《新编MATLAB&Simulink自学一本通》课件第16章 概率分布与随机数.ppt

1、2023-5-5 概率分布概率分布 生成一元分布随机数生成一元分布随机数 生成多元分布随机数生成多元分布随机数主要内容：主要内容：2023-5-5第一节第一节 概率分布概率分布2023-5-5一、随机变量的分布函数一、随机变量的分布函数设设X是一随机变量，对任意的实数，称是一随机变量，对任意的实数，称()()F xP Xx为随机变量为随机变量X的的分布函数分布函数。1.1.定义定义2.2.性质性质 单调性：单调非降单调性：单调非降 有界性：有界性：右连续性右连续性0()1F xlim()0,lim()1xxF xF x2023-5-5二、离散随机变量的概率函数（或分布列，分布律）二、离散随机变

2、量的概率函数（或分布列，分布律）设设X是一随机变量，称是一随机变量，称X取可能值的概率取可能值的概率()(),1,2,iiipp xP Xxin为随机变量为随机变量X的的概率函数（或分布列，分布律）概率函数（或分布列，分布律）。列。列表如下：表如下：1.1.定义定义2023-5-52.2.分布律性质分布律性质 非负性：非负性：()0,1,2,ip xi 正则性：正则性：1()1iip x3.3.分布律与分布函数的关系分布律与分布函数的关系()()iixxF xp x【例例16.1-001】由随机变量的分布律求分布函数。由随机变量的分布律求分布函数。1230.250.50.25XP0,10.25

3、,12()0.75,231,3xxF xxx ()F xxo123112023-5-5三、连续随机变量的密度函数三、连续随机变量的密度函数 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x)，若存在非负可积函数，若存在非负可积函数f(x)，使得对任意实数，使得对任意实数x有有()()xF xf x dx则称则称X为为连续随机变量连续随机变量，f(x)为为X的的密度函数密度函数。1.1.连续随机变量及密度函数定义连续随机变量及密度函数定义2023-5-52.2.密度函数性质密度函数性质 非负性：非负性：正则性：正则性：()0f x()1f x dx3.3.利用分布函数或密度函数求概率（连续随

4、机变量）利用分布函数或密度函数求概率（连续随机变量）()()()()P aXbP aXbP aXbP aXb()()()baF bF af x dx2023-5-5【例例16.1-002】已知随机变量的密度为已知随机变量的密度为34,01()0,xxf x其他3400,0()4,011,1xxF xx dxxxx求（求（1）概率）概率P(0 x 0.5)；（2）分布函数）分布函数F(x)。解：解：0.530(00.5)4116PXx dx2023-5-5四、数学期望的定义四、数学期望的定义1.1.离散随机变量情形离散随机变量情形 设离散随机变量设离散随机变量X的分布律为的分布律为p(xi),i

5、=1,2,，则，则X的数的数学期望为学期望为()()iiiE Xx p x2.2.连续随机变量情形连续随机变量情形 设连续随机变量设连续随机变量X的密度函数为的密度函数为f(x)，则，则X的数学期望为的数学期望为()()E Xxf x dx2023-5-5【例例16.1-003】航班每次飞行坠机概率为十万分之一，每位航班每次飞行坠机概率为十万分之一，每位乘客保费为乘客保费为20元，死亡赔付金额为元，死亡赔付金额为40万。问保险公司从每位万。问保险公司从每位顾客手中平均获取多大利润顾客手中平均获取多大利润解：令解：令 ，用，用Y 表示保险公司从一位顾客手中表示保险公司从一位顾客手中获取的利润。则

6、获取的利润。则X 和和Y 的分布律为的分布律为 0,1,X平安坠机 01 0.99999 0.00001 2020400000XPY从而可得从而可得Y 的期望为：的期望为：()20 0.99999(20400000)0.0000116E Y 2023-5-5五、方差的定义五、方差的定义212()(),var()()(),iiixE Xp xXxE Xf x dx离散情形连续情形2.2.离散和连续情形离散和连续情形1.1.定义定义222var()()()()XEXE XE XE X方差用来描述随机变量取值的波动（集中与分散）程度方差用来描述随机变量取值的波动（集中与分散）程度2023-5-5【例

7、例16.1-004】在在M电子公司生产的简易二极管中，按质量电子公司生产的简易二极管中，按质量等级可分为等级可分为5级，其中级，其中1级最差，级最差，5级最好。现统计了今年级最好。现统计了今年1月月份生产的二极管质量各等级所占比率，如下表所列。求平均份生产的二极管质量各等级所占比率，如下表所列。求平均质量等级和质量等级的方差。质量等级和质量等级的方差。解：平均质量等级解：平均质量等级质量等级的方差质量等级的方差()1 0.12 0.23 0.34 0.35 0.13.1E X X12345P0.10.20.30.30.12var()1 0.14 0.29 0.3 16 0.325 0.1 3.

8、11.29X 2023-5-5六、六、0-10-1分布分布1.1.定义定义 抛一枚硬币一次，用抛一枚硬币一次，用X表示出现正面的次数，则表示出现正面的次数，则X所服所服从的分布就是从的分布就是0-1分布分布（两点分布两点分布）。）。两点分布的分布律为两点分布的分布律为X01P1-pp其中其中0 p 1.2023-5-5七、二项分布七、二项分布1.1.定义定义 抛一枚硬币抛一枚硬币n次，用次，用X表示出现正面的次数，则表示出现正面的次数，则X所服从所服从的分布就是的分布就是二项分布二项分布。2023-5-52.2.实例实例【实例实例1】一袋中有一袋中有N个大小形状相同的球，其中有个大小形状相同的

9、球，其中有M个个白球，从中白球，从中有放回抽取有放回抽取n个球，记个球，记X为取到的白球数，为取到的白球数，X服从的分布即为二项分布服从的分布即为二项分布B(n,M/N)。【实例实例2】在在n次独立试验中，若每次只有次独立试验中，若每次只有“成功成功”和和“失败失败”两种结果，且每次成功概率均为两种结果，且每次成功概率均为p，则，则n次试验次试验中成功次数服中成功次数服X从二项分布从二项分布B(n,p)。2023-5-5八、泊松分布八、泊松分布1.1.定义定义 泊松分布是常见的，例如中午时分，每分钟进入肯德基泊松分布是常见的，例如中午时分，每分钟进入肯德基的顾客数；一定时间内接错电话的次数；一

10、个铸件上的缺的顾客数；一定时间内接错电话的次数；一个铸件上的缺陷数；一平方米玻璃上的气泡数；一页书上的错字书等陷数；一平方米玻璃上的气泡数；一页书上的错字书等.2023-5-52.2.实例实例【实例实例1】二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时,他们做了他们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现放射性物质在规定的发现放射性物质在规定的一段时间内一段时间内,其放射的粒子数其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布.2023-5-5【实例实例2】von Bor

11、tkiewicz记录了记录了1875-1894年间普鲁士年间普鲁士骑兵军团被马踢死的士兵数。这些数据和骑兵军团被马踢死的士兵数。这些数据和 的泊松的泊松分布的对比如下表：分布的对比如下表：0.612023-5-5九、超几何分布九、超几何分布1.1.定义定义2023-5-52.2.实例实例【实例实例】一袋中有一袋中有N个大小形状相同的球，其中有个大小形状相同的球，其中有M个个白球，从中白球，从中不放回抽取不放回抽取n个球，记个球，记X为取到的白球数，为取到的白球数，X服从的分布即为超几何分布。服从的分布即为超几何分布。2023-5-5十、几何分布十、几何分布1.1.定义定义 若独立试验中仍只有若

12、独立试验中仍只有“成功成功”和和“失败失败”两种结果，且两种结果，且每次成功概率均为每次成功概率均为p，则直到首次出现，则直到首次出现“成功成功”为止所进为止所进行的试验次数服从行的试验次数服从几何分布几何分布.2023-5-52.分布律图形分布律图形3.3.实例实例【实例实例】掷一枚骰子，直到掷一枚骰子，直到1点朝上，记录投掷的次数点朝上，记录投掷的次数X，则则X服从参数服从参数 p=1/6 的几何分布。的几何分布。2023-5-5十一、负二项分布十一、负二项分布1.1.分布律分布律 若独立试验中仍只有若独立试验中仍只有“成功成功”和和“失败失败”两种结果，且两种结果，且每次成功概率均为每次

13、成功概率均为p，则直到出现，则直到出现r次次“成功成功”为止所进行为止所进行的试验次数服从的试验次数服从负二项分布负二项分布.11()(1),1,rrx rxp xCppxr r 2.分布律图形分布律图形2023-5-5十二、连续均匀分布十二、连续均匀分布1.1.定义定义2023-5-52.2.密度函数图密度函数图3.3.分布函数图分布函数图2023-5-54.4.实例实例【实例实例1】用用X表示四舍五入取整的误差，则表示四舍五入取整的误差，则X 服从服从-0.5,0.5上的均匀分布。上的均匀分布。【实例实例2】如图所示，轮盘赌指针停留位置与水平正向如图所示，轮盘赌指针停留位置与水平正向的夹角

14、记为的夹角记为X，则，则X 服从服从0,2p p上的均匀分布。上的均匀分布。X2023-5-5十三、指数分布十三、指数分布1.1.定义定义 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元例如无线电元件的寿命件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布分布.2023-5-52.2.密度函数图密度函数图3.3.分布函数图分布函数图2023-5-5十四、一元正态分布十四、一元正态分布一个游戏：一个游戏：高尔顿钉板游戏高尔顿钉板游戏考察某一学科考察某一学科考试成绩的分布考试成绩的分布考察人类考察人类身高的分布身高的分布情况

15、情况思考：以上分布具有什么样的特点？思考：以上分布具有什么样的特点？2023-5-51 1、一元正态分布的定义、一元正态分布的定义则称则称 x 服从参数为服从参数为 ,2 的的正态分布正态分布，记作记作 x N(,2)定义定义 若随机变量若随机变量 X 的密度函数为的密度函数为xexfx222)(21)(p,为常数，为常数，0其中其中 亦称高斯亦称高斯(Gauss)分布分布2023-5-52 2、标准正态分布、标准正态分布=0,=1 的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布，记作记作 x N(0,1)xexx2221)(p密度函数记为密度函数记为3 3、标准正态分布与一般正态分布之

16、间的关系、标准正态分布与一般正态分布之间的关系记记 u N(0,1)，则则 x=+u N(,2)2023-5-5记记 u N(0,1)，对于给定的，对于给定的0 x=0:10;%产生一个向量产生一个向量 Y=normpdf(x,1.2345,6)%求密度函数值求密度函数值 P=normcdf(x,1.2345,6)%求分布函数值求分布函数值2023-5-52023-5-5 u=norminv(1-0.05,0,1)t=tinv(1-0.05,50)chi2=chi2inv(1-0.025,8)f1=finv(1-0.01,7,13)f2=finv(1-0.99,13,7)2023-5-5第二节

17、第二节 生成一元分布随机数生成一元分布随机数2023-5-5一、均匀分布随机数和标准正态分布随机数一、均匀分布随机数和标准正态分布随机数调用格式：调用格式：Y=randY=rand(n)Y=rand(m,n)Y=rand(m n)Y=rand(m,n,p,)Y=rand(m n p)Y=rand(size(A)1.rand函数函数2023-5-5在在MATLAB7.7以前的版本中，以前的版本中，rand函数还可以这样调用：函数还可以这样调用：rand(method,s)s=rand(method)其中其中method是字符串变量，它的可能取值如下表所列：是字符串变量，它的可能取值如下表所列：2

18、023-5-5调用格式：调用格式：与与rand函数类似函数类似2.randn函数函数2023-5-5 x=rand(10)y=x(:);hist(y)xlabel(0,1上均匀分布随机数上均匀分布随机数);ylabel(频数频数);【例例16.2-1】调用调用rand函数生成函数生成1010的随机数矩阵，并将矩阵的随机数矩阵，并将矩阵按列拉长，然后调用按列拉长，然后调用hist函数画出频数直方图。函数画出频数直方图。2023-5-5%设置随机数生成器的算法为设置随机数生成器的算法为Mersenne Twister算法，初始种算法，初始种子为子为1 rand(twister,1);%生成生成2行

19、行6列的随机数矩阵，其元素服从列的随机数矩阵，其元素服从0,1上均匀分布上均匀分布 x1=rand(2,6)【例例16.2-1续续】设置随机数生成器的算法为设置随机数生成器的算法为Mersenne Twister算算法，生成均匀分布随机数矩阵法，生成均匀分布随机数矩阵2023-5-5二、常见一元分布随机数二、常见一元分布随机数MATLAB统计工具箱中函数名以统计工具箱中函数名以rnd三个字符结尾的三个字符结尾的函数用来生成常见分布的随机数。例如：函数用来生成常见分布的随机数。例如：betarndBeta分布分布exprnd指数分布指数分布gamrndGamma分布分布lognrnd对数正态分布

20、对数正态分布normrnd正态分布正态分布poissrnd泊松分布泊松分布randsample从有限总体中随机抽样从有限总体中随机抽样random指定分布指定分布2023-5-5%调用调用normrnd函数生成函数生成1000行行3列的随机数矩阵列的随机数矩阵x，其元素服从均值为，其元素服从均值为75，标准差为标准差为8的正态分布的正态分布 x=normrnd(75,8,1000,3);hist(x)%绘制矩阵绘制矩阵x每列的频数直方图每列的频数直方图 xlabel(正态分布随机数（正态分布随机数（mu=75,sigma=8）);%为为X轴加标签轴加标签 ylabel(频数频数);%为为Y轴加

21、标签轴加标签 legend(第一列第一列,第二列第二列,第三列第三列)%为图形加标注框为图形加标注框【例例16.2-2】调用调用normrnd函数生成函数生成10003的正态分布随机数矩的正态分布随机数矩阵，其中均值阵，其中均值 为为75，标准差为，标准差为8，并作出各列的频数直方图，并作出各列的频数直方图405060708090100110050100150200250300正态分布随机数（=75,=8）频数 第一列第二列第三列2023-5-5%调用调用normrnd函数生成函数生成1000行行3列的随机数矩阵列的随机数矩阵x，其各列元素分别服从不同，其各列元素分别服从不同的正态分布的正态分

22、布 x=normrnd(repmat(0 15 40,1000,1),repmat(1 2 3,1000,1),1000,3);hist(x,50)%绘制矩阵绘制矩阵x每列的频数直方图每列的频数直方图 xlabel(正态分布随机数正态分布随机数);%为为X轴加标签轴加标签 ylabel(频数频数);%为为Y轴加标签轴加标签%为图形加标注框为图形加标注框 legend(mu=0,sigma=1,mu=15,sigma=2,mu=40,sigma=3)【例例16.2-3】调用调用normrnd函数生成函数生成10003的正态分布随机数矩的正态分布随机数矩阵，其中第各列均值分别为阵，其中第各列均值分

23、别为0，15，40，标准差分别为，标准差分别为1，2，3，并作出各列的频数直方图并作出各列的频数直方图2023-5-5%调用调用random函数生成函数生成10000行行1列的随机数向量列的随机数向量x，其元素服从二项分布，其元素服从二项分布B(10,0.3)x=random(bino,10,0.3,10000,1);fp,xp=ecdf(x);%计算经验累积概率分布函数值计算经验累积概率分布函数值 ecdfhist(fp,xp,50);%绘制频率直方图绘制频率直方图 xlabel(二项分布（二项分布（n=10,p=0.3）随机数）随机数);%为为X轴加标签轴加标签 ylabel(f(x);%

24、为为Y轴加标签轴加标签【例例16.2-4】调用调用random函数生成函数生成100001的二项分布随机数向的二项分布随机数向量，然后作出频率直方图。其中二项分布的参数为量，然后作出频率直方图。其中二项分布的参数为 n=10，p=0.3 01234567891000.511.5二项分布（n=10,p=0.3）随机数f(x)2023-5-5 x=random(chi2,10,10000,1);fp,xp=ecdf(x);%计算经验累积概率分布函数值计算经验累积概率分布函数值 ecdfhist(fp,xp,50);%绘制频率直方图绘制频率直方图 hold on t=linspace(0,max(x

25、),100);y=chi2pdf(t,10);plot(t,y,r,linewidth,3)xlabel(x (chi2(10);%为为X轴加标签轴加标签 ylabel(f(x);%为为Y轴加标签轴加标签 legend(频率直方图频率直方图,密度函数曲线密度函数曲线)%为图形加标注框为图形加标注框【例例16.2-5】调用调用random函数生成函数生成100001的卡方分布随机数向的卡方分布随机数向量，然后作出频率直方图，并与自由度为量，然后作出频率直方图，并与自由度为10的卡方分布的密度的卡方分布的密度函数曲线作比较。其中卡方分布的参数（自由度）为函数曲线作比较。其中卡方分布的参数（自由度）

26、为 102023-5-5三、指定离散分布（一元）随机数三、指定离散分布（一元）随机数MATLAB统计工具箱中的统计工具箱中的randsample函数函数MATLAB通讯系统工具箱中的通讯系统工具箱中的randsrc函数函数1.一元离散分布的分布律一元离散分布的分布律1212.nnXxxxpppp2.生成离散分布随机数的生成离散分布随机数的MATLAB函数函数2023-5-5 xvalue=-2-1 0 1 2;%定义向量定义向量xvalue xp=0.05 0.2 0.5 0.2 0.05;%定义向量定义向量xp%调用调用randsample函数生成函数生成100个服从指定离散分布的随机数个服

27、从指定离散分布的随机数 x=randsample(xvalue,100,true,xp);reshape(x,10 10)%调用调用randsrc函数生成函数生成10*10的服从指定离散分布的随机数矩阵的服从指定离散分布的随机数矩阵 y=randsrc(10,10,xvalue;xp)2023-5-5 xvalue=ABCDE;%定义向量定义向量xvalue xp=0.3 0.2 0.25 0.2 0.05;%定义向量定义向量xp%调用调用randsample函数生成函数生成100个服从指定离散分布的随机字符序列个服从指定离散分布的随机字符序列 x=randsample(xvalue,100,

28、true,xp);2023-5-5 x=randint(10,10,0,10)tabulate(x(:)【例例16.2-8】调用调用randint函数生成函数生成1010的随机整数矩阵（取值的随机整数矩阵（取值范围为范围为0,10），并调用），并调用tabulate函数统计各数字出现的频数和频函数统计各数字出现的频数和频率。率。2023-5-5第三节第三节 生成多元分布随机数生成多元分布随机数2023-5-5生成多元分布随机数的生成多元分布随机数的MATLAB函数函数2023-5-52023-5-5 n=100;%多项分布的参数多项分布的参数n p=0.2 0.3 0.5;%多项分布的参数多项

29、分布的参数p%调用调用mnrnd函数生成函数生成10000组组3项分布随机数项分布随机数 r=mnrnd(n,p,10000);hist3(r(:,1:2),50,50)%绘制前两维的频数直方图绘制前两维的频数直方图 xlabel(X_1)%为为X轴加标签轴加标签 ylabel(X_2)%为为Y轴加标签轴加标签 zlabel(频数频数)%为为Z轴加标签轴加标签2023-5-52023-5-5 mu=10 20;%二元正态分布的均值向量二元正态分布的均值向量 sigma=1 3;3 16;%二元正态分布的协方差矩阵二元正态分布的协方差矩阵%调用调用mvnrnd函数生成函数生成10000组二元正态

30、分布随机数组二元正态分布随机数 xy=mvnrnd(mu,sigma,10000);hist3(xy,15,15);%绘制二元正态分布随机数的频数直方图绘制二元正态分布随机数的频数直方图 xlabel(X)%为为X轴加标签轴加标签 ylabel(Y)%为为Y轴加标签轴加标签 zlabel(频数频数)%为为Z轴加标签轴加标签2023-5-5Born:30 Apr.1777 in Brunswick,Duchy of Brunswick(now Germany)Died:23 Feb.1855 in Gttingen,Hanover(now Germany)Carl Friedrich Gauss

31、高斯资料高斯资料2023-5-5学生氏资料Born:13 Jun.1876 in Canterbury,EnglandDied:16 Oct.1937 in Beaconsfield,EnglandWilliam Sealey Gosset2023-5-5附表1-1标准正态分布表标准正态分布表z01234567890.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920

32、.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820

33、.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620

34、.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300

35、.90150.91770.93190.94410.95451.6452023-5-5附表1-2标准正态分布表标准正态分布表z01234567891.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.9

36、4740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.9

37、8420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.9

38、9630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.962023-5-5附表2-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610

39、.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66

40、623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267n2 分布表分布表17.5352023-5-5=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.29

41、70.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.31

42、20.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912n3.247附表2-22 分布表分布表2023-5-5=0.250.100.050.0250.010.0051718192021222324252627282930313220.48921.60522.71823.82824.93526.03927.14128.24129.33930.43531.52832.62033.71134.80035.88736.97324.76925.98927.20428.41229.61530.8

43、1332.00733.19634.38235.56336.74137.91639.08740.25641.42242.58527.58728.86930.14431.41032.67133.92435.17236.41537.65238.88540.11341.33742.55743.77344.98546.19430.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440.64641.92343.19444.46145.71246.97948.23249.48033.40934.80536.19137.56638.93240.28941.63842.9

44、8044.31445.64246.96348.27849.58850.89252.19153.48635.71837.15638.58239.99741.40142.79644.18145.55946.92848.29049.64550.99352.33653.67255.00356.328n34.382附表2-32 分布表分布表2023-5-5附表3-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.695

45、50.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.178

46、8 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208nt分布表分布表1.81252023-5-5附表3-2=0.250.100.050.0250.

47、010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.7709

48、1.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3

49、.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208n2.1315t分布表分布表2023-5-5附表4-1F分布表分布表025.0 1234567891012152024304012012345678910111213141516171819647.838.5117.4412.2210.01 8.81 8.07 7.57 7.21 6.94 6.72 6.55 6.41 6.30 6.20 6.12 6.04 5.95 5.92799.539.0016.0410.65 8.43 7.26 6.54 6.06 5.71 5.46 5.26

50、5.10 4.97 4.86 4.77 4.69 4.62 4.56 4.51864.239.1715.44 9.98 7.76 6.60 5.89 5.42 5.08 4.83 4.63 4.47 4.35 4.24 4.15 4.08 4.01 3.95 3.90899.639.2515.10 9.60 7.39 6.23 5.52 5.50 4.72 4.47 4.28 4.12 4.00 3.89 3.80 3.73 3.66 3.61 3.56921.839.3014.88 9.36 7.15 5.99 5.29 4.82 4.48 4.24 4.04 3.89 3.77 3.66