高中数学竞赛专题讲座-解析几何(二)(DOC 13页).doc

1、精诚凝聚 =_= 成就梦想 解析几何 各类竞赛试题选讲一、 选择题1、（04湖南）已知曲线：与直线有两个交点，则的取值范围是(C)A B CD2 （05全国）方程表示的曲线是（ D ）A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线3、（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是，则满足条件的直线L共有（ C ）条。（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解: 由分别以A，B为圆心，为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C。4（06安徽）过原点O引抛物线的切线，当a变化时，两个切点分别在抛物线（

2、B ）上A、 B、 C、 D、5若在抛物线的上方可作一个半径为的圆与抛物线相切于原点，且该圆与抛物线没有别的公共点，则的最大值是 ( A )(A) (B) (C) (D) 6. （06江苏）已知抛物线y2=2px，o是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得POF 是直角三角形，则这样的点P共有( B ) (A)0个 (B)2个 (C)4个 (D)6个7、（06全国）如图3，从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T延长FT交双曲线右支于P点。若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则与的大小关系为 ( ) A. B. C. D.不确定8.（05四川）双曲线的左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一

3、点，则分别以线段为直径的两圆一定( )（A）相交（B）内切（C）外切（D）相离解：设双曲线的另一个焦点为，线段的中点为，在中，为的中点，为的中点，从而，从而以线段为直径的两圆一定内切。9、点是直线上一点，且在第一象限，点的坐标为（3，2），直线交轴正半轴于点，那么三角形面积的最小值是 （ A ）10.（02湖南）已知A（-7，0），B（7，0），C（2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C，且过A、B两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263）（A）双曲线 （B）椭圆 （C）椭圆的一部分 （D）双曲线的一部分11、（03全国）过抛物线的焦点F作倾斜角为60O的直线。若此直线与抛物线交于A

4、、B两点，弦AB的中垂线与轴交于点P，则线段PF的长等于（ ）（奥析263）（A） （B） （C） （D）二、 填空题1、若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为 2. （04湖南）设是椭圆上异于长轴端点的任意一点，、分别是其左、右焦点，为中心，则 _25_.3（05湖南）一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，若点与点重叠，则_;解：可解得对称轴方程为，由得，所以4. 在正中，、分别是、的中点，则以、为焦点且过点、的双曲线的离心率是 5、（03全国）设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且|PF1|：|PF2|=2：1.则三角形PF1F2的面积

5、为 . （奥析264）6、（04全国）给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动. 当取最大时，点P的坐标为 . （奥析265）7、（03山东）设曲线上与原点距离最大和最小的点分别为M、N，则|MN|= . （奥析266）8、（04全国）已知若对于所有的，均有，则b的取值范围是 （奥析267）9、（00全国）平面上的整点到直线25x15y+12=0的距离中的最小值是.10、(99全国)满足不等式（|x|1）2+(|y|1)2 2的整点的个数有 16 .11、（00河北）在圆x2+y25x=0内，过点有三条弦的长度成等比数列. 则其公比的取值范围为 .12、设P是抛物线y2=2x上的

6、点，Q是圆（x5）2+y2=1上的点，则|PQ|的最小值为 2 .三、 解答题1、已知抛物线y2=4ax（0a0,(1). 试将d表示为n的函数关系式.(2). 若,是否存在满足条件的.若存在,求出n可取的所有值,若不存在,说明理由.解(1). d0,故为递增数列 最小,最大。 由方程知是它的右焦点,L: 是它的右准线, 于是 - - - - - - - - - - -5分(2) 设 又 取最大值14, 取最小值8.可取8、9、10、11、12、13、14这七个值。- - - - - - - - - - - - -9分5、（03山东）椭圆C：与直线：x+2y=7相交于P、Q两点，点R的坐标为（

7、2，5）.若是等腰三角形，求A、B的值。（奥析265）6、（04全国）在平面直角坐标系xoy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（）求点P的轨迹方程；（）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。解：（）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，即，化简得点P的轨迹方程为圆S：.5分（）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S： 与双曲线T：因为B（1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。的内心D也是适合题设条件的

8、点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。.10分（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。.15分情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不

9、同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是或 .解方程得，解方程得。综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。7. （04湖南）在周长为定值的中，已知，且当顶点位于定点时，有最小值为.(1)建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.(2)过点作直线与(1)中的曲线交于、两点，求的最小值的集合.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6. 因为 又 ，所以 ，由题意得 .此时，|PA|=|P

10、B|，P点坐标为 P(0，4).所以C点的轨迹方程为 (2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 显然有 0， 所以 而由椭圆第二定义可得 只要考虑 的最小值，即考虑取最小值，显然.当k=0时，取最小值16.当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得 但 ，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集.8.（04四川）已知椭圆：（ab0），动圆：，其中bRa. 若A是椭圆上的点，B是动圆上的点，且使直线AB与椭圆和动圆均相切，求A、B两点的距离的最大值.解：设A、B，直

11、线AB的方程为因为A既在椭圆上又在直线AB上，从而有将（1）代入（2）得由于直线AB与椭圆相切，故从而可得，（3）5分同理，由B既在圆上又在直线AB上，可得， （4）10分由（3）、（4）得，即，当且仅当时取等号所以A、B两点的距离的最大值为. 20分.9. （05全国）过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，F在线段BC上，且1+2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。10（05湖南）过点作一条直线和分别相交于两点，试求的最大值。（其中为坐标原点）解：过点作一圆与轴、轴分别相切于点A、B，且使点在优弧AB

12、上，则圆的方程为，于是过点作圆的切线和轴、轴分别相交于两点，圆为的内切圆，故若过点的直线不和圆相切，则作圆的平行于的切线和轴、轴分别相交于两点，则。由折线的长大于的长及切线长定理，得Q所以，的最大值为6。11.（05江苏）设椭圆的方程为 , 线段 是过左焦点 且不与 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , 使 为正三角形, 求椭圆的离心率 的取值范围, 并用 表示直线 的斜率. 解： 如图, 设线段 的中点为 过点 、 分别作准线的垂线, 垂足分别为 、, 则 6分假设存在点 ，则 ， 且 ， 即 ，所以， 12分.于是， 故若 (如图)，则. 18分当 时, 过点 作斜率为 的焦点弦 ,

13、它的中垂线交左准线于 , 由上述运算知, 故 为正三角形. 21分若 ，则由对称性得 24分又 , 所以，椭圆 的离心率 的取值范围是， 直线 的斜率为 12（05四川）正方形的两顶点在抛物线上，两点在直线上，求正方形的边长。解：设两点坐标分别为、，显然，即一方面， 。另一方面，将代入，得，即。故或13. （06浙江）在轴同侧的两个圆：动圆和圆外切（），且动圆与轴相切，求（1）动圆的圆心轨迹方程L;（2）若直线与曲线L有且仅有一个公共点，求之值。解：（1）由可得由N，以及两圆在轴同侧，可知动圆圆心在轴上方，设动圆圆心坐标为, 则有整理得到动圆圆心轨迹方程 。（5分）另解: 由已知可得，动圆圆心

14、的轨迹是以为焦点，为准线，且顶点在点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程，即5分（2）联立方程组 和 消去得 ，由 整理得 。从可知 。 故令，代入可得再令，代入上式得 （10分）同理可得，。可令代入可得 对进行配方，得 对此式进行奇偶分析，可知均为偶数，所以为8的倍数，所以。令，则 。所以 （15分）仅当时，为完全平方数。于是解得 。 （20分）14（06江苏）椭圆的右焦点为F，P1，P2，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且P1FP2=P2FP3=P3FP4=P24FP1.若这24个点到右准线的距离的倒数和为S，求S2的值 180解：椭圆中，故所以，设与轴正向的夹角为，为点到右准线的距离则即 同理所以从而，于是 点亮心灯 /(v) 照亮人生