(2).1(2211221112VPVPVPVPiTTRiMmEA7.3 绝热过程绝热过程 多方过程多方过程191121122222112211221122112211VPVPiiVPVPiVPVPiVPVPVPVPi）（证明：(2).绝热过程中P，V，T三者同时变化 例：例：绝热膨胀VA0EOTPVRTMmP 20(3).(3).绝热过程的过程方程绝热

12、过程的过程方程RTpmV=M RdTVdppdV=Mm+(2)dA=dEpdV=V Mm C dT(1)(1)、(2)中消去dT，得：VdPCPdVRCVV)(PdPCVdVCVPVdVPdPVC=p两边积分两边积分lnV=-lnp+CVC=ln p21 泊松方程泊松方程(绝热方程绝热方程)p=VCCp=1T2 将理想气体状态方程代入上式，并从中将理想气体状态方程代入上式，并从中消去消去 p 或或V 就可以得到另外两个泊松方程：就可以得到另外两个泊松方程：=VCT1122（4）.绝热线与等温线比较绝热线与等温线比较绝热线比等温线陡绝热线比等温线陡b.数学解释：数学解释：pV=Cdp=+dVpV

13、0等温过程：等温过程：绝热过程：绝热过程：pV=CV+dpVV=p10d(Qdp)dp=pQVdV绝绝热热等等温温pVoA.a.图形上：图形上：dV(dp)TdppV=TdVdpdpTQAAdVdV23c.物理解释：物理解释：膨胀相同的体积绝热比等温压强下降得快膨胀相同的体积绝热比等温压强下降得快绝绝热热VnpVnpVTp等等温温knp32k24 例设有设有8g氧气，体积为氧气，体积为0.4110-3m3,温度为温度为300K，如氧气作绝热膨胀，膨胀后的体，如氧气作绝热膨胀，膨胀后的体积为积为4.1010-3 m3。问气体作功多少？如氧气作等温膨胀，膨胀后的体积也是。问气体作功多少？如氧气作等

14、温膨胀，膨胀后的体积也是4.1010-3 m3，问这时气体作功多少？，问这时气体作功多少？A=Mmmol2V1ln1VRT=1.44103(J)气体若作等温膨胀，所作的功为：气体若作等温膨胀，所作的功为：2VT121=VT11A=941(J)解：解：气体若作绝热膨胀，所作的功为：气体若作绝热膨胀，所作的功为：)(21TTCMmEAVmol4.1572ii25绝热过程绝热过程0(0AEE）而 A=0）（00TTEE始末两态满足始末两态满足状态方程状态方程TVPTVP）（00002021PP 2.非静态绝热过程非静态绝热过程绝热自由膨胀绝热自由膨胀PVPVPTTVTV）（）（00010010220

15、00TVP真空真空02VTP26解:(1)由绝热过程方程：11ddccVTVTcdcdVTTV11得：例7-4 1mol单原子理想气体,由状态a(p1,V1)先等压加热至体积增大1倍,再等体加热至压力增大1倍,最后再经绝热膨胀,使其温度降至初始温度,如图所示,试求:(1)状态d的体积Vd;(2)整个过程对外所做的功;(3)整个过程吸收的热量.p2p1p12v1v1oabcdvRVpTTad11acccTRVpRVpT4411根据题意：3512VVc27111)(VpVVpAabab其中：cdbcabAAAA0bcA)4()(aaVdcVcdcdTTCTTCEAaTR 3231129Vpp2p1

16、p12v1v1oabcdv(2)整个过程对外所做的功;281125)(25)(25)(VpVpVpTTRTTCQaabbababpab113)(25)(25)(VpVpVpTTRTTCQbbccbcbcVbc0cdQ方法一：cdbcabQQQQp2p1p12v1v1oabcdv(3)整个过程吸收的热量.方法二：对abcd整个应用热力学第一定律AEQ0,ETTda29）（）（分析：BBAAAETETV解：解：AEEEQBABA0,BATT准静态过程又ATRTRTR282523因此：因此：导热板导热板活塞活塞RAT4则得：则得：30pvEAAdQca）（答：00AAAEEAQabc过程：0)(AA

17、Q（吸热）（吸热）AAAEEAQadc 过程：0)(AAQ(放热放热)acbd31二、二、多方过程多方过程1.过程方程过程方程CVnp=n多方指数多方指数 n=1 等温过程等温过程 n=绝热过程绝热过程 n=0 等压过程等压过程 n=等容过程等容过程一般情况一般情况1 n ，多方过程可近似代表气体内多方过程可近似代表气体内进行的实际过程。进行的实际过程。CVPCPVnn1n11nP322.多方过程的功多方过程的功21VVPdVAnnVPPV11=dV2V1V1VnpVn1A=1Vnp11Vn21n1V1n11n1=n11Vp12Vp2333.摩尔热容)(111122211TTRMmnnVPVP

18、A)(12TTCMmEVTCMmTTnRCMmEAQmolV)(112111nCnCnRCnCnRCCPVVVVmolVVVCnnnCnC11PVmolCCCn,0等压过程：VmolCCn,等容过程：molCn,1等温过程：0,molCn绝热过程：34VmolCnndTdQC1又01molCn时，当T Q0 吸热吸热01molnn时或当 T Q0 吸热吸热T Q0 放热放热35解：解：CPTRMmPRTMmPV222222)().1(CPTCPV22).2(CVT 363522321iiCCRCnCnnCVPVVmol，解法一：）（）（）（解法二：122211121212121232TTRnV

19、PVPATTRTTRiETTAETTQCmol37）（解1122120)(23:VPVPTTRENk122222112VVVPVP分子平均动能减少分子平均动能减少38解（1）.分析:写出bc上任一点T(V)0dVdT且令可得Tmax的V,P例：一摩尔单 原子理想气体，经历一准静态过程b c，在PV图中，bc为一直线。试问：（1）在bc过程中，温度最高状态的 位置。（2）由温度最高状态到c状态的过程 中，气体是吸热还是放热？（3）bc过程中气体是吸热还是放热？（4）bc过程中所经历的每个微小过程是否都是吸热？PVV03V0P03P0bc39RPVT 由状态方程：）（020041VVPVPRTRV

20、PTTVVdVdT00max0420最大。且时，得：令abc上温度最高点RVPTa00402VVaaaaVRTP a2V02P0由直线的两点式方程:000000333VVPPVVPPVVPPP0004得：PVV03V0P03P0bc40（2）由温度最高状态到c状态的过程 中，气体是吸热还是放热？PVV03V0P03P0a2V02P0bc00000023)43(23)(23:).2(VPRVPRVPRTTRTCEacacV过程解00000000023)23()23)(2(21VPVVPVVPPA0AEQac41PVV03V0P03P0a2V02P0bc（3）bc过程中气体是吸热还是放热？0)33

21、(23)(2304:).3(000000RVPRVPTTEVPAAEQbCbc其中解吸热0（4）bc过程中所经历的每个微小过程是否都是吸热？)4(12323)4(02000000VVPVPRRdRdTdEdVVVPPPdVdAdAdEdQdVVVP)25(200讨论：0,250,250,25000dQVVdQVVdQVV025Ve42一、特点特点:末态）初态（0.1E 循环过程循环过程物质系统经历一系列状态变化物质系统经历一系列状态变化过程又回到初始状态，称这一周而复始的变化过程又回到初始状态，称这一周而复始的变化过程为循环过程过程为循环过程pVoa=QQ12 3.净功净功 A=循环过程曲线循

22、环过程曲线所包围的面积所包围的面积AQQ21闭合曲线图上表示为一条VP.27.4 循环过程循环过程43二、正循环（顺时针方向的循环）二、正循环（顺时针方向的循环）热机原理热机原理PVabcd正循环0发电厂蒸汽动力循环示意图发电厂蒸汽动力循环示意图AQ QQ Q12高温热源高温热源低温热源低温热源550C0过过热热器器锅锅炉炉给水泵给水泵冷凝器冷凝器冷冷却却水水气气轮轮机机发电机发电机Q QQ Q12A20C0高温高压蒸汽高温高压蒸汽热机工作示意图热机工作示意图4400净AE0净放吸净AQQQ系统从外界吸收的净热量系统从外界吸收的净热量转化转化系统对外作系统对外作功功注意：注意：过程吸热、放热的

23、总和是指整个过程中所有分放、吸QQ热机效率：热机效率：4512A高温热源高温热源低温热源低温热源QQ1 1(冷冻室冷冻室)(周围环境周围环境)散热器散热器冷冻室冷冻室蒸发器蒸发器节节流流阀阀储储液液器器压压缩缩机机2QQ1氟氟利利昂昂pVo三、负循环（逆时针方向的循环）三、负循环（逆时针方向的循环）制冷机原理制冷机原理0净吸放净AQQQ汽蒸压低温常高温高压干蒸汽体液压高低压低温液体46外界对系统作功，实现从低温源吸热向高温源放热外界对系统作功，实现从低温源吸热向高温源放热制冷系数：制冷系数：四、卡诺循环四、卡诺循环 特征：特征：由由4 4个准静态过程个准静态过程（两个等温、两个绝热）组成。（两

24、个等温、两个绝热）组成。1824 1824年卡诺（法国工程师年卡诺（法国工程师1796-18321796-1832）提出了一个能体现热机循环基本特征提出了一个能体现热机循环基本特征的理想循环。后人称之为卡诺循环。的理想循环。后人称之为卡诺循环。法国物理学家(1796-1832)47dVVVpVV2o2314T.T1c.ba.1.卡诺热机卡诺热机Q2RTQVV423=mMmolln2Q1RTQ211Mmmolln1VV=bc=VVTT223111adVVTT111124=由上两式得到由上两式得到=VVTT223111=VV1411VVVV2143=热机的效率热机的效率=QQ211卡卡121TT=

25、QQ211481.指明了两个热源是热机工作的必要前提，即指明了两个热源是热机工作的必要前提，即12.指明了提高热机效率的方向指明了提高热机效率的方向 (1).提高高温热源的温度。提高高温热源的温度。(2).可用更优的工作物质取代蒸汽。可用更优的工作物质取代蒸汽。意义：意义：121TTRTQVV4吸吸3=mMmolln2RTQ21放放Mmmolln1VV=2.卡诺制冷机卡诺制冷机1234PQ0V1V4V2V3T1T249*联合联合循环循环提高热机效率的有效方法1211QAAQA总总111QA若将联合循环视为理想的卡诺循环若将联合循环视为理想的卡诺循环131TT总等价效果：低温热源的温度由T2T3

26、T1热机1T2热机2T32Q1Q2Q3Q1A2A燃汽机蒸汽机50*热泵热泵通过外界作功，从低温热源吸热，向高温热源（热用户）放热。热泵与致冷机：AQr2制冷系数：AQAQp211制热系数：工作目的不同，效能不同热功转换情况相同，12A高温热源高温热源低温热源低温热源QQ1T2T1理想热泵循环（卡诺循环）211TTTp卡5175.04.0其中：热泵有效系数热泵与电加热：电能同样消耗hKW 1电加热：kJ3600热泵：AQTTTpypy121186.52682932935.0kJQ41101.2360086.552=QQQ+daab吸吸例 1mol 氢气作如图所示的循环过程计算此氢气作如图所示的循

27、环过程计算此 循环之效率。循环之效率。V2211abcdo(l)p(atm)解：解：=Q吸吸A)(abdaVVPPA)()(daVabPTTCTTC)()()(daVabPabdaTTCTTCVVPP)(25)(27ddaaaabbadbdaabaVPVPVPVPVPVPVPVP=219=10.5%=Q吸吸AcdQabQdaQbcQ53解：解：abQ)(abPabTTCQbcQ)(bcVbcTTCQcaQ002lnVVRTQcca=Q放放Q吸吸1abcabcQQQ 1acbTTT22)2(2ln)2(1ccPcccVTTCRTTTC=%8.872ln251pVpV000等等温温abco2V 例

28、 1mol 氧气作如图所示的循环。氧气作如图所示的循环。求：循环效率求：循环效率02P54bacT(k)V(10-3m3)o12pvabc012等容等压等温55pvabc012等容等压等温)(abPabTTCQRRiCkTTTTTTVVPacbcbaba25226002放热放热)(bcVbcTTCQkTkTRCbcV300,60023吸热吸热)(34562lnlnJRTVVRTQccacca吸热吸热56）（）（净JTTRQAAAbacaabca963 解一：解一：解二：解二：）（放吸净JQQA9635.623234565.3739%4.13吸QApvabc012等容等压等温57例例.某理想气体

29、准静态卡诺循环，当高温热源某理想气体准静态卡诺循环，当高温热源温度温度T1=400k,低温热源温度低温热源温度T2=300k时时,对外作对外作功功A=8000J,今维持低温热源温度不变今维持低温热源温度不变,提高高温提高高温热源温度热源温度,使其对外作功增至使其对外作功增至A=10000J,若两次若两次卡诺循环都工作在相同的两绝热线间卡诺循环都工作在相同的两绝热线间,试求试求:(1).第二次循环效率第二次循环效率=？(2).第二次循环中高温热源温度第二次循环中高温热源温度T1=？PV581.1QA）解（AQAQQA22110000800012AAQQ%2540030011121TTAQ1Q1Q

30、%4.29KTTT4251.2112）（59例例.一动力暖气装置由一台一动力暖气装置由一台卡诺热机和一台卡诺致冷机组卡诺热机和一台卡诺致冷机组合而成。热机靠燃料燃烧时释合而成。热机靠燃料燃烧时释放的热量工作并向暖气系统的放的热量工作并向暖气系统的放热，同时，热机带动致冷机，放热，同时，热机带动致冷机，致冷机从天然蓄水池中吸热，致冷机从天然蓄水池中吸热，也向暖气系统放热，假定热机也向暖气系统放热，假定热机锅炉的温度为锅炉的温度为T1=483K，天然，天然蓄水池中水的温度蓄水池中水的温度T2=288K，暖气系统的温度为暖气系统的温度为T3=333K，热机从燃料燃烧时获得热量热机从燃料燃烧时获得热量

31、2.1107J。计算暖气系统所得的热量。计算暖气系统所得的热量。锅炉 T1=483K热机致冷机致冷机暖气系统T3=333K蓄水池 T2=288KQ1=2.1107JQ21Q2QA60锅炉 T1=483K热机致冷机致冷机暖气系统T3=333K蓄水池 T2=288KQ1=2.1107JQ21Q2QA12QQQ解：解：AQQ212322122TTTQQQAQ1312TTQQ则：则：61说明一切说明一切有条件有条件可以可以功功全部全部热热但满足但满足高温高温自动自动低温低温有条件有条件表明自然界里的表明自然界里的热功转换热功转换热传递热传递过程具有方向性过程具有方向性7.5 热力学第二定律热力学第二定

32、律62一、一、这两种叙述是完全等价的 不可能制造成功一种不可能制造成功一种循环循环动作动作的机器，它只从的机器，它只从单一单一热源热源吸热，使之吸热，使之全部全部变为功而对外变为功而对外界不发生任何影响。界不发生任何影响。热量不可能热量不可能自动地自动地从从低温热源传给高温热源。低温热源传给高温热源。1.开耳芬叙述：开耳芬叙述：英国物理学家英国物理学家 开耳芬开耳芬（1824-1907）2.克劳修斯叙述：克劳修斯叙述：63违背了克劳修斯叙述也就是违背了开耳芬叙述违背了克劳修斯叙述也就是违背了开耳芬叙述TT122Q QQ QQ QQ Q11222A=Q QQ QEB对于热源对于热源T T2 2并

33、没有损失热量并没有损失热量 对于对于E、B 联合组成的热机，唯一的效果是从单一热源吸收了热量联合组成的热机，唯一的效果是从单一热源吸收了热量,并全部变为功并全部变为功若低温热源自动地将若低温热源自动地将热量热量Q Q2传给高温热源传给高温热源TT12Q QQ Q22E64违背了开耳芬叙述也必然违背了克劳修斯叙述违背了开耳芬叙述也必然违背了克劳修斯叙述TT112Q Q1A=Q QC高温热源高温热源低温热源低温热源若热机若热机C 能从单一能从单一热源热源T1吸收热量吸收热量Q1并全部变并全部变为功为功TT112Q Q1A=Q QCQ Q122Q QQ QD+利用热机利用热机C 的功的功A去推动制冷

34、机去推动制冷机D，从低温热源吸收热量从低温热源吸收热量Q2，再将热再将热Q2+Q2量传给高温热源量传给高温热源 总体来看，整个系统唯一的效果是有热量总体来看，整个系统唯一的效果是有热量Q2自动地传给了自动地传给了高温热源高温热源65 1.宏观意义：一切与热相联系的现象中，自发宏观意义：一切与热相联系的现象中，自发实现的过程都是不可逆的。实现的过程都是不可逆的。2.微观意义：一切自然过程总是沿着无序性增微观意义：一切自然过程总是沿着无序性增大的方向进行大的方向进行初始状态初始状态几率几率大大摇动后摇动后几率很小几率很小 3.热力学第二定律是一个统计规律只有对有大量分子所组成的系统才正确。热力学第二定律是一个统计规律只有对有大量分子所组成的系统才正确。66本学期本学期“大学物理大学物理”课程教学到此结束，课程教学到此结束，谢谢同学们配合。谢谢同学们配合。预祝大家期末考试顺利，假期心情愉快。预祝大家期末考试顺利，假期心情愉快。67