1、 高数竞赛习题例1（1） （2） （3） （4） （5）例2、（1）（06年真题） 解：（法一） （法二） 而 从而 （2）（3）（07年的真题）求解：（4）（资料中的发挥题）求 例3、 （03年 真题） 例4 （1） （类似地，求等） （2） （4） *例5 若则之值（ C ） （A）依赖于 （B）依赖于 （C）只依赖于 （D）依赖于 解： 令，则，例5（1）（资料中的发挥题）计算解：换元， 则 再令，有 从而 （2）（07经管类真题） 解： 移项解得 *（2）（05年数学类真题）计算解：令 则 移项解得 ，从而 （3）（首届高数竞赛真题） :证明：证明： 而 从而 原式=例6（1）计算 解
2、： 而 从而 （2）（04 年真题）计算解： （3）（资料中的发挥题）计算解： 例7（1）* （2）（资料中的发挥题）设 求 （3）解： 从而 （4）（首届高数竞赛真题）计算解： （5）设 求解： 从而 例8 （1）（ C ）. （A） （B） （） （D）（2）（06年文专科真题）计算解： （3）例9（1）（05年真题）计算 解： 从而 （2） （3） （4） （08年真题） 解：例10（1） （2） （3）（05年真题）设 ，, ,试比较的大小。 解： ，从而 先证 令， 从而 在内严格单调减， 即， ，因此 从而 （4）设则（ A ） （A）为正常数 （B）为负常数 （C）恒为零 （D）
3、不为常数解： 例11（1）（03年真题）设，求解 （法一） （法二） （2）求 其中 解： 例12（1）已知：在的邻域内为可导函数，且，求极限解： （2）设在上连续，且 求解： 对两边求导 得 令 得 （3）设有连续导数，且当时，的导数与为等价无穷小，求的值。解：由题意： 又 从而 从而 （4）设连续，已知求解：令，则 对上式两边求导得 从而 例13（1）已知可微， 求 解：在中，令，对两边求导 得，令，得 ，套用线性微分方程的通解公式 代入初始条件，（舍，不满足）（2）（首届竞赛真题）设连续，且当时，求解：令则, 且 从而 由，得，从而 例14 （1）若 求 解：对两边在积分 设，得 从而
4、（2）设在上连续，且满足 求 解： 两边在上积分 令， 即得 从而 例15 （1）下列不等式中正确的是（ A ） （A） （B）0 （C） （D）以上都不对解：在上最大值为，最小值（2）设是一个连续函数，证明：存在，使证明；在上连续，则存在最大值， 由估值不等式由介值定理，使得（3）设在上连续，且则方程在上（ A ） （A）只有一个根 （B）有二个根 （C）.有三个根 （D）无根解：令，由于在上连续， 则在上连续，可导且，（）由零点定理，在内至少有一根又，因此只有一根。（4）设函数在闭区间上连续可导，且满足 求证：在内至少有一点，使（积分第一中值定理与罗尔定理）证明： 令，由于在闭区间上连续可
5、导，则在闭区间上连续可导 又 ，由条件可得 由Rolle定理，至少存在一点，使（5）设在上可导，且在上求证：（积分第一中值定理与Lagrange中值定理）证明：在上可导，则，有 （6）（06年真题）求最小的实数，使得满足的连续函数都有解： 另一方面令，则 而 从而最小实数例16 （1）（04年真题）证明：，应用CauchySchawazi 不等式 得 例17（05年真题）（1）在某平地上向下挖一个半径为的半球形池塘，若某点泥土的密度为，其中为此点离球心的距离，试求挖此池塘需作的功。解：建立坐标系（如图）应用微元法。在点处的泥土质量为该点与水平面的距离为，所做功的微元为挖池塘所需作功为（2）（06年文专科真题）求由围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积。解： 交点为 （配图） 面积 体积 （两次分部积分）（07年真题）求的值，使又， 从而至多与轴相交一次。从而有 关于原点对称，即 错误：仅仅有为奇函数这个条件，且不能推出 反例：
