竞赛中的复数问题(DOC 22页).doc

1、 Y.P.M数学竞赛讲座 1 竞赛中的复数问题 复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.一、知识结构 1.概念与运算: 表达形式:代数式:z=a+bi(a,bR);三角式:z=r(cos+isin)(r0,R);指数式:z=rei(r0,R);欧拉公式:ei=cos+isin,R. 共轭与模:=;=;=;|z1|-|z2|z1+z2|z1|+|z2|;|z1z2|=|z1|z2|;|=;z=|z|2=|2;z=zR;|z|=|Re(z)|zR. 运算法则:乘法:r1(cos1+isin2)r2(c

2、os2+isin2)=r1r2(cos(1+2)+isin(1+2);除法:=(cos(1-2)+isin(1-2);乘方:r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn);开方:zn=r(cos+isin)z=(cos+isin)(k=0,1,2,n-1). 2.辐角与三角: 辐角性质:定义:若z=r(cos+isin)(r0,R),则称为复数z的辐角,记为Argz;特别地,当0,2)时,则称为复数z的辐角主值,记为argz;运算:Argz1+Argz2=Arg(z1z2);Argz1-Argz2=Arg()=Arg(z1);nArgz=Argzn;性质:若z=cos+isin,则1+

3、z=2cos(cos+isin);1-z=-2sin(cos+isin). 单位根:定义:方程xn=1的n个根叫做n次单位根,分别记为k(k=0,1,2,n-1);k=(cos+isin)(k=0,1,2,n-1);性质:0=1;k=1k;kj=k+j;单位根的积仍是单位根;n次单位根的全部为:1,1,12,1n-1;1+1+12+1n-1=0,(x-1)(x-1)(x-12)(x-1n-1)=xn-1. 基本结论:实系数n次方程的虚根与其共轭复数成对出现;若|z1|=|z2|=|zn|,且z1+z2+zn=0,则z1,z2,zn对应的点是正n边形的顶点,且正n边形的中心在坐标原点;若复数z1

4、,z2对应的点分别为Z1,Z2,且z1=z0z2,则Z1OZ2=argz0,或argz0-. 3.复数与几何: 基本原理:点的对应:复数z=x+yi与点Z(x,y)成一一对应;向量对应:复数z=x+yi与向量=(x,y)成一一对应;距离公式:复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,则|Z1Z2|=|z1-z2|;旋转公式:复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,向量绕点Z1逆时针旋转角,再伸长r(r0)倍,则所得向量中的Z对应的复数z=z1+r(z2-z1)(cos+isin). 线性结论:定比分点:若复数z,z1,z2对应的点分别为Z,Z1,Z2,点Z分有向线段的比为(-1),则z=;三点共

5、线:若复数z,z1,z2对应的点分别为Z,Z1,Z2,则三点Z,Z1,Z2共线的充要条件是:Z=Z1+(1-)Z2;平行条件:若复数z1,z2,z3,z4对应的点分别为Z1,Z2,Z3,Z4,则Z1Z2Z3Z4的充要条件是:z1-z2=(z3-z4);垂直条件:若复数z1,z2,z3,z4对应的点分别为Z1,Z2,Z3,Z4,则Z1Z2Z3Z4的充要条件是:z1-z2=(z3-z4)i. 2 Y.P.M数学竞赛讲座 几何结论:三角形面积:若复数z1,z2,z3对应的点分别为Z1,Z2,Z3,则Z1Z2Z3的面积=复数(z1+z2+z3)的虚部;三角形形状:若复数z1,z2,z3对应的点分别为Z

6、1,Z2,Z3,则Z1Z2Z3为正三角形的充要条件是:z12+z22+z32=z1z2+z2z3+z3z1;或z1+z2+2z3=0;三角形相似:若复数z1,z2,z3对应的点分别为Z1,Z2,Z3,复数w1,w2,w3对应的点分别为W1,W2,W3,则Z1Z2Z3W1W2W3的充要条件是:=;四点共圆:若复数z1,z2,z3,z4对应的点分别为Z1,Z2,Z3,Z4,则四点Z1,Z2,Z3,Z4共圆的充要条件是:R.二、典型问题 1.复数概念例1:(2006年全国高中数学联赛试题)若对一切R,复数z=(a+cos)+(2a-sin)i的模不超过2,则实数a的取值范围为 .解析:类题:1.(2

7、010全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数z1=m+2i,z2=3-4i,若为实数,则实数m的值为 . (2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,复数z2的虚部为2,则z1z2为实数的条件是z2= .2.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)若为纯虚数,则|z|= .3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a的值为 .4.(1994年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:设a,b,c都是复数,如果a2+b2c2,则a2+b2-c20;设a,b,c都是复数,如果a2+b2-c20,则a2

8、+b2c2.那么下述说法正确的是( )(A)命题正确,命题也正确 (B)命题正确,命题错误 (C)命题错误,命题也错误 (D)命题错误,命题正确5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设z是虚数,w=z+,且-1w2,则z的实部取值范围为 . 2.代数形式例2:(1995年全国高中数学联赛试题)设,为一对共轭复数,若|-|=2,且为实数,则|= .解析:类题:1.(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i)4+(1-i)4= . (2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:= .2.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知i2=-1,在集合s|s=1+

9、i+i2+i3+in,nN中包含的元素是 .3.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列an满足a1=0,an=an-12+i(n2,i为虚数单位,则它的前2007项的和= .4.(2000年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列zn满足z1=i,zn+1=-zn2-i,则|z2000|= 5.(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数z=成为实数的所有x构成的集合是 . Y.P.M数学竞赛讲座 3 3.三角形式例3:(1999年全国高中数学联赛试题)给定实数a,b,c,已知复数z1,z2,z3满足:,求|az1+bz2+cz3|的值.解析:类题:1.(1992年全国高中数学联赛上

10、海初赛试题)设A、B、C为ABC的三内角,则复数的虚部是 .2.(1992年湖南高中数学夏令营试题)已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,z1-z2=cos150+isin150,则= .3.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)设|z1|=|z2|=a(a0),且z1+z2=m+mi,其中m为非零实数.则z13z23的值是 .4.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设|z|=1,则|z2-z+2|的最小值为 .5.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知复数集合D,复数zD当且仅当存在模为1的复数z1,使得|z-2005-2006i|=|z14+1-2z12|.则D中

11、实部和虚部都为整数的复数的个数是 . 4.共轭运算例4:(2001年全国高中数学联赛试题)若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-i,则z1z2= .解析:类题:1.(1986年全国高中数学联赛试题)为z为复数,M=z|(z-1)2=|z-1|2,那么( )(A)M=纯虚数 (B)M=实数 (C)实数M复数 (D)M=复数2.(1985年全国高中数学联赛试题)设z,w,为复数,|1关于z的方程-z=w下面有四个结论:z=是这个方程的解;这个方程只有一个解;这个方程有两个解;这个方程有无穷多解.则( )(A)只有和是正确的 (B)只有和是正确的 (C)只有和是正确的 (

12、D)以上(A)、(B)、(C)都不正确3.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z1,z2满足|z1|=|z2|,且z1-z2=2-i,则的值为 .4.(1996年湖南高中数学夏令营试题)z1,z2是已知的两个任复数,复数z满足z0,z+z20,z1+z+z1=0,则arg= .5.(1991年全国高中数学联赛试题)设复数z1,z2满足|z1|=|z1+z2|=3,|z1-z2|=3,则log3|(z1)2000+(z2)2000|= . 5.模的运算例5:(2011年全国高中数学联赛新疆初赛试题)复数z1和z2满足:|z2|=4,4z12-2z1z2+z22=0,则|(z1+1)

13、2(z1-2)|的最大值为 .解析:类题:1.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)|= .2.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数z满足|z|(3z+2i)=2(iz6),则|z|等于 .3.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设zn是一个复数数列,定义zn=(1+i)(1+)(1+),则= .4.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z满足z-z-=3,且arg(z-1)=,则z= . 4 Y.P.M数学竞赛讲座 5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z是复数,且|z|=1,则u=|z2-z+1|的最大值与最小值是 . 6.乘方运算例6:(2007

14、年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n2007,且n为使得an=(+i)n取实数值的最小正整数,则对应此n的an= .解析:类题:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:()1989= .2.(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z=(-3i)n,若z为实数,则最小的正整数n的值为 . (1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设n为使an=(+i)n取实数的最小自然数,则对应此n的an= .3.(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n为不超过2003的正整数.如果有一个角使得(sin+icos)n=sinn+icosn成立,则这种n的总个数为 . (1988年全国高中

15、数学联赛上海初赛试题)设m、n是自然数,且使(+i)m=(1+i)n成立(其中i是虚数单位),则乘积mn的最小值是 .4.(2010年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z为复数.若|z|=1,|+i|=1,则当(z+i)n(n为正整数)为实数时,|z+i|n的最小值为 .5.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)()8+1n当n取1,2,100时,可得 个不同的数值. 7.单位复数例7:(1991年全国高中数学联赛试题)设a,b,c均为非零复数,且=,则的值为 .解析:类题:1.(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x1,x2是方程x2-x+1=0的两个根,则x11980+= . (

16、2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知复数m满足m+=1,则m2008+= . 2.(1990年全国高中数学联赛试题)设非零数复数x,y满足x2+xy+y2=0,则代数式()1990+()1990的值是 . (2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设非零数相异复数x,y满足x2+xy+y2=0,则代数式2006(x2006+y2006)的值是 .3.(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若zC,且x10=1,则1+x+x2+x3+x2009+x2010= .4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z满足:z3=27,则z5+3z4+2242= .5.(2

17、008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(+i)2008=f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则f(x)的系数之和是 . 8.复数方程例8:(1994年全国高中数学联赛试题)x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1,z2,m均是复数,且z12-4z2=16+20i,设这个方程的两个根,满足|-|=2,求|m|的最大值和最小值.解析: Y.P.M数学竞赛讲座 5 类题:1.(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)若虚数z使2z+为实数,则2z+的取值范围是_.2.(1993年全国高中数学联赛试题)二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)0(i为虚数单位,

18、lR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为_.3.(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程z4=(为z的共轭复数)的根为 .4.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)复数z满足等式z+|z|3=0,则z= .5.(2000年全国高中数学联赛试题)设=cos+isin,则以w,w3,w7,w9为根的方程是( )(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B)x4-x3+x2-x+1=0 (C)x4-x3-x2+x+1=0 (D)x4+x3+x2-x-1=0 9.复数与点例9:(1998年全国高中数学联赛试题)设复数z=cos+isin(001800),复数z,(1+i)z

19、,2在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R不共线时,以线段PQ,PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S到原点距离的最大值是 _.解析:类题:1.(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B是锐角ABC的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若点A,B分别对应复数z,z-1,zR,则直线AB与x轴的交点对应的复数为 (用z和表示).3.(2002年湖南高中数学夏令营试题)已知z为复数,arg(z+3)=1350

20、,则取最大值时,z= .4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在复平面内由,(i-1)3对应的点构成的三角形的最大内角等于 .5.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)如果复数z满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数f(z)=|(z+1)(-i)|取最大值时,ABZ的形状是 . 10.模的意义例10:(2002年全国高中数学联赛试题)已知复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,若它们所对应向量的夹角为600,则|= .解析:类题:1.(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设复数z1=(2-a)+(1-b)i,z2=(3+2a)

21、+(2+3b)i,z3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,bR,当|z1|+|z2|+|z3|取得最小值时,3a+4b= . (1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知复数z1,z2满足|z1|1,|z2|,则复数i1993z1+i1995z2+2z1z2的模长的最小值是 .2.(2010年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设z是复数,则|z-1|+|z-i|+|z+1|的最小值等于_.3.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设z是模为2的复数,则|z-|的最大值与最小值的和为 .4.(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)若复数z满足|z+1+i|+|z-1-i|=2,记|z+i|

22、的最大值和最小值分别为 6 Y.P.M数学竞赛讲座 M,m,则= .5.(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z的模为1,则函数|z2+iz2+1|的值域是 . 11.幅角主值例11:(1998年全国高中数学联赛试题)已知复数z=1-sin+icos(0)倍,则所得向量中的Z对应的复数z=z1+r(z2-z1)(cos+isin). 线性结论:定比分点:若复数z,z1,z2对应的点分别为Z,Z1,Z2,点Z分有向线段的比为(-1),则z=;三点共线:若复数z,z1,z2对应的点分别为Z,Z1,Z2,则三点Z,Z1,Z2共线的充要条件是:Z=Z1+(1-)Z2;平行条件

23、:若复数z1,z2,z3,z4对应的点分别为Z1,Z2,Z3,Z4,则Z1Z2Z3Z4的充要条件是:z1-z2=(z3-z4);垂直条件:若复数z1,z2,z3,z4对应的点分别为Z1,Z2,Z3,Z4,则Z1Z2Z3Z4的充要条件是:z1-z2=(z3-z4)i. 2 Y.P.M数学竞赛讲座 几何结论:三角形面积:若复数z1,z2,z3对应的点分别为Z1,Z2,Z3,则Z1Z2Z3的面积=复数(z1+z2+z3)的虚部;三角形形状:若复数z1,z2,z3对应的点分别为Z1,Z2,Z3,则Z1Z2Z3为正三角形的充要条件是:z12+z22+z32=z1z2+z2z3+z3z1;或z1+z2+2

24、z3=0;三角形相似:若复数z1,z2,z3对应的点分别为Z1,Z2,Z3,复数w1,w2,w3对应的点分别为W1,W2,W3,则Z1Z2Z3W1W2W3的充要条件是:=;四点共圆:若复数z1,z2,z3,z4对应的点分别为Z1,Z2,Z3,Z4,则四点Z1,Z2,Z3,Z4共圆的充要条件是:R.二、典型问题 1.复数概念例1:(2006年全国高中数学联赛试题)若对一切R,复数z=(a+cos)+(2a-sin)i的模不超过2,则实数a的取值范围为 .解析:|z|2(a+cos)2+(2a-sin)242acos-4asin3-5a2-2asin(+)3-5a22|a|3-5a2(|a|-1)

25、(|a|+3)0a-,.类题:1.(2010全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数z1=m+2i,z2=3-4i,若为实数,则实数m的值为 . (2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,复数z2的虚部为2,则z1z2为实数的条件是z2= .2.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)若为纯虚数,则|z|= .3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a的值为 .4.(1994年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:设a,b,c都是复数,如果a2+b2c2,则a2+b2-c20;设a,b,c都

26、是复数,如果a2+b2-c20,则a2+b2c2.那么下述说法正确的是( )(A)命题正确,命题也正确 (B)命题正确,命题错误 (C)命题错误,命题也错误 (D)命题错误,命题正确5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设z是虚数,w=z+,且-1w2,则z的实部取值范围为 .解:设z=a+biw=a+bi+=a+(b-)i.由-1w2w为实数b-=0b=0,或a2+b2=1.当b=0时,a0,w=a+|w|2,不符合-1w2;当a2+b2=1时,w=2a,由-1w2-a1. 2.代数形式例2:(1995年全国高中数学联赛试题)设,为一对共轭复数,若|-|=2,且为实数,则|= .解析

27、:设=a+bi(a,bR)=a-bi=a2+b2R,-=2bi,|-|=2|b|=,=为实数3=(a+bi)3=(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i为实数3a2b-b3=0|a|=1|=2.类题:1.(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i)4+(1-i)4= . (2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:= . Y.P.M数学竞赛讲座 3 2.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知i2=-1,在集合s|s=1+i+i2+i3+in,nN中包含的元素是 .3.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列an满足a1=0,an=an-12+i(

28、n2,i为虚数单位,则它的前2007项的和= .4.(2000年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列zn满足z1=i,zn+1=-zn2-i,则|z2000|= 5.(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数z=成为实数的所有x构成的集合是 .解:复数z=为实数sinx+sin2x+i(2cos2xsinx-tanx)(cosx+i)为实数sinx+sin2x+(2cos2xsinx-tanx)cosx=0sin2x+cos2xsin2x=0sin2x=0sinx=0(cosx0)x=k. 3.三角形式例3:(1999年全国高中数学联赛试题)给定实数a,b,c,已知复数z1,z2,z3满足

29、:,求|az1+bz2+cz3|的值.解析:由|z1|=|z2|=|z3|=1,可设z1=cos+isin,z2=cos+isin,z3=cos+isin+=cos(-)+isin(-)+cos(-)+isin(-)+cos(-)+isin(-)=1sin(-)+sin(-)+sin(-)=02sincos-2sincos=0sinsinsin=0.当sin=0时,=2k+z1=z2,由+=1+=0()2+1=0=i|az1+bz2+cz3|=|(a+bic)z1|=;同理可得:当sin=0时,|az1+bz2+cz3|=;当sin=0时,|az1+bz2+cz3|=.类题:1.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)设A、B、C为ABC的三内角,则复数的虚部是 .解:=2=2(cos(A+B+C)+isin(A+B+C)