2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）压轴卷 数学（理） Word版含解析.doc

1、 绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合(1)(4)0Ax xx， 2 log2Bxx，则A B（ ） A. 4,2 B. 1, C. 0,4 D.2

2、, 2.若复数z满足 2 (1)zii（i是虚数单位） ，则z为（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 1 4 D. 1 5 3.已知 1 2 3a ， 2 log3b， 9 log 2c ，则a、b、c的大小关系为（ ） A. abc B. acb C. bac D. cba 4.在的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则（ ） A. B. C. D. 5已知 xlog321，则 4x（ ） A4 B6 C4 D9 6在ABC 中，若 sinB2sinAcosC，那么ABC 一定是（ ） A等腰直角三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等边三角形 7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学

3、家有“秦九韶、李冶、杨辉、朱 世杰四大家” ，朱世杰就是其中之一朱世杰是一位平民数学家和数学教育家朱世杰 平生勤力研习九章算术 ，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家他全面继承了前人 数学成果， 既吸收了北方的天元术， 又吸收了南方的正负开方术、 各种日用算法及通俗歌诀， 在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的算学启 蒙 ，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹 何日而长等 如图， 是源于其思想的一个程序框图 若输入的, a b分别为3，1， 则输出的n （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8.函数 3 ( ) e

4、1 x x f x的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9.设函数 2 ( )lnf xaxbx (0,0)ab ，若函数 ( )f x的图象在 1x 处的切线与直线 20xye平行，则 11 ab 的最小值为（ ） A. 1 B. 1 2 C. 3 2 2 D. 3 2 2 10已知函数 f（x）sin（x+）（0，）的最小正周期为，且关于 中心对称，则下列结论正确的是（ ） Af（1）f（0）f（2） Bf（0）f（2）f（1） Cf（2）f（0）f（1） Df（2）f（1）f（0） 11.函数 2 sin4cos1f xxx的最小正周期是（ ） A. 3 B. 2 3 C. D.

5、2 12. 定义在R上的可导函数( )f x满足(2)( )22fxf xx，记( )f x的导函数为( )fx，当 1x时恒有( )1fx若( )(12 )31f mfmm，则m的取值范围是 A(, 1 B 1 (,1 3 C 1,) D 1 1, 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.函数则_ 14已知 x，y 满足 0 4 21. x xy xy ， ， 若2xy的最小值为_ 15.已知抛物线 2 2(0)ypx p与椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 有相同的焦点F，P是两曲 线的公共点，若 5 6 PFp，则此椭圆的离心率为_. 16、已知

6、正三棱锥，点 、 、 、 都在半径为球面上，若、两两相 互垂直，则球心到截面的距离为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检 n 件，并按质量指 标值进行统计分析，得到表格如表： 质量指标值 等级 频数 频率 60，75） 三等品 10 0.1 75，90） 二等品 30 b 90，105） 一等品 a 0.4 105，120） 特等品 20 0.2 合计 n 1 （1）

7、求 a，b，n； （2）从质量指标值在90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取 6 件，再从这 6 件中 随机抽取 2 件，求至少有 1 件特等品被抽到的概率 18 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 设 2 3 s i n () c o s 22 B AC . （）求sinB； （）若ABC的周长为 8，求ABC的面积的取值范围. 19(12 分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD 底面ABCD， PDDC，点E是PC的中点. （I）求证：/PA平面BDE； （II）若直线BD与平面PBC所成角为30，求二面角CPBD的大小. 20（12 分

8、）设函数( ) ln(1) ()f xxax aR. （I）讨论函数 f x的单调性； （II）当函数 f x有最大值且最大值大于3a时，求a的取值范围. 21 （12 分） 中心在原点的椭圆 E 的一个焦点与抛物线 2 :4C xy的焦点关于直线y x 对 称，且椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为2,0. （I）求椭圆 E 的标准方程； （II）过点0, 2的直线 l（直线的斜率 k 存在且不为 0）交 E 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P 点 A 关于 x 轴的对称点为 D， 直线 BD 交 x 轴于点 Q.试探究| |OPOQ是否为定值？请说 明理由. （二）选考题：共（二）选考题：

9、共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。 22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 2 1 2 xt yt （t为参数） ，以原点O 为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 2 2 4 1sin . （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设P（0，-1） ，直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求OPOQ. 23.已知函数( )2f xx （1）解不等式：( )4(1)f xf x （2） 若函数( )3,(4

10、)g xxx与函数( )2 (2)ymf xf x的图象恒有公共点， 求 实数m的取值范围 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 1、 【答案】C 【解析】算出集合, A B后可求BA. 【详解】(1)(4)01,4Ax xx ， 2 log20,4Bxx， 故0,4AB，故选 C. 2、 【答案】B 【解析】利用复数的除法运算求得 1 2 z ，问题得解. 【详解】由 2 (1)zii可得： 22 1 (1)1 22 ii z iii 所以 1 2 z 故选：B 3、 【答案】A 【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a、b、c与1和 1 2 的大小关系，从而可得

11、出实数a、b、c的大小关系. 【详解】由于指数函数3xy 是增函数，则 1 0 2 331a ； 对数函数 2 logyx是增函数，则 222 log2log3log 2，即 1 1 2 b； 对数函数 9 logyx是增函数，则 99 1 log 2log 3 2 c . 因此，abc. 故选：A. 4、 【答案】B 【解析】 ， ， ， 解得： ，故选 B. 5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解 解：x log321，xlog23， 4x 9， 故选：D 6、B 解：sinBsin（A+C）sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC2sinAcosC， cosAsi

12、nCsinAcosCsin（CA）0，即 CA0，CA， ac，即ABC 为等腰三角形 故选：B 7、 【答案】C 【解析】按流程图逐一执行即可. 【详解】输入的, a b分别为3，1时，依次执行程序框图可得： 19 33 22 a 2 12b ab不成立 1 12n 91927 2224 a 2 24b ab不成立 2 13n 2712781 4248 a 2 48b ab不成立 3 14n 81181243 82816 a 2 816b ab成立 输出4n故选：C 8、 【答案】D 【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象 【详解】当x0， g(4)= 4

13、 3e0，即f（x）0，函数f（x）是增函数， 当x（ 0 x，+） ，g(x)0，即f（x）0，函数f（x）是减函数， B不正确， 故选D 9、 【答案】D 【解析】由 2 ( )lnf xaxbx可得：( )2 a fxbx x ， 又函数 ( )f x的图象在 1x 处的切线与直线 20xye平行， 所以(1)21fab 所以 111111 12ab ababab 22 1 23232 2 baba abab 当且仅当 2 21,1 2 ab 时，等号成立 所以 11 ab 的最小值为3 2 2 故选： D 10 D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可

14、 解：函数的最小周期是 ，得 2， 则 f（x）sin（2x+）， f（x）关于中心对称， 2（）+k，kZ， 即 k+，kZ， ， 当 k0 时， 即 f（x）sin（2x+）， 则函数在，上递增，在，上递减， f（0）f（）， 12， f（）f（1）f（2）， 即 f（2）f（1）f（0）， 故选：D 11、 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将 f x化简为y= sinx+A（）的形式，再利用周 期函数求出其最小正周期，可得答案. 【详解】解： 2 sin2coscos2sin2coscoscos2f xxxxxxxx sin2 cossin cos2sin3xxxxx，可得

15、其最小正周期为 2 3 ， 故选 B. 12【答案】D 【解析】构造函数( )(12 )31f mfmm)21 ()21 ()(mmfmmf，所以构 造 函 数xxfxF)()( ，(2)( )22fxf xxxxfxxf)()2()2(， )()2(xFxF 所 以)(xF 的 对 称 轴 为1x，1)( )( xfxF 所 以 ， )(, 1xFxFx是 增 函 数 ； )(, 0,1-xFxFx 是 减 函 数 。 |1-2m-1 |1-m|，解得： 3 1 , 1-m 13【答案】1. 【解析】根据分段函数的解析式逐步代入求解可得结果 【详解】由题意得 故答案为：1 14、 【答案】5

16、 【解析】 式组表示的平面区域，再将目标函数zx+2y对应的直线进行平移，可得当x3 且y1 时，z取得最小值 【详解】作出不等式组 0 4 21 x xy xy 表示的平面区域， 其中 4 21 xy xy 解得A（3，1） 设zx+2y，将直线l：zx+2y进行平移， 观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值 z最小值3+25 故答案为：5 15、 【答案】 1 2 e 【解析】通过抛物线和椭圆性质得到 P 点坐标，将 P 点坐标代入椭圆得到答案. 【详解】设椭圆的左焦点为 1 F，由题意抛物线的准线方程为 1 ,0 ,0 , 2222 pppp xFFc ， 由抛物

17、线的定义知点 P 到准线的距离为 5 6 p ，可得点 P 的横坐标为 5 623 ppp ， 纵坐标为 6 3 p 则有 2 2 2 11 657 366 ppp PFPF ，所以 1 2| 2aPFPFp ， 则 1 2 2 p c e ap 故答案为 1 2 e 16、 【答案】 【详解】正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直， 此正三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为三条棱的正方体的外接球， 球的半径为， 正方体的边长为 2，即PAPBPC2 球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离 设P到截面ABC的距离为h， 则正三棱锥PABC的体积VSABChSPABPC2 2

18、2 ABC为边长为 2的正三角形，SABC（2） 2 h 球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为，故答案为 17、解：（1）由 100.1100，即 n100， a1000.440， b301000.3 6 分 （2）设从“特等品”产品中抽取 x 件，从“一等品”产品中抽取 y 件， 由分层抽样得：， 解得 x2，y4， 在抽取的 6 件中，有特等品 2 件，记为 A1，A2， 有一等品 4 件，记为 B1，B2，B3，B4， 则所有的抽样情况有 15 种，分别为： A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2

19、B3， B2B4，B3B4， 其中至少有 1 件特等品被抽到包含的基本事件有 9 种，分别为： A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4， 至少有 1 件特等品被抽到的概率为：p 12 分 18（1） 2 3 sin()cos 22 B ACQ且 sin()sinACB 2 33 sin2sincoscos 22222 BBB B， 又0 22 B Q， sin03sincos 222 BBB 33 tansin 232632 BB BB 6 分 （2）由题意知：8()bac 222 64 16()21 cos 222 acbacac B aca

20、c 364 16()6432acacac ， 332640(38)(8)0acacacac 8 3 ac或 8ac （舍） 64 9 ac 1316 3 sin 249 ABC SacBac （当a c 时 取“”） 综上，ABC的面积的取值范围为 16 3 0, 9 12 分 19、（1）连接AC交BD于O，连接OE， 由题意可知，,PEEC AOOC，/PAEO， 又PA在平面BED外，EO平面BED，所以/PA平面BED. 4 分 2以D为坐标原点，,DA DC DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 Dxyz ，设1PDCD，ADa，则( ,0,0)A a，( ,1,0

21、)(0,1,0)B aC，1(0)0,P ， ( ,1,0)DBa，( ,)1, 1PBa，0,1, 1PC ， 设平面PBC的法向量(, )nxy z， 由 0 0 PBn PC n ，得 0 0 axyz yz ，取(0,1,1)n ， 又由直线BD与平面PBC所成的角为30， 8 分 得 2 11 cos, 2 12 DB n DB n DB na ，解得1a ， 同理可得平面PBD的法向量1,)0(1,m ， 由向量的夹角公式，可得 11 cos, 222 n m n m n m ， 又因为二面角CPBD为锐二面角，所以二面角CPBD的大小为60. 12 分 20（1）函数( ) ln

22、(1) ()f xxax aR 的定义域为0,， 11 (1) (1) ax fxa xx . 当10a ，即1a 时， 0fx ，函数 f x在0,上单调递增. 当10a 时，令 0fx ，解得 1 1 x a ，当 1 0 1 x a 时， 0fx ，函数单调 递增， 当 1 1 x a 时， 0fx ，函数单调递减. 综上所述： 当1a 时，函数 f x在0,上单调递增， 当1a 时，函数 f x在 1 0, 1a 上单调递增，在 1 , 1a 上单调递减 .6 分 （2）由（1）知，当函数 f x有最大值时，1a ， 且最大值 max 11 ( )ln1 11 f xf aa ， 此时

23、 1 ln13 1 a a ， 即ln(1)20aa.令( )ln(1)2,1g aaaa. 1 10 1 ga a 故 g a在 1,上单调递增，且 20g 0g a 等价于 2g ag，12a， 故 a 的取值范围为1,2. 12 分 21（1）因为椭圆 E 的一个焦点与抛物线 2 :4C xy的焦点关于直线y x 对称， 所以椭圆 E 的右焦点为1,0（），所以1c. 又椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为2,0（），所以2a，又 222 3bac， 所以椭圆 E 的标准方程为 22 1 43 xy . 4 分 （2）设直线 l 的方程为2ykx，0k ，则点 2 ,0P k ，设 112

24、2 ,A x yB x y 则点 11 ,D xy ，联立直线 l 与椭圆 E 的方程有 22 1 43 2 xy ykx ， 得 22 341640kxkx ，所以有 2 48 410k ，即 2 1 4 k 且 12 2 12 2 16 34 4 34 k xx k x x k ，即直线 BD 的方程为 11 2121 yyxx yyxx 令0y ，得点 Q 的横坐标为 1212 1221 1212 22 4 Q kx xxxx yx y x yyk xx ， 代入得： 22 83224 2 12164 34 Q kkk xk kk ， 所以 2 | |24 PQ OPOQxxk k ，所

25、以| |OPOQ为定值 4. 12 分 22、 【答案】 （1）1yx， 22 1 42 xy ； （2） 2 2 3 【解析】 （1）直线l的参数方程为 2 2 2 1. 2 xt yt （t为参数） 消去参数t可得直线l的 普通方程为1yx 由 2 2 4 1sin ，得 222 sin4，则有 222 4xyy，即 22 24xy， 则曲线C的直角坐标方程为 22 1 42 xy （2）将l的参数方程代入 22 24xy，得 2 3 2 220 2 tt，设两根为 1 t， 2 t 则 1 t， 2 t为M，N对应的参数，且 12 4 2 3 tt 所以，线段MN的中点为Q对应的参数为

26、12 2 2 23 tt ， 所以， 2 2 3 OPOQPQ 23、 【答案】 （1） 17 | 22 xx； （2）3,. 【解析】(1)由( )4(1)f xf x得241xx，即：214xx 等价于 234 2 x x 或 14 12x 或 324 1 x x 解得 7 2 2 x或12x或 1 1 2 x，即 17 22 x， 所以原不等式的解集为 17 | 22 xx （2）因为函数( )3g xx在4,单调递增，所以 min ( )(4)1g xg， 因为 310,2 ( )2 (2)6,24 310,4 xmx ymf xf xxmx xmx ， 在4x处，y取得最大值2m， 要使函数( )3,(4)g xxx与函数( )2 (2)ymf xf x的图象恒有公共点，则须 2 1m ， 即3m，故实数m的取值范围是3,