量子力学的表述形式课件.ppt

1、第三章 量子力学的表述形式前面两章分别讨论了量子力学关于系统状态的假定，关于力学量的假定和关于运动方程的假定。除关于多粒子系统的全同性原理留到下一章讨论外，已基本学完了量子力学的原理。任何一种运动形态的规律都有不同的表述形式。量子力学的表述形式也是多样的。在这一章，我们将建立希尔伯特空间的概念，并讨论由于希尔伯特空间中基底选择的不同，使量子力学原理有不同的表象。以及由于对时间演化的处理方法不同，使量子力学有不同的绘景。量子力学理论也会由于所采用的量子化方案不同而有不同的形式。本教程主要采用正则量子化方案，即通过引入对易关系使力学量由c数变成q数(算符)而实现量子化，见5.3.2。1948年费曼

2、提出了另一种量子化方案，即路径积分量子化，它在现代量子理论中有广泛的应用。在第六章中将对路径积分量子化作简单介绍。3.1 希尔伯特空间 狄拉克符号这正是傅立叶变换和反变换的公式。这两个公式表明，由(x,t)唯一决定了c(p,t)；由c(p,t)也唯一决定了(x,t)。(一)几个不同表象的例子我们先通过一个简单例子说明，量子力学理论能够有不同的表述形式。在5.2.2中讨论了用算符 F 的本征函数系展开任意函数(r,t)的问题，如那一节的(2.61)(2.62)式。为了具体起见，令 F 为动量 p，并且只考虑一维情况。上述两个式子成为)1.1()(),(),(dpxtpctxp(1.2),()()

3、,(dxtxxtpcppxipex)/(21)(3.1.1 希尔伯特空间 c(p,t)称为(x,t)的傅立叶变换(象函数)，(x,t)称为c(p,t)的傅立叶变换(原函数)。)3.1(),(21),()/(dpetpctxpxi(1.4),(21),()/(dxetxtpcpxi 归一化的本征函数因此，完全可以用c(p,t)代替(x,t)作为描述量子态的态函数。由于c(p,t)以p为变量，所以称为动量表象的态函数。相应地称(x,t)为坐标表象的态函数。在动量表象中和在坐标表象中一样，可以解决量子力学的问题。【例1】粒子在均匀力场U(x)=-Fx中运动，求定态波函数。这是一个二阶变系数常微分方程

4、，可以用级数解法求解我们用傅里叶变换法，令(1.6)(21)()(21)(dpexpcdpepcxxpixpixx(1.5)()()(2222xExFxdxxd)(21 )(2)/(2222dpepcpdxddpepcpidxdxpixpixx)(21)()(2)/(dpedppdcxxidxexxidpdcpxipxi解解:定态方程是将这几个式子和(1.6)式一道，代入方程(1.5)式。由于函数系exp(i/h)px的正交完备性，被积函数应相等，得到这就是能量为E的定态在动量表象中的态函数。这是c(p)的一阶微分方程，可以直接积分，得到(1.8)6(exp)(2EppFiApc(1.7)()

5、()(22pEcdppdcFipcp 由于在解方程时能量E未受到限制，所以能谱连续。动量的几率分布|cE(p)|2=|A|2是常数，说明动量以均匀的几率分布。用积分形式写出的坐标表象波函数，位置几率密度是|(x)|2(1.9)(6exp21)(2dppFxEpFix坐标的几率分布可以通过将(1.8)式代入(1.6)的第一式而得到我们看到，量子力学的状态既可以用坐标作为变量来描述(坐标表象)，也可以用动量作为变量来描述(动量表象)；更一般地，也应该可以用其它力学量，例如F作为变量来描述。为了具体起见，假定F有分立谱，如5.2.2(2.57),(2.58)式。为了书写简单，仍然只考虑一维，其中，i

6、(x)是力学量F的本征函数，(1.10)()(),(xtctxiii(1.11),2,1 ),()()(*idxtxxtcii ,2,1 )()(ixfxFiii(x,t)能用i(x)展开成(1.10)式:本征函数系i(x)的完备性展开系数ci(t)能写成(1.11)式:本征函数系i(x)的正交归一性。由(1.10),(1.11)式可见，(x,t)和ci(t)相互单值决定只要给定(x,t)就知道了ci(t),i=1,2,；而只要给定ci(t),i=1,2,也就知道了(x,t)。因此，完全可以用ci(t)(i=1,2,)来代替(x,t)作为描述系统状态的态函数。这样的描述方式称为F表象表象。(二

7、)希尔伯特空间量子力学理论既可以用坐标作自变量表述，也可以用动量作自变量表述；更一般地说，可以用任一力学量完全组作自变量表述(上例是一维运动，只要一个变量x或p或F就形成自变量完全组)。这许多不同表述，相互之间完全等效。问题：问题：为什么同一理论有这么多不同表述方式呢?这些不同表述所反映的共同本质是什么呢?为了有助于回答这一问题，回忆一下三维空间中的经典力学经典力学的运动状态既可以在坐标系K中用x(t),y(t),z(t)描述；也可以在坐标系K中用x(t),y(t),z(t)描述。为什么同一个力学系统的运动状态可以用不同方式描述呢？其原因是：在这许多不同描述方式的背后有一个共同的客观物理对象质

8、点的位置矢量r(t)。力学运动状态的不同描述方式是位置矢量用不同坐标基矢展力学运动状态的不同描述方式是位置矢量用不同坐标基矢展开的不同分量形式。开的不同分量形式。与此类似，可以预期，量子力学的运动状态之所以有不同描述方式(不同表象)的原因，是这许多不同描述方式背后有一个共同的客观物理对象状态矢量；量子力学运动状态的不同描述方式是状态矢量用不同基矢展开的不同分量形式在5.2.2中讨论厄米算符本征函数的正交性时曾经指出，本征函数，或者更一般地说任意状态的波函数，可以看成是一个无穷维复矢量空间中的矢量状态矢量。这一复矢量空间是通常的三维矢量空间的推广讨论厄米算符的本征函数形成正交完备函数系时，还曾经

9、将它和转动惯量的惯量主轴形成三维空间的正交坐标系相对比(1.13)01*2Niiiaaaaa厄米算符可以看成是矢量空间中的对称矩阵的推广。转动惯量的主轴可以作为三维空间中的正交坐标系来展开任意矢量厄米算符的本征函数系，是一个正交完备函数系，也可以用来作为坐标基矢来展开任意状态矢量。这一推广过程有以下几步：在实N维矢量空间中，矢量的分量只能取实数值，推广成复N维矢量空间，矢量的分量可以取复数值。此时，在矢量点积的定义中，左边一个矢量的分量应取复共轭。这样才能保证任意矢量a和它自身的点积恒正，即矢量模的平方按照这样的定义，两个不同矢量按相反次序的点积，即：并不相等，而是相互复共轭：iiiiiiab

10、abbaba *和(1.14)*)(abba将空间维数N由有限推广到无穷。当N有限时，矢量模的平方(1.13)式取有限值；当N时，(1.13)式右方成为无穷积数，可能发散。因此，对于这种无穷维空间的矢量应加上模有限的条件：(1.15)1*收敛iiiaa空间维数的标号由取分立值的 i 推广成取连续值的 x，aif(x)。并将ai所应满足的条件(1.15)式推广成为加在f(x)上的条件在5.1.2的末尾曾指出：“无限运动”的波函数不满足(1.16)式。然而，真正的无限运动并不存在。所谓“无限运动”只不过是运动范围达到了宏观的尺度。所以，对(1.16)式的违反实际上只是形式的这相当于要求(x)能按5

11、.1.2(2.12)式归一化将三维空间中的对称矩阵()推广到无穷维空间，成为厄米算符AA*FF(1.16)()(*收敛dxxx三维空间中的对称矩阵(例如由转动惯量张量的分量组成的矩阵)有三个正交的主轴。这三个主轴方向的单位矢量称为对称矩阵的本征矢量，由它们组成的坐标系可以展开三维空间中的任意矢量。这表明，对称矩阵的本征矢量形成三维空间中的完备矢量组。由此推广，就要求厄米算符的本征函数满足形成完备函数系，用它可以展开任意函数，iiiifF的(1.17)(x)(1iiicx即：展开式右边的函数项无穷级数收敛到(x)。按照以上方式得到的模有限的无穷维复线性空间称为希希尔伯特空间尔伯特空间。量子力学理

12、论是建立在希尔伯特空间的基础上量子系统的状态由希尔伯特空间中的矢量描述，而力学量由希尔伯特空间中的厄米算符描述。三维空间中的矢量a在不同坐标系中有不同的分量形式，而各不同的分量形式代表同一个客观对象，因而都可以等效地用来作计算。与此类似，希尔伯特空间中的状态矢量也可以用不同的“坐标系”展开成(x),c(p)，。这就是量子力学理论能够有不同表象的本质原因。在三维空间里对矢量进行具体计算，总是要选定坐标系，用这一坐标系中的分量形式运算；然而在推导公式和理解公式的物理意义时，采用抽象的矢量形式更为方便。与此类似，将量子力学理论用希尔伯特空间中的抽象矢量形式表述出来，也能使表述更简练，意义更清楚。有了

13、这种抽象的表述，在进行实际计算时，可以根据不同问题的需要进入不同的表象。在以下几节里，我们就来给出量子力学理论的这种抽象表述，并说明从这种抽象表述进入具体表象的方法。3.1.2 态矢量这一节在希尔伯特空间里给出量子力学原理的表述。态矢量满足叠加原理：如果|a,|b是两个态矢量，则|c=|a+|b (2.1)也是一个态矢量，其中，是两个任意复数。(一)态矢量状态用希尔伯特空间的矢量描述，称为态矢量。希尔伯特空间的矢量，可以用狄拉克所创立的符号表示。这种符号是一个尖角指向右边的括号，并将标志不同状态的参量写在括号内。例如，状态a 的态矢量记为|a物理量F的第 i个本征态矢量记为|i，等等。通常称这

14、种矢量为狄拉克右矢，简称为右矢。(ket)态矢量的加法满足交换律和结合律：|a+|b=|b+|a,(2.2)|a+(|b+|c)=(|a+|b)+|c.(2.3)数和态矢量的乘法也满足结合律：(|a)=()|a (2.4)(1|a1+2|a2|+n|an)=0 (2.5)如果n个矢量，|a1,|a2,，|an存在以下关系：其中1，2，n不全为零，则称这n个矢量线性线性相关相关。如果找不到n个 不全为零的数使(2.5)式成立，则称这n个矢量线性独立线性独立。特别是，如果|a=|b,0，则称|a和|b线性相关，否则就称|a和|b线性独立。(二)态矢量的点积和每一个右矢对应有一个左矢(bra)，用尖

15、角指向左边的括号表示，如a|,i|。右矢和左矢相互共轭：(2.6)aaaa这里的“共轭”是希尔伯特空间里一种抽象意义下的共轭，它的具体含义要在定义了矢量点积以后才明了。状态a的态矢量可以等效地用右矢|a或左矢a|表示。两个状态a 和b的态矢的点积是一个复数，记为：a|b 是一个复数。(2.7)状态a,b 的态矢的点积是取a的左矢形式和b的右矢形式相乘。(2.8)(ababba两个矢量点积的共轭，等于它们各自的共轭按相反的次序取点积：由于a|b是一个普通的 复数，所以它的共轭就是复共轭，因此，a|b*=b|a.(2.9)这和5.4.1(1.14)式一致。态矢的点积必须是左矢形式和右矢形式相乘，而

16、不能用右矢和右矢或者左矢和左矢相乘，即不能写|a|b或a|b|。形象化地说，点积一定要两头尖，形成完整的括号(bracket)，如(2.7)式。3.1.3希尔伯特空间中的算符由于右矢本身是抽象矢量，所以算符F 不能写成具体形式，而只能用右矢之间的对应关系(2.10)式来定义。希尔伯特空间中的算符F是一种对应规则，它把希尔伯特空间的任意矢量对应成另一矢量：F|a=|c (2.10)希尔伯特空间的抽象算符，简单地用大写字母表示，而不在上面加尖角，以区别于具体表象(例如x表象)中的算符。如果算符F满足以下条件(F(|a+|b)=F|a+F|b,(2.11)则称F为线性算符线性算符。前面已经定义了复数

17、和矢量|b的乘积|b，从这个意义上可以把复数也看成一个线性算符。按定义，a|b=a|b (2.12)(2.13)FaFaaF线性算符 F 的厄米共轭算符定义为(2.13)式和(2.8)式一样，都是根据一条普遍的规则：两个对象(矢量和矢量，或算符和矢量，或算符和算符)相乘的厄米共轭等于它们各自的厄米共轭按相反次序相乘。(2.14)*aFbaFbbFabFa对于算符和态矢，“相乘”是指算符对态矢的作用。利用它还可以写：显然有：(F+)+=F.(2.15)如果线性算符F和它自身厄米共轭F+=F，(2.16)则称F为厄米自共轭算符，简称厄米算符。线性算符的一个例子是右矢和左矢的并矢：。为了看到它的确是

18、一个算符，将它作用到任意矢量|c上 ba cbacba(2.17)*aFbbFa算符厄米性的条件狄拉克矢量的连乘满足结合律：cbacba dcbacba但是，b|c是一个数b|c=，而乘矢量|a得另一矢量|d，因而有：ba ba这就表明 是一个算符。矢量|a和|b有两种乘积：两头尖两头尖a|b是点积点积，得到一个数数；两头平两头平 是并矢并矢，得到一个算符算符厄米算符的本征值与本征矢(2.18)fffFifiFi算符F的本征值方程是f i或f 称为算符F的本征值，|i 或|f 称为和本征值f i或f 对应的本征矢。关于厄米算符的本征值和本征矢有以下定理。证明时假定本征值谱分立。在连续谱情况下，

19、证明是类似的定理一 厄米算符的本征值是实数。证:设F+=F，F|i=f i|i。用本征矢 i|点乘上式，得到i|F|i=i|f i|i=f ii|i按(2.9)式取上式的共轭，得到i|F|i*=(f ii|i)*=f i*i|i再利用(2.17)式知上两式左边相等，因而f i*=f i，f i为实数。【证毕】定理二厄米算符对应于不同本征值的本征矢相互正交。证:设 F+=F，F|i=f i|i，F|j=f j|j用本征矢j|和i|分别点乘以上二式：j|F|i=f ij|i,i|F|j=f ji|j.取前一式的共轭，并利用厄米条件(2.17)式，得到 i|F|j=j|F|i*=f i*j|i*=f

20、 ii|j这里用了定理一，f i*=f i。和以上第二式相减得到(f I f j)i|j=0按假设f if j，故i|j=0证毕如果和厄米算符 F 的某一个本征值 f I 相对应，有一个以上的线性独立本征矢：|ia，|ib,，则称本征值f I 有简简并并。定理三如果|ia，|ib是对应于厄米算符F的本征值f i的线性独立本征矢，则它们的线性叠加|ia+|ib也是对应于同一本征值的本征矢，即：设 F|ia=f i|ia,F|ib=f i|ib,则 F(|ia+|ib)=f i(|ia+|ib).(2.20)证:按(2.11)式 F(|ia+|ib)=F|ia+F|ib =f i|ia+f i|i

21、b =f i(|ia+|ib)【证毕】由此可见，如果本征值f i 有简并，则和这一本征值对应有无穷多本征矢。这些本征矢形成希尔伯特空间的一个线性矢量子空间。用 s 表示这一线性空间中独立矢量的最大数目(即这一线性空间的维数)，则称本征值f i 有 s 重简并。为了对这一论断增加形象的理解，回忆转动惯量张量有两个主值相等的情况。此时，惯性椭球成为旋转椭球，在这两个相等主值对应的两个主轴所在平面上的截面是一个圆。这一平面上的任意矢量，都是对应同一主值的惯量主轴。这种矢量有无穷多个，它们形成一个二维线性空间(平面)。厄米算符 F 对应于不同本征值的本征矢相互正交。当本征值有 s 重简并时，和它对应的

22、本征矢不一定正交，但是可以按定理三从这些本征矢所形成的线性空间中选出 s 个正交矢量.这样做了以后，就得到了F 的一个正交完备矢量组用i 给这一矢量组中的矢量重新编号，成为|i，i=1，2，.(2.21)这一组矢量满足正交归 一化条件：i|j=ij(2.22)i|j=ij(2.22)同时，它们又具有完备性，即：希尔伯特空间的任意矢量|a可以用矢量组(2.21)展开：(2.23)1iaaii(2.24)ij11aiaaajiaaiiijjjj此时，右边的矢量项无穷级数收敛到矢量|a,为了求(2.23)式中的展开系数a i，可以先将此式右边的哑标i 改写为j，然后用i|点乘等式两边：(2.25)1

23、1iiiaiiaia如果矢量组(2.21)式是完备的，则展开式(2.23)成立。将(2.24)式代入(2.23)式，得到 以上假定F的本征值有分立谱，对于连续谱情况，定理一至定理三仍然成立，只是(2.22)(2.26)式改动如下：(2.25)11iiiaiiaia由此可见，是恒等算符，它作用在任意矢量上仍得到这一矢量本身。(2.26)式就是矢量组(2.21)的完备性条件。(2.26)11iii(2.27)(ffff正交归一条件：(2.28)1dfff完备性条件：(2.29)dffaaf矢量展开式：(2.30)afaf展开式系数：(五)力学量用厄米算符表示力学量用希尔伯特空间中的线性厄米算符表示

24、。具体含义如下：(2.31)1aiaiaaiii力学量F 所能取的值是它的算符的本征值。考虑用矢量|a描述的状态，将|a用 F 的本征矢量组展开，如(2.23)(2.24)式(2.32)22aiawii则在状态|a中，物理量 F 取值 f I 的几率是关于力学量同时有确定值的条件5.2.3定理一和定理二，以及5.2.3中定义的力学量完全组，也可以用希尔伯特空间中的抽象矢量和抽象算符表述出来。(六)运动方程(2.33),tHtdtdi态矢量随时间的演化由希尔伯特空间的一个线性厄米算符H决定：H称为哈米顿算符。在|,t 中只有一个变量 t，因而对t的求导是全导数，而不是偏导数。5.4.3 表象和表

25、象变换厄米算符 F 本征值方程 F|i=f i|i 或 F|f=f|f 在上一节里，我们用希尔伯特空间中的抽象矢量和抽象算符表述了量子力学的基本原理。在进行具体计算时，常常需要选用具体的“坐标系”，即进入具体的表象(一)态矢量在F 表象中的分量形式正如三维空间中的对称矩阵(例如转动惯量张量)的三个本征矢量可以作为三维空间中的坐标系的基矢一样，希尔伯特空间中的厄米算符的本征矢量组也可以作为希尔伯特空间中的“坐标系”的基矢。表象基矢|i，i=1,2,;或|f，f-,1dffaaiaafii或展开任意矢量afaaiafi 或矢量分量分量ai=i|a(i=1,2,)或af=f|a(-f J的态，故 J

26、+|,J=0.)13.6(0,)(,22JJJJJJJzz将J-作用于上式，并利用(6.5)式得到0,)(,)(2222JJJJJJJzz代入(6.13)式得2)1(JJ而按假设|,J0,故-J2-J=0，=J(J+1)，即，J 2 的本征值为 。J 是J 2的量子数，相应的本征矢|J,m。确定 J 应取什么值。由m 的取值序列(6.11)式：J,J-1,J-2,-J，知J=-J+N，故 J=N/2,N=0，1,2,。2)1(JJ于是得到 J 2 的本征值=J=0,1/2,1,3/2,.(6.14)即J 可取的值为整数，半整数或零。以上从角动量的对易关系出发，得到了角动量的本征值。在 J=0和

27、正整数的情况下和在坐标表象中解L=rp 的本征值方程得到的结果一致然而这里多出了J 取半整数的可能性。这一情况表明，微观粒子除了轨道角动量 L=r p 以外还有另一种角动量，称为自旋角动量。【例1】求球对称空间转子的能级。)2/(2IJH解:绕固定轴转动的“平面转子”的能级已在5.3.1例3中求得。现在讨论的是绕任意轴转动的空间转子。为了简单，只考虑球对称转子，即转动惯量的三个主值都相等的情况。用I 表示转动惯量的主值。哈米顿量为2)1(JJ由于不存在自旋的贡献，因而J 2 的本征值的量子数 J只取零和正整数值。将它写为 L，,2,1,0 ),2/()1(2LILLE得到能级能级简并度是2L+

28、1。和这2L+1个简并度对应的量子数 m=-L,-L+1,L。(二)角动量的矩阵元(6.16),(6.15)1(,22mmzmmmmJJmJJJmJJmJ(6.18)1,(6.17)1,1,1,mmmmcmJmJcmJJmJcmJmJcmJJmJ它们分别等于c 和 c由于J 2 和 Jx,Jy,Jz 以及J 均可对易，可以固定J 2 的本征值量子数为 J。这一本征值(除J=0外)是简并的力学量在自身表象中是对角矩阵，选用J 2 和Jz的共同表象，则J 2 和 Jz 的矩阵可以由其本征值给出：由(6.10)、(6.11)式，在此表象中，J+和J-的矩阵元由下式决定即知非零矩阵元是 J,m+1|J

29、+|J,m和J,m-1|J-|J,m(6.19)1)(,1,mJmJmJJmJ221,1,cmJmJcmJJJmJ为了确定c，取(6.10)式的共轭和它自身相乘，并利用(6.3)式求得 J+的非零矩阵元(6.20)1)(1,mJmJmJJmJ222222)1)(1)1(,)(,mJmJmmJJmJJJJmJmJJJmJczz利用(6.5)式，可进一步得到)1)(mJmJc适当选择位相因子，可以使c 为实数：故J-的非零矩阵元(6.15)、(6.16)、(6.21)、(6.22)式就是角动量算符在J 2 和Jz 共同表象中的矩阵表示。(6.21)1)()2/(,1,1,mJmJmJJmJmJJm

30、Jxx(6.22)1)()2/(,1,1,mJmJimJJmJmJJmJyy代入(6.2)式，可求得Jx 和Jy的矩阵元为(三)整数角动量(6.23),yxzxzyzyxLiLLLiLLLiLL(6.25)(cos)!(4/)12()!(),(,ePmllmlYmlrmlrimmllm角动量的量子数 J 可以取整数值(包括0)或半整数值。由L=rp 定义的轨道角动量是整数角动量。作为角动量，满足(6.1)式型的对易关系(6.24),2,1,0 ,)1(2 lllL 2 的量子数 l只能取整数值或零而不能为半整数，本征值为对于轨道角动量，常用的是坐标表象。5.2.2例3已在坐标表象中讨论过轨道角

31、动量，得到它的本征函数(球函数)采用L 2,Lz的共同表象，则L 成为矩阵，其矩阵元 )1)()2/(,1,1,mlmlmlLmlmlLmlxx )1)()2/(,1,1,mlmlimlLmlmlLmlyy【例1】写出 l=1时 L 的三个笛卡尔分量在L2,Lz表象中的矩阵(6.26),100000001 ,000002 ,0101010102zyxLiiiiLL【例2】将 l=1 时角动量在坐标表象中的本征函数(球函数)用矢径 r 的笛卡尔分量x,y,z表出)(6.27 83 sin83),(1,11,1a riyxeYri)(6.27 43 cos43),(0,10,1b rzYr解解:由

32、(6.16)、(6.21)、(6.22)式得解:根据(6.25)式和附录(.33)式有由矢径的分量组成的函数(xiy)/r,z/r可以作为波函数描述角动量为 l=1的状态。(四)电子的自旋角动量 泡利矩阵(6.28),yxzxzyzyxsisssisssiss很多实验表明，电子和其它一些粒子具有固有的角动量，称为自旋角动量，或简称为自旋。自旋是一种纯量子效应，没有经典对应。用 s 表示自旋算符，sx，sy，sz为它的三个分量。作为一种角动量算符，它们满足对易关系：2/zs实验证明，电子的自旋角动量在任何方向的投影都只取两个值，按(6.12)式，这两个值之间相差，因而,0zs电子的自旋角动量量子

33、数 s=1/2。另一些粒子，如介子，的自旋角动量在任意方向的投影可以取三个值 。这种粒子的自旋角动量量子数 s=1。自旋没有经典对应，不可能用坐标和动量的算符把它表示出来 可以在s 2 和 sz 的共同表象里，得到它的矩阵表示。)29.6()2/()2/()2/(,zzyyxxsss电子的自旋 s=1/2，按(6.16)、(6.21)、(6.22)式可以求得电子的自旋角动量在s 2 和 sz表象中的矩阵为(6.30),1001 ,00 ,0110zyxii其中称为泡利矩阵电子的自旋角动量的大小是固定不变的，s=1/2，它在任一方向都有(2s+1)=2 个投影，即两个指向自旋指向不同，电子的自旋

34、状态也不同。描述电子自旋状态的态函数在sz 表象中写出是二行一列矩阵，称为自旋波函数，又称为旋量。由 sz 矩阵，它有两个本征值，相应的本征波函数是：2/zs (6.31),10 ,012/12/1 (6.32)1 ,222/12/1cccccc一般的自旋波函数(旋量)是它们的叠加：2/zs2/zs它描述 的几率为|c+|2，的几率为|c-|2的状态相对于自旋角动量，将 L=rp 称为轨道角动量；相对于自旋波函数，将以 r 为自变量的波函数称为轨道波函数将由轨道波函数描述的运动称为轨道运动。这只是一种习惯上用的词，并不意味着电子真的沿轨道运动。考虑到电子有自旋，描述电子运动的力学量就包含4个，

35、其中3个是“轨道”变量，例如x,y,z，或r,；另一个是自旋变量 sz。s2 有唯一确定值，不是变量(6.35),100000001 ,000002 ,0101010102zyxsiiiiss常用表示sz 的量子数。电子的任意波函数可写成(x,y,z,)或(r,)(6.33)变量x,y,z(或 r,)取连续值，变量取两个分立值:1/2一般情况下，电子的自旋和轨道运动的耦合很弱，此时可以把电子的总波函数写成轨道波函数和自旋波函数的乘积。=(x,y,z)()或 (r,)()，(6.34)其中()如(6.32)式。介子的自旋 s=1它的自旋算符在s2,sz。共同表象中是33矩阵，如(6.26)式电子

36、的自旋算符和自旋波函数电子的自旋算符和自旋波函数返回返回（一）自旋算符（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数（二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli Pauli 矩阵矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度（四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数（五）自旋波函数 （六）力学量平均值（六）力学量平均值自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别通常的力学量都可以表通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数示为坐标和动量的函数),(prFF 而自旋角动量则与电子的坐标和

37、动量无关，它是电子内部状态而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。与其他力学量一样，自旋角动量与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为也是用一个算符描写，记为S自旋角动量自旋角动量 轨道角动量轨道角动量 异同点异同点与坐标、动量无关与坐标、动量无关pr 不适用不适用同是角动量同是角动量满足同样的角动量对易关系满足同样的角动量对易关系（一）自旋算符（一）自旋算符yxzyxzxzyxzyzyxzyxSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSL,

38、自自旋旋角角动动量量轨轨道道角角动动量量由于由于自旋角动量自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取在空间任意方向上的投影只能取 /2/2 两个值两个值所以所以zyxSSS的本征值都是的本征值都是/2/2，其平方为，其平方为 /2/22 22S算符的本征值是算符的本征值是2432222zyxSSSS仿照仿照22)1(llL2124322)1(sssS自旋量子数自旋量子数 s s 只有一个数值只有一个数值因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x,y,z)(x,y,z)三个坐三个坐标变量外，还需要一个自旋变量标变量外，还需要一个自旋

39、变量 (S(SZ Z），于是电子的含自旋的波函数需写为：），于是电子的含自旋的波函数需写为：),(tSzyxz 由于由于 S SZ Z 只取只取 /2/2 两个值，两个值，所以上式可写为两个分量：所以上式可写为两个分量：),(),(),(),(2221tzyxtrtzyxtr 写成列矩阵写成列矩阵 ),(),(21trtr 规定列矩阵规定列矩阵 第一行对应于第一行对应于S Sz z=/2/2，第二行对应于第二行对应于S Sz z=-=-/2/2。若已知电子处于若已知电子处于S Sz z=/2/2或或S Sz z=-=-/2/2的的自旋态，则波函数可分别写为：自旋态，则波函数可分别写为：),(0

40、0),(212121trtr （二）含自旋的状态波函数（二）含自旋的状态波函数（1 1）SZ的矩阵形式的矩阵形式电子自旋算符（如电子自旋算符（如S SZ Z）是作用与电子自旋）是作用与电子自旋波函数上的，既然电子波函数表示成了波函数上的，既然电子波函数表示成了2 21 1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的矩的列矩阵，那末，电子自旋算符的矩阵表示应该是阵表示应该是 2 22 2 矩阵。矩阵。dcbaSz2因为因为1/2 1/2 描写的态，描写的态，S SZ Z有确定值有确定值 /2/2，所以，所以1/2 1/2 是是 S SZ Z 的本征态，本征值为的本征态，本征值为 /2/2，即有：即有：212

41、12 zS矩阵形式矩阵形式 0),(20),(211trtrdcba 0111 ca 01ca同理对同理对1/2 处理，有处理，有 ),(02),(0222trtrdcba 2220 db 10db最后得最后得 S SZ Z 的的矩阵形式矩阵形式 10012zSS SZ Z 是对角矩阵，对角矩阵是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值元是其本征值/2/2。（三）自旋算符的矩阵表示与（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli Pauli 矩阵矩阵（2 2）Pauli Pauli 算符算符1.Pauli 算符的引进算符的引进 2 S令令 zzyyxxSSS 222分量分量形式形式 2iSiSS 对对易易关关系

42、系：因为因为S Sx x,S,Sy y,S,Sz z的本征值都是的本征值都是/2/2，所以所以x x,y y,z z的本征值都是的本征值都是1 1；x x2 2,y y2 2,Z Z2 2 的本征值都是的本征值都是 。即：即：1222zyx yzxxzxyzzyzxyyxiii 222分分量量形形式式：2.2.反对易关系反对易关系基于基于的对易关系，可以证明的对易关系，可以证明 各分量之间满足反对易关系各分量之间满足反对易关系:000zxxzyzzyxyyx 证：证：我们从对易关系我们从对易关系:xyzzyi2出发出发左乘左乘y yxyyzyzyyi 2 xyyzyzyi 22 xyyzyzi

43、 2 右乘右乘y yyxyzyzyi 22 yxzyzyi 2 二式相加二式相加0 xyyx 同理可证同理可证:x,y 分量的反对易分量的反对易关系亦成立关系亦成立.证毕证毕 xyyx 或或由对易关系和反对易关系还由对易关系和反对易关系还可以得到关于可以得到关于 Pauli Pauli 算符算符的如下非常有用性质：的如下非常有用性质：yzxxzxyzzyzxyyxiii y2=13.Pauli3.Pauli算符的矩阵形式算符的矩阵形式根据定义根据定义 1001100122zzzS 求求 Pauli 算符的算符的 其他两个分量其他两个分量令令 dcbax 利用反对易利用反对易关系关系zxxz 1

44、0011001dcbadcba得得：dcbadcba 00daX 简化为：简化为：00cbx 0000*2ccccx 22|00|ccI1|2 c令：令：c=expi c=expi(为实），则为实），则 00 iixee由力学由力学量算符量算符厄密性厄密性 000000*cbbccbxx 得：得：b=c*(或或c=b*)00*ccx x2=I求求y 的矩阵形式的矩阵形式出出发发由由xzyxzyii 001001 iiyeei得得：00)()(iiee这里有一个相位不定性，习惯上取这里有一个相位不定性，习惯上取=0=0，于是得到于是得到 Pauli Pauli 算符的矩阵形式为：算符的矩阵形式为

45、：1001000110zyxii 从自旋算符与从自旋算符与 Pauli Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：1001200201102zyxSiiSS写成矩阵形式写成矩阵形式（1 1）归一化）归一化电 子 波 函电 子 波 函数表示成数表示成 ),(),(21trtr 矩阵形矩阵形式后，式后，波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即 dtrtrd ),(),(21*2*11|2221 d（2 2）几率密度）几率密度 ),(tr 2221|),(),(21trtr 表示表示 t

46、 t 时刻在时刻在 r r 点附近点附近 单位体积内找到电子的几率单位体积内找到电子的几率表示表示 t t 时刻时刻 r r 点处点处 单位体积内找到自旋单位体积内找到自旋 S Sz z=/2/2的电子的几率的电子的几率表示表示 t t 时刻时刻 r r 点处单位点处单位 体积内找到体积内找到 自旋自旋 S Sz z=/2/2 的电子的几率的电子的几率 dtr),(1 在全空间找在全空间找到到Sz=/2的的电子的几率电子的几率 dtr),(2 在全空间找到在全空间找到 Sz=/2 的电子的几率的电子的几率（四）含自旋波函数的归一化和几率密度（四）含自旋波函数的归一化和几率密度波函数波函数 21

47、 这是因为，通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对这是因为，通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，则轨道运动有影响。但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，则1 1,2 2 对对 (x,y,z)(x,y,z)的依赖一样，即函数形式是相同的。此时的依赖一样，即函数形式是相同的。此时可以写成如下形式：可以写成如下形式：波函数。波函数。的本征函数，称为自旋的本征函数，称为自旋是是其中其中zzzzSSStrtSr)()(),(),(求：自旋波函数求：自旋波函数(S(Sz z)S SZ Z 的本征方程的本

48、征方程)(2)(zzzSSS 令令的的自自旋旋波波函函数数，即即和和分分别别为为本本征征值值和和22)()(2121 zzSS )(2)()(2)(21212121zzzzzzSSSSSS （五）自旋波函数（五）自旋波函数一般情况下，一般情况下，1 1 2 2，二者对，二者对(x,y,z)(x,y,z)的依赖是不一样的。的依赖是不一样的。因为因为 S Sz z 是是 2 2 2 2 矩阵，所以在矩阵，所以在 S S2 2,S,Sz z 为对角矩阵的表为对角矩阵的表象内，象内，1/21/2,-1/2 -1/2 都应是都应是 2 21 1 的列矩阵。的列矩阵。43212121aaaa 代入本征方程

49、得：代入本征方程得：2121210012aaaa 2121aaaa 0211aaa由归一化条件确定由归一化条件确定a a1 1 11|100111*1 aaaa所以所以 0121 二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交 001102121 1021 同理同理我们已分别讨论过了只有我们已分别讨论过了只有 L L 和只有和只有 S S 的情的情况，忽略了二者之间的相互作用，实际上，在二者况，忽略了二者之间的相互作用，实际上，在二者都存在的情况下，就必须同时考虑轨道角动量和自都存在的情况下，就必须同时考虑轨道角动量和自旋，也就是说，需要研究旋，也就是

50、说，需要研究 L L 与与 S S 的耦合问题。下的耦合问题。下面我们普遍讨论一下两个角动量的耦合问题。面我们普遍讨论一下两个角动量的耦合问题。（一）总角动量（一）总角动量 （二）耦合表象和无耦合表象（二）耦合表象和无耦合表象两个角动量耦合两个角动量耦合设有设有 J1,J2 两个角动量，分别满足如下角动量对易关系：两个角动量，分别满足如下角动量对易关系：222111JiJJJiJJ 因为二者是相互独立的角动量因为二者是相互独立的角动量，所以相互对易，即，所以相互对易，即0,21 JJ其分量其分量 对易关系可写为对易关系可写为 yxzxzyzyxJiJJJiJJJiJJ,证：证：yyxxyxJJ