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初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)(DOC 39页).doc

1、第一讲 有 理 数一、有理数的概念及分类。二、有理数的计算:1、 善于观察数字特征;2、灵活运用运算法则;3、掌握常用运算技巧(凑整法、分拆法等)。三、例题示范1、数轴与大小例1、 已知数轴上有A、B两点,A、B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少?满足条件的点B有多少个?例2、 将这四个数按由小到大的顺序,用“0,而A、B都在原点左边,故ab0,又c10,故要比较的大小关系,只要比较分母的大小关系。例4、 在有理数a与b(ba)之间找出无数个有理数。提示:P=(n为大于是 的自然数)注:P的表示方法不是唯一的。2、 符号和括号在代数运算中,添上

2、(或去掉)括号可以改变运算的次序,从而使复杂的问题变得简单。例5、 在数1、2、3、1990前添上“+”和“ ”并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?提示:造零:n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注:造零的基本技巧:两个相反数的代数和为零。3、算对与算巧例6、 计算 -1-2-3-2000-2001-2002提示:1、逆序相加法。2、求和公式:S=(首项+末项)项数2。例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+-2000+2001+2002提示:仿例5,造零。结论:2003。例8、 计算 提示1:凑整法,并运用技巧:1999=10n+999,999=10n -1。例9、 计算

3、提示:字母代数,整体化:令,则例10、 计算(1);(2)提示:裂项相消。常用裂项关系式:(1); (2);(3); (4)。例11 计算 (n为自然数)例12、计算 1+2+22+23+22000提示:1、裂项相消:2n=2n+1-2n;2、错项相减:令S=1+2+22+23+22000,则S=2S-S=22001-1。例13、比较 与2的大小。提示:错项相减:计算。第二讲 绝 对 值一、 知识要点1、 绝对值的代数意义;2、 绝对值的几何意义: (1)|a|、(2)|a-b|;3、 绝对值的性质:(1)|-a|=|a|, |a|0 , |a|a; (2)|a|2=|a2|=a2;(3)|a

4、b|=|a|b|; (4)(b0);4、绝对值方程:(1) 最简单的绝对值方程|x|=a的解: (2)解题方法:换元法,分类讨论法。二、绝对值问题解题关键:(1)去掉绝对值符号; (2)运用性质; (3)分类讨论。三、例题示范例1 已知a0,求的值。注:对于轮换对称式,可通过假设使问题简化。例5 已知:例6 已知,化简:m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。例7 已知|x+5|+|x-2|=7,求x的取值范围。提示:1、根轴法;2、几何法。例8 是否存在数x,使|x+3|-|x-2|7。提示:1、根轴法;2、几何法。例9 m为有理数,求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8

5、|的最小值。提示:结合几何图形,就m所处的四种位置讨论。结论:最小值为8。例10(北京市1989年高一数学竞赛题)设x是实数,且f(x)=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f(x)的最小值等于_6_.例11 (1986年扬州初一竞赛题)设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0p15.对于满足px15的x的来说,T的最小值是多少?解 由已知条件可得:T=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=30-x.当px15时,上式中在x取最大值时T最小;当x=15时,T=30-15=15,故T的最小值是15.例12若两数绝对值之和等于绝对值之积,且这两数都不

6、等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.证 设两数为a、b,则|a|+|b|=|a|b|.|b|=|a|b|-|a|=|a|(|b|-1).ab0,|a|0,|b|0. |b|-1=0,|b|1. 同理可证|a|1. a、b都不在-1与1之间.例13 某城镇沿环形路有五所小学,依次为一小、二小、三小、四小、五小,它们分别有电脑15、7、11、3、14台,现在为使各校电脑数相等,各调几台给邻校:一小给二小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。若甲小给乙小-3台,即为乙小给甲小三台,要使电脑移动的总台数最少,应怎样安排?例14 解方程(1)|3x-1|=8 (2) |x-2|-1|=(

7、3)|3x-2|=x+4 (4)|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.例15(1973年加拿大中学生竞赛题)求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.分析 解绝对值方程的关键是去绝对值符号,令x+3=0,x-1=0,分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段:x-3或-3x1或x1,然后在每一段上去绝对值符号解方程,例如,当x-3时,|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1,x=-5,x=-5满足x-3,故是原方程的一个解,求出每一段上的解,将它们合并,便得到原方程的全部解,这种方法叫做“零点”分段法,x=-3,x=1叫做零点.第三讲 一次

8、方程(组)一、基础知识1、方程的定义:含有未知数的等式。2、一元一次方程:含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。3、方程的解(根):使方程左右两边的值相等的未知数的值。4、 字母系数的一元一次方程:ax=b。其解的情况: 5、 一次方程组:由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。常见的是二元一次方程组,三元一次方程组。6、 方程式组的解:适合方程组中每一个方程的未知数的值。7、解方程组的基本思想:消元(加减消元法、代入消元法)。二、例题示范例1、 解方程例2、 关于x的方程中,a,b为定值,无论k为何值时,方程的解总是1,求a、b的值。提示:用赋值法,对k赋以某一值后求之

9、。例3、(第36届美国中学数学竞赛题)设a,ab,b是实数,且a和a不为零,如果方程ax+b=0的解小于a/x+b=0的解,求a,ab,b应满足的条件。例4 解关于x的方程.提示:整理成字母系数方程的一般形式,再就a进行讨论例5 k为何值时,方程9x-3=kx+14有正整数解?并求出正整数解。提示:整理成字母系数方程的一般形式,再就k进行讨论。例6(1982年天津初中数学竞赛题)已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+52a=0,当a每取一个值时就有一个方程,而这些方程有一个公共解,你能求出这个公共解,并证明对任何a值它都能使方程成立吗?分析依题意,即要证明存在一组与a无关的x

10、,y的值,使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立,令a取两个特殊值(如a=1或a=-2),可得两个方程,解由这两个方程构成的方程组得到一组解,再代入原方程验证,如满足方程则命题获证,本例的另一典型解法例7(1989年上海初一试题),方程 并且abc0,那么x_提示:1、去分母求解;2、将3改写为。例8(第4届美国数学邀请赛试题)若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组: 确定3x4+2x5的值.说明:整体代换方法是一种重要的解题策略.例9 解方程组提示:仿例8,注意就m讨论。例10 如果方程组(1)的解是方程2x-y=4(2)的解,求m的值。提示:1、从(1)中解出x,y用m

11、表示,再代入(2)求m ; 2、在(1)中用消元法消去m再与(2)联立求出x,y,再代入(1)求m。例11 如果方程ax+by+cz=d对一切x,y,z都成立,求a,b,c,d的值。提示:赋值法。例12 解方程组。提示:引进新未知数第四讲 列方程(组)解应用题一、知识要点1、 列方程解应用题的一般步骤:审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等.2、 列方程解应用题要领:(1) 善于将生活语言代数化;(2) 掌握一定的设元技巧(直接设元,间接设元,辅助设元);(3) 善于寻找数量间的等量关系。二、例题示范1、合理设立未知元例1一群男女学生若干人,如果女生走了15人,则余下的男女生比例为2:1,在

12、此之后,男生又走了45 人,于是男女生的比例为1:5,求原来男生有多少人?提示:(1)直接设元 (2)列方程组:例2 在三点和四点之间,时钟上的分针和时针在什么时候重合?例3甲、乙、丙、丁四个孩子共有45本书,如果甲减2本,乙加2本,丙增加一倍,丁减少一半,则四个孩子的书就一样多,问每个孩子原来各有多少本书?提示:(1)设四个孩子的书一样多时每人有x本书,列方程;(2)设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有x,y,z,t本书,列方程组: 例4 (1986年扬州市初一数学竞赛题)A、B、C三人各有豆若干粒,要求互相赠送,先由A给B、C,所给的豆数等于B、C原来各有的豆数,依同法再由B给A、C现有豆数,

13、后由C给A、B现有豆数,互送后每人恰好各有64粒,问原来三人各有豆多少粒?提示:用列表法分析数量关系。 例5 如果某一年的5月份中,有五个星期五,它们的日期之和为80,求这一年的5月4日是星期几?提示:间接设元.设第一个星期五的日期为x,例6 甲、乙两人分别从A、B两地相向匀速前进,第一次相遇在距A点700米处,然后继续前进,甲到B地,乙到A地后都立即返回,第二次相遇在距B点400米处,求A、B两地间的距离是多少米?提示:直接设元。例7 某商场经销一种商品,由于进货时价格比原来降低了6.4%,使得利润率增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率。提示:商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系

14、为: 商品利润率=(商品售价商品进价)商品进价100%。例8 (1983年青岛市初中数学竞赛题)某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后,以每小时9千米的速度走平路到B地,共用55分钟.回来时,他以每小时8千米的速度通过平路后,以每小时4千米的速度上坡,从B地到A地共用小时,求A、B两地相距多少千米?提示:1 (选间接元)设坡路长x千米2 选直接元辅以间接元)设坡路长为x千米,A、B两地相距y千米3 (选间接元)设下坡需x小时,上坡需y小时, 2、设立辅助未知数例9 (1972年美国中学数学竞赛题)若一商人进货价便谊8%,而售价保持不变,那么他的利润(按进货价而定)可由目前的x%增加到

15、(x+10)%,x等于多少?提示:引入辅助元进货价M,则0.92M是打折扣的价格,x是利润,以百分比表示,那么写出售货价(固定不变)的等式。例10(1985年江苏东台初中数学竞赛题)从两个重为m千克和n千克,且含铜百分数不同的合金上,切下重量相等的两块,把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者的含铜百分数相等,问切下的重量是多少千克?提示: 采用直接元并辅以间接元,设切下的重量为x千克,并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1,n千克的铜合金中含铜百分数为q2。例 11有一片牧场,草每天都在匀速生长 (草每天增长量相等)如果放牧24头牛,则6 天吃完牧草;如果放牧21头牛,则8天吃完

16、牧草,设每头牛吃草的量是相等的,问如果放牧 16头牛,几天可以吃完牧草.提示设每头牛每天吃草量是x,草每天增长量是y,16头牛z天吃完牧草,再设牧场原有草量是a.布列含参方程组。 例 12甲、乙二人在一圆形跑道上跑步,甲用 40秒钟就能跑完一圈,乙反向跑,每15秒钟和甲相遇一次,求乙跑完一圈需要多少时间?提示:要求乙跑完一圈需要多少时间,就必须知道他的速度V米/秒,因此可以选择V 作参数3、方程与不等式结合例13 数学测验中共有20道选择题。评分方法是:每答对一题给6分,答错一题扣2分,不答不给分。有一个学生只有一道题没答,并且他的成绩在60分以上,那么他至少答对多少题?提示:利用方程、不等式

17、组成的混合组求解。第五讲 整数指数一、知识要点1、定义: (n2,n为自然数)2、整数指数幂的运算法则:(1)(2)(3),3、规定:a0=1(a0) a-p=(a0,p是自然数)。4、当a,m为正整数时,am的末位数字的规律: 记m=4p+q,q=1,2,3之一,则的末位数字与的末位数字相同。二、例题示范例1、计算 (1) 5523 (2) (3a2b3c)(-5a3bc2) (3) (3a2b3c)3 (4) (15a2b3c)(-5a3bc2)例2、求的末位数字。提示:先考虑各因子的末位数字,再考虑积的末位数字。例3、是目前世界上找到的最大的素数,试求其末位数字。提示:运用规律2。例4、

18、 求证:。提示:考虑能被5整除的数的特征,并结合规律2。例5、已知n是正整数,且x2n=2,求(3x3n)2-4(x2)2n的值。提示:将所求表达式用x2n表示出来。例6、求方程(y+x)1949+(z+x)1999+(x+y)2002=2的整数解。提示:|y+z|,|z+x|,|x+y|都不超过1,分情况讨论。例7、若n为自然数,求证:10|(n1985-n1949)。提示:n的末位数字对乘方的次数呈现以4为周期的循环。例8、 若,求x和y。结论:x=5,y=2。例9、对任意自然数n和k,试证:n4+24k+2是合数。提示:n4+24k+2=(n2+22k+1)2-(2n2k)2。例10、对

19、任意有理数x,等式ax-4x+b+5=0成立,求(a+b)2003.第六讲 整式的运算一、知识要点1、整式的概念:单项式,多项式,一元多项式;2、整式的加减:合并同类项;3、整式的乘除:(1) 记号f(x),f(a);(2) 多项式长除法;(3) 余数定理:多项式f(x)除以(x-a)所得的余数r等于f(a);(4) 因数定理:(x-a)|f(x)f(a)=0。二、例题示范1、整式的加减例1、 已知单项式0.25xbyc与单项式-0.125xm-1y2n-1的和为0.625axnym,求abc的值。提示:只有同类项才能合并为一个单项式。例2、 已知A=3x2n-8xn+axn+1-bxn-1,

20、B=2xn+1-axn-3x2n+2bxn-1,A-B中xn+1项的系数为3,xn-1项的系数为-12,求3A-2B。例3、 已知a-b=5,ab=-1,求(2a+3b-2ab) -(a+4b+ab) -(3ab+2b-2a)的值。提示:先化简,再求值。例4、 化简: x-2x+3x-4x+5x-+2001x-2002x。例5、 已知x=2002,化简|4x2-5x+9|-4|x2+2x+2|+3x+7。提示:先去掉绝对值,再化简求值。例6、5个数-1, -2, -3,1,2中,设其各个数之和为n1,任选两数之积的和为n2,任选三个数之积的和为n3,任选四个数之积的和为n4,5个数之积为n5,

21、求n1+n2+n3+n4+n5的值。例7、王老板承包了一个养鱼场,第一年产鱼m千克,预计第二年产鱼量增长率为200%,以后每年的增长率都是前一年增长率的一半。(1) 写出第五年的预计产鱼量;(2) 由于环境污染,实际每年要损失产鱼量的10%,第五年的实际产鱼量为多少?比预计产鱼量少多少?2、整式的乘除例1、已知f(x)=2x+3,求f(2),f(-1),f(a),f(x2),f(f(x)。例2、计算:(2x+1)(3x-2)(6x-4)(4x+2)长除法与综合除法: 一个一元多项式f(x)除以另一个多项式g(x),存在下列关系: f(x)=g(x)q(x)+r(x) 其中余式r(x)的次数小于

22、除式g(x)的次数。当r(x)=0时,称f(x)能被g(x)整除。例3、(1)用竖式计算(x3-3x+4x+5)(x-2)。 (2)用综合除法计算上例。 (3)记f(x)= x3-3x+4x+5,计算f(2),并考察f(2)与上面所计算得出的余数之间的关系。例4、证明余数定理和因数定理。证:设多项式f(x)除以所得的商式为q(x),余数为r,则有 f(x)=(x-b)q(x)+r,将x=b代入等式的两边,得 f(b)=(b-b)q(b)+r,故r=f(b)。特别地,当r=0时,f(x)= (x-b)q(x),即f(x)有因式(x-b),或称f(x)能被 (x-b)整除。例5、证明多项式f(x)

23、=x4-5x3-7x2+15x-4能被x-1整除。例6、多项式2x4-3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除,求a,b的值。提示:(1)用长除法,(2)用综合除法,(3)用因数定理。例7、若3x3-x=1,求f(x)=9x4+12x3-3x2-7x+2001的值。提示:用长除法,从f(x)中化出3x3-x-1。例8、多项式f(x)除以(x-1)和(x-2)所得的余数分别为3和5,求f(x)除以(x-1)(x-2)所得的余式。提示:设f(x)= (x-1)(x-2)q(x)+(ax+b),由f(1)和f(2)的值推出。例9、试确定a,b的值,使f(x)= 2x4-3x3+ax2+5x+b能

24、被(x+1)( x-2)整除。第七讲 乘法公式一、知识要点1、乘法公式平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式:(ab)2=a22ab+b2立方和公式:(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3立方差公式:(a-b)( a2+ab+b2)=a3-b32、乘法公式的推广(1)(a+b)(a-b)=a2-b2的推广由(a+b)(a-b)=a2-b2, (a-b)( a2+ab+b2)=a3-b3,猜想: (a-b)( )=a4-b4 (a-b)( )=a5-b5 (a-b)( )=an-bn特别地,当a=1,b=q时,(1-q)( )=1-qn从而导出等比数列的求和公式。(2)多项

25、式的平方由(ab)2=a22ab+b2,推出 (a+b+c)2=( ) , (a+b+c+d)2=( )猜想:(a1+a2+an)=( )。当其中出现负号时如何处理?(3)二项式(a+b)n的展开式一个二项式的n次方展开有n+1项;字母a按降幂排列,字母b按升幂排列,每项的次数都是n;各项系数的变化规律由杨辉三角形给出。二、乘法公式的应用例1、运用公式计算(1) (3a+4b)(3a-4b) (2) (3a+4b)2 例2、运用公式,将下列各式写成因式的积的形式。(1)(2x-y)2-(2x+y)2 (2)0.01a2-49b2 (3)25(a-2b) -64(b+2a)例3、填空(1) x2

26、+y2-2xy=( )2 (2) x4-2x2y2+y4=( )2(3) 49m2+14m+1=( )2 (4) 64a2-16a(x+y)+(x+y)2(5) 若m2n2+A+4=(mn+2)2,则A= ;(6) 已知ax2-6x+1=(ax+b)2,则a= ,b= ;(7) 已知x2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m= .例4、计算(1) 200002-1999920001 (2) 372+2637+132 (3) 31.52-331.5+1.52-100。提示:(1)19999=20000-1例5、计算(1) (1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)(1+232

27、)+1。(2) (1+3)(1+32)(1+34)(1+38)(1+32n)。例6、已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2。提示:(1)由x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),x2+y2=(x+y)2-2xy导出; (2)将x+y=10,平方,立方可解。例7、已知,求,的值。例8、已知a+b=1,a2+b2=2,求a3+b3, a4+b4, a7+b7的值。提示:由(a3+b3)(a4+b4)= a7+b7+a3b4+a4b3= a7+b7+a3b3(a+b)导出a7+b7的值。例9、已知a+b+c=0,a2+b2+c2=1求下列各式的值:(1)bc+ca+ab (2)a4+

28、b4+c4例10、已知a,b,c,d为正有理数,且满足a4+b4+c4+d4=4abcd,求证a=b=c=d。提示:用配方法。例11、已知x,y,z是有理数,且满足x=6-3y,x+3y-2z2=0,求x2y+z的值。例12、计算19492-19502+19512-19522+20012-20022。第八讲 不等式一、知识要点1、不等式的主要性质:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个数或整式,所得不等式与原不等式同向;(2)不等式两边乘以(或除以)同一个正数,所得不等式与原不等式同向;(3)不等式两边乘以(或除以)同一个负数,所得不等式与原不等式反向.(4)若AB,BC,则AC;(5)若AB

29、,CD,则A+BC+D;(6)若AB,CD,则A-CB-D。2、比较两个数的大小的常用方法:(1) 比差法:若A-B0,则AB;(2) 比商法:若1,当A、B同正时, AB;A、B同负时,AB;(3) 倒数法:若A、B同号,且,则AB。3、一元一次不等式:(1) 基本形式:axb (a0);(2) 一元一次不等式的解:当a0时,x,当a0时,x.二、例题示范例1、已知a0,-1b0,则a,ab,ab2之间的大小关系如何?例2、满足的x中,绝对值不超过11的那些整数之和为多少?例3、一个一元一次不等式组的解是2x3,试写出两个这样的不等式组。例4、若x+y+z=30,3+y-z=50,x,y,z

30、均为非负数,求M=5x+4y+2z的最大值和最小值。提示:将y,z用x表示,利用x,y,z非负,转化为解关于x的不等式组。例5、设a,b,c是不全相等的实数,那么a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小关系如何?例6、已知a,b为常数,若ax+b0的解集是x,求bx-a0的解集。提示:如何确定a,b的正负性?例7、解关于x的不等式ax-2x-3a (a1)。例8、解不等式|x-2|+|x+1|3提示:去掉绝对值,讨论。例9、(1)比较两个分数与(n为正整数)的大小; (2)从上面两个数的大小关系,你发现了什么规律? (3)根据你自己确定的与之间正整数的个数来确定相应的正整数n的个数。例10(上

31、海1989年初二竞赛题)如果关于x的不等式(2a-b)x+a-5b0的解为x,那么关于x的不等式axb的解是多少?例11、已知不等式的角是x的一部分,试求a的取值范围。例12、设整数a,b满足a2+b2+2ab+3b,求a,b的值。提示:将原不等式两边同乘以4并整理得(2a-b)2+3(b-2)24 (1),又因为a,b都是整数。故(2a-b)2+3(b-2)23。若(b-2)21,则3(b-2)23,这不可能。故0 (b-2)21,从而b=2.将b=2代入(1)得(a-1)21,故(a-1)2=0,a=1.所以a=1,b=2.第九讲 恒等变形一、知识要点1、代数式的恒等:两个代数式,如果对于

32、字母的一切允许值,它们的值都相等,则称这两个代数式恒等。2、恒等变形:通过变换,将一个代数式化为另一个与它恒等的代数式,称为恒等变形。二、例题示范例1、已知a+b+c=2,a2+b2+c2=8,求ab+bc+ca的值。例2、已知y=ax5+bx3+cx+d,当x=0时,y=-3;当x=-5时,y=9。当x=5时,求y的值。提示:整体求值法,利用一个数的奇、偶次方幂的性质。例3、若14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2,求a:b:c。提示:用配方法。注:配方的目的就是为了发现题中的隐含条件,以便利用有关性质来解题.例4、求证(a2+b2+c2)(m2+n2+k2) -(am+bn+ck)

33、2=(an-bm)2+(bk-cn)2+cm-ak)2提示:配方。例5、求证:2(a-b)(a-c)+2(b-c)(b-a)+2(c-a)(c-b)=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2。提示:1、两边化简。2、左边配方。例6、设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值,如果是定值,求出它的值;否则,请说明理由。例7、已知a+b+c=3, a2+b2+c2=3,求a2002+b2002+c2002的值。例8、证明:对于任何四个连续自然数的积与1的和一定是某个整数的平方。提示:配方。例9、已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,求ab+cd的值。提示:根据

34、条件,利用1乘任何数不变进行恒等变形。例10、(1984年重庆初中竞赛题)设x、y、z为实数,且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.例11、设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.第十讲 代数式的值一、知识要点求代数式的值的主要方法:1、利用特殊值;2、先化简代数式,后代入求值;3、化简条件后代入代数式求值;4、同时化简代数式和条件式再代入求值;5、整体代入法;6、换元法。二、例题示范例1、已知a为有理数,且a3+a2+a+1=0,求1+a+a2+a3+a

35、2001的值。提示:整体代入法。例2 (迎春杯初中一年级第八届试题)若 例3、已知a+b+c=0,求(a+b)(b+c)(c+a)+abc的值。提示:将条件式变形后代入化简。例4、当a=-0.2,b=-0.04时,求代数式值。例5、已知x2+4x=1,求代数式x5+6x4+7x3-4x2-8x+1的值。提示:利用多项式除法及x2+4x-1=0。例6、(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求的值.例7、已知x,y,z是有理数,且x=8-y,z2=xy-16,求x,y,z的值。提示:配方,利用几个非负数之和为零,则各个非负数都是零。例8、已知x,y,z,w满足方程组 求

36、xyzw的值。例9、已知a+b+c=3,(a-1)3+(b-1)3+(c-1)3=0,且a=2,求a2+b2+c2的值。例10 若求x+y+z的值.提示 令例11(x-3)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f,则a+b+c+d+e+f=_, b+c+d+e=_.例12、若a,c,d是整数,b是正整数,且a+b=c,b+c=d,c+d=a,求a+b+c+d的最大值。(1991年全国初中联赛题)第十一讲 直线与线段一、知识要点1、直线:(1)直线可向两方无限延伸;(2)过两点有且只有一条直线。2、射线:3、线段:直线上两点和它们之间的部分称为线段,线段有两个端点。两点间的所有连线中,线段最

37、短。4、三角形两边之和大于第三边。二、例题示范例1、如图,请用线段a,b,c来表示x。练习1、线段AB长5cm,在AB上取点C,若AC长x,BC长为y,则y与x的关系式是_,x取值范围是_。在下面空处作出简图。练习2、线段PC=1cm,延长PC至D,若CD=x,PD=y,则y与x的关系式是_,x取值范围是_。在下面空处作出简图。例2、在一条直线上,如果给定n个点,那么以它们为端点的线段共有多少条?若从左至右相邻两点的线段的长度依次为a1,a2,an-1,求所有线段的长度之和。提示:长度之和S=a1(n-1) 1+a2(n-2) 2+an-11(n-1)例3、如图,点C、D、E是线段AB的四等分

38、点,点F、G是线段AB的三等侵占为,已知AB=12cm,求CF+DF+EF的长。例4、将直线上的每一点都染上红、黄色中的一种,求证:必存在同颜色的三个点,使其中一点是另两点连线段的中点。提示:用构造法。并且用5个点来保证满足条件的点。例5、在一条直线上已知四个不同的点依次是A、B、C、D,请在直线上找出一点P,使PA+PB+PC+PD最小。例6、直线上分布着2002个点,我们来标出以这些点为端点的一切可能的线段的中点。试求至少可以得出多少个互不重合的中点。提示:用归纳法。一般地,若直线上分布着n个点,结论为2n-3。例7、点A、B在直线MN的两侧,请在MN上求一点P,使PA+PB为最小。例8、

39、点A、B在直线MN的同侧,请在MN上求一点P,使PA+PB为最小。例9、两面相邻的墙上分别有两点A、B,如图,问从A到B走怎样的路线,才能使全长最短?(提示:用等角原理。)例10、在直线MN的同侧有两点A、B,且AB的连线与MN不平行。请在MN上求一点P,使|PA-PB|为最大。提示:连接AB交MN于P,则P为所求。例11、在DABC中,D是边AB上任意一点,如图,求证:AB+ACDB+DC。例12、P是DABC内一点,求证(1)AB+ACPB+PC (2)AB+BC+CAPA+PB+PC(3)1例13、已知P、Q是DABC内两点,求证:AB+ACBP+PQ提示:延长BP、CQ相交于D,则AB

40、+ACDB+DC=BP+(PD+DQ)+QCBP+PQ+QC第十二讲 角一、知识要点1、角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。2、锐角、直角、钝角、平角、周角。3、补角、余角。4、三角形的内角和。二、例题示范例1、如图,AOD=,AOB=COD=,COE=。请用、表示BOE。 例2、如图,已知OE平分AOB,OD平分BOC,AOB为直角,EOD=70O,求BOC的度数。 练习:如图,已知AOD是一直线,AOC=120O,BOD=150O,OE平分BOC,求AOE的度数。例3、如图,以O为顶点,以OA1,OA2,OAn为边小于平角的角有多少个?若i=AiOAi+1,(i=1,2,n)求出所有

41、角的和。答:共有角n(n-1)/2个,角度的总和为=1(n-1)1+2(n-2)2+n-11(n-1)。例4、上题中,若每一个角都作一条角平分线,问至少可得出多少条互不重合的有平分线?答:2n-3条。例5、过点O任意作14条射线,求证:以O0 顶点的角中至少有一个小于26O。例6、如图,已知直线AB与CD相交于O,OE,OF,OG分别是AOC、BOD、AOD的平分线。求证:(1)E、O、F三点在同一直线上;(2)OGEF。 例7、如图是一个33的正方形,求图中1+2+3+9的和。(答:405O)。例8、求凸n边形的内角和。例9、在下图中,找出BCD与ABC、BAC、ADC之间的关系。答:BCD

42、=ABC+BAC+ADC。例10、分别求出下图(1)(2)(3)中A+B+C+D+E的度数。 图(1) 图(2) 图(3)例11、分别求出一图(1)(2)(3)中A+B+C+D+E+F的度数。例12、求下图中A+B+C+D+E+F+G+H+K的度数。第十三讲 相交线与平行线一、知识要点1、平面内两条直线的位置关系:相交或平行。(1)相交线:如果两条直线有一个公共点,则称为两相交直线;(2)平行线:如果两条直线没有公共点,则称为平行直线。2、两条直线的垂直:如果两条直线相交所成的角为直角,则称这两条直线互相垂直。3、两条直线垂直的两个重要结论:(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(2)直线外一

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