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数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)及答案(DOC 17页).doc

1、一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1如图,山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为米,山坡的坡角为30小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45,树底部B的仰角为20,求树AB的高度(参考数值:sin200.34,cos200.94,tan200.36)【答案】6.4米【解析】解:底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米,山坡的坡角为30DC=BCcos30=米,CF=1米,DC=9+1=10米,GE=10米,AEG=45,AG=EG=10米,在直角三角形BGF中,BG=GFtan20=100.36=3.

2、6米,AB=AG-BG=10-3.6=6.4米,答:树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长,然后求得DF的长,进而求得GF的长,然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长,从而求得树高2如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60和30(1)求BPQ的度数;(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m)备用数据:,【答案】(1)BPQ=30;(2)该电线杆PQ的高度约为9m【解析】试题分析:(1)延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可;(2)设PE=x米,在直角APE和直角B

3、PE中,根据三角函数利用x表示出AE和BE,根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值,再在直角BQE中利用三角函数求得QE的长,则PQ的长度即可求解试题解析:延长PQ交直线AB于点E,(1)BPQ=90-60=30;(2)设PE=x米在直角APE中,A=45,则AE=PE=x米;PBE=60BPE=30在直角BPE中,BE=PE=x米,AB=AE-BE=6米,则x-x=6,解得:x=9+3则BE=(3+3)米在直角BEQ中,QE=BE=(3+3)=(3+)米PQ=PE-QE=9+3-(3+)=6+29(米)答:电线杆PQ的高度约9米考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题3问题背景:如图(a)

4、,点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B,连接A B与直线l交于点C,则点C即为所求.(1)实践运用: 如图(b),已知,O的直径CD为4,点A 在O 上,ACD=30,B 为弧AD 的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为 (2)知识拓展:如图(c),在RtABC中,AB=10,BAC=45,BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程【答案】解:(1)(2)如图,在斜边AC上截取AB=AB,连接BBAD平分BAC,点B与点B关于直线AD对称过点B作BFAB

5、,垂足为F,交AD于E,连接BE则线段BF的长即为所求 (点到直线的距离最短) 在RtAFB/中,BAC=450, AB/=AB= 10,BE+EF的最小值为【解析】试题分析:(1)找点A或点B关于CD的对称点,再连接其中一点的对称点和另一点,和MN的交点P就是所求作的位置,根据题意先求出CAE,再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值:如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,此时PA+PB最小,且等于A作直径AC,连接CE,根据垂径定理得弧BD=弧DEACD=30,AOD=60,DOE=30AOE=90CAE=45又AC为圆的直径,AEC=90C=CAE=45CE=AE

6、=AC=AP+BP的最小值是(2)首先在斜边AC上截取AB=AB,连接BB,再过点B作BFAB,垂足为F,交AD于E,连接BE,则线段BF的长即为所求4如图,抛物线y=x2+3x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D在抛物线上且横坐标为3(1)求tanDBC的值;(2)点P为抛物线上一点,且DBP=45,求点P的坐标【答案】(1)tanDBC=;(2)P(,)【解析】试题分析:(1)连接CD,过点D作DEBC于点E利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标,则可得CD/AB,OB=OC,所以BCO=BCD=ABC=45由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4,

7、BE=BCDE=由此可知tanDBC=;(2)过点P作PFx轴于点F由DBP=45及ABC=45可得PBF=DBC,利用(1)中的结果得到:tanPBF=设P(x,x2+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知=,通过解方程求得点P的坐标为(,)试题解析:(1)令y=0,则x2+3x+4=(x+1)(x4)=0,解得 x1=1,x2=4A(1,0),B(4,0)当x=3时,y=32+33+4=4,D(3,4)如图,连接CD,过点D作DEBC于点EC(0,4),CD/AB,BCD=ABC=45在直角OBC中,OC=OB=4,BC=4在直角CDE中,CD=3CE=ED=,BE=BCDE=tanDBC

8、=;(2)过点P作PFx轴于点FCBF=DBP=45,PBF=DBC,tanPBF=设P(x,x2+3x+4),则=,解得 x1=,x2=4(舍去),P(,)考点:1、二次函数;2、勾股定理;3、三角函数5如图,在ABC中,A=90,ABC=30,AC=3,动点D从点A出发,在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动,连结CD,作点A关于直线CD的对称点E,设点D运动时间为t(s)(1)若BDE是以BE为底的等腰三角形,求t的值;(2)若BDE为直角三角形,求t的值;(3)当SBCE时,所有满足条件的t的取值范围 (所有数据请保留准确值,参考数据:tan15=2)【答案】(1);(2)秒或3秒;

9、(3)63t3【解析】【分析】(1)如图1,先由勾股定理求得AB的长,根据点A、E关于直线CD的对称,得CD垂直平分AE,根据线段垂直平分线的性质得:AD=DE,所以AD=DE=BD,由AB=3,可得t的值;(2)分两种情况:当DEB=90时,如图2,连接AE,根据AB=3t=3,可得t的值;当EDB=90时,如图3,根据AGCEGD,得AC=DE,由ACED,得四边形CAED是平行四边形,所以AD=CE=3,即t=3;(3)BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以BCE面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,当BCE在BC的下方时,当BCE在BC

10、的上方时,分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论【详解】解:(1)如图1,连接AE,由题意得:AD=t,CAB=90,CBA=30,BC=2AC=6,AB=3,点A、E关于直线CD的对称,CD垂直平分AE,AD=DE,BDE是以BE为底的等腰三角形,DE=BD,AD=BD,t=AD=;(2)BDE为直角三角形时,分两种情况:当DEB=90时,如图2,连接AE,CD垂直平分AE,AD=DE=t,B=30,BD=2DE=2t,AB=3t=3,t=;当EDB=90时,如图3,连接CE,CD垂直平分AE,CE=CA=3,CAD=EDB=90,ACED,CAG=GED,AG=EG,CGA=EGD,AG

11、CEGD,AC=DE,ACED,四边形CAED是平行四边形,AD=CE=3,即t=3;综上所述,BDE为直角三角形时,t的值为秒或3秒;(3)BCE中,由对称得:AC=CE=3,所以点D在运动过程中,CE的长不变,所以BCE面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化,当BCE在BC的下方时,过B作BHCE,交CE的延长线于H,如图4,当AC=BH=3时,此时SBCE=AEBH=33=,易得ACGHBG,CG=BG,ABC=BCG=30,ACE=6030=30,AC=CE,AD=DE,DC=DC,ACDECD,ACD=DCE=15,tanACD=tan15=2,t=63,由图形可知:0t6

12、3时,BCE的BH越来越小,则面积越来越小,当BCE在BC的上方时,如图3,CE=ED=3,且CEED,此时SBCE=CEDE=33=,此时t=3,综上所述,当SBCE时,t的取值范围是63t3【点睛】本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,学会用分类讨论的思想思考问题,学会寻找特殊点解决问题,属于中考压轴题6抛物线y=ax+bx+4(a0)过点A(1, 1),B(5, 1),与y轴交于点C(1)求抛物线表达式;(2)如图1,连接CB,以CB为边作CBPQ,若点P在直线BC下方的抛物线上,Q为坐标平面内的一点

13、,且CBPQ的面积为30,求点P坐标; 过此二点的直线交y轴于F, 此直线上一动点G,当GB+最小时,求点G坐标.(3)如图2,O1过点A、B、C三点,AE为直径,点M为 上的一动点(不与点A,E重合),MBN为直角,边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值【答案】(1)y=x6x+4(2)P(2, -4)或P(3, -5) G(0, -2)(3)【解析】【分析】(1)把点A(1,-1),B(5,-1)代入抛物线y=ax2+bx+4解析式,即可得出抛物线的表达式;(2)如图,连接PC,过点P作y轴的平行线交直线BC于R,可求得直线BC的解析式为:y=-x+4,设点P(t,t2-6t+

14、4),R(t,-t+4),因为CBPQ的面积为30,所以SPBC= (t+4t2+6t4)515,解得t的值,即可得出点P的坐标;当点P为(2,-4)时,求得直线QP的解析式为:y=-x-2,得F(0,-2),GOR=45,因为GB+ GF=GB+GR,所以当G于F重合时,GB+GR最小,即可得出点G的坐标;当点P为(3,-5)时,同理可求;(3)先用面积法求出sinACB=,tanACB=,在RtABE中,求得圆的直径,因为MBNB,可得N=AEB=ACB,因为tanN=,所以BN=MB,当MB为直径时,BN的长度最大【详解】(1) 解:(1)抛物线y=ax2+bx+4(a0)过点A(1,-

15、1),B(5,-1), 解得 抛物线表达式为y=x6x+4(2)如图,连接PC,过点P作y轴的平行线交直线BC于R,设直线BC的解析式为y=kx+m,B(5,-1),C(0,4), ,解得 直线BC的解析式为:y=-x+4,设点P(t,t2-6t+4),R(t,-t+4),CBPQ的面积为30,SPBC= (t+4t2+6t4)515,解得t=2或t=3,当t=2时,y=-4当t=3时,y=-5,点P坐标为(2,-4)或(3,-5);当点P为(2,-4)时,直线BC解析式为:y=-x+4,QPBC,设直线QP的解析式为:y=-x+n,将点P代入,得-4=-2+n,n=-2,直线QP的解析式为:

16、y=-x-2,F(0,-2),GOR=45,GB+GF=GB+GR当G于F重合时,GB+GR最小,此时点G的坐标为(0,-2),同理,当点P为(3,-5)时,直线QP的解析式为:y=-x-2,同理可得点G的坐标为(0,-2), (3) )A(1,-1),B(5,-1)C(0,4),AC= ,BC=5,SABC=ACBCsinACBAB5,sinACB=,tanACB=,AE为直径,AB=4,ABE=90,sinAEB=sinACB=,AE=2,MBNB,NMB=EAB,N=AEB=ACB,tanN=,BN=MB,当MB为直径时,BN的长度最大,为3【点睛】题考查用到待定系数法求二次函数解析式和

17、一次函数解析式,圆周角定理,锐角三角函数定义,平行四边形性质解决(3)问的关键是找到BN与BM之间的数量关系7在RtABC中,ACB90,CD是AB边的中线,DEBC于E,连结CD,点P在射线CB上(与B,C不重合)(1)如果A30,如图1,DCB等于多少度;如图2,点P在线段CB上,连结DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60,得到线段DF,连结BF,补全图2猜想CP、BF之间的数量关系,并证明你的结论;(2)如图3,若点P在线段CB 的延长线上,且A(090),连结DP,将线段DP绕点逆时针旋转 2得到线段DF,连结BF,请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系(不需证明)【答案】(1)DCB

18、60结论:CPBF理由见解析;(2)结论:BFBP2DEtan理由见解析【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边中线的性质,结合A30,只要证明CDB是等边三角形即可;根据全等三角形的判定推出DCPDBF,根据全等的性质得出CPBF,(2)求出DCDBAD,DEAC,求出FDBCDP2+PDB,DPDF,根据全等三角形的判定得出DCPDBF,求出CPBF,推出BFBPBC,解直角三角形求出CEDEtan即可【详解】(1)A30,ACB90,B60,ADDB,CDADDB,CDB是等边三角形,DCB60如图1,结论:CPBF理由如下:ACB90,D是AB的中点,DEBC,DCB60,CDB为等边

19、三角形.CDB60线段DP绕点D逆时针旋转60得到线段DF,PDF60,DPDF,FDBCDP,在DCP和DBF中,DCPDBF,CPBF.(2)结论:BFBP2DEtan理由:ACB90,D是AB的中点,DEBC,A,DCDBAD,DEAC,AACD,EDBA,BC2CE,BDCA+ACD2,PDF2,FDBCDP2+PDB,线段DP绕点D逆时针旋转2得到线段DF,DPDF,在DCP和DBF中,DCPDBF,CPBF,而 CPBC+BP,BFBPBC,在RtCDE中,DEC90,tanCDE,CEDEtan,BC2CE2DEtan,即BFBP2DEtan【点睛】本题考查了三角形外角性质,等边

20、三角形的判定和性质,全等三角形的性质和判定,直角三角形的性质,旋转的性质的应用,能推出DCPDBF是解此题的关键,综合性比较强,证明过程类似8如图,正方形ABCD的边长为+1,对角线AC、BD相交于点O,AE平分BAC分别交BC、BD于E、F,(1)求证:ABFACE;(2)求tanBAE的值;(3)在线段AC上找一点P,使得PE+PF最小,求出最小值【答案】(1)证明见解析;(2)tanEAB1;(3)PE+PF的最小值为【解析】【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可;(2)如图1中,作EHAC于H首先证明BE=EH=HC,设BE=EH=HC=x,构建方程求出x即可解决问题;

21、(3)如图2中,作点F关于直线AC的对称点H,连接EH交AC于点P,连接PF,此时PF+PE的值最小,最小值为线段EH的长;【详解】(1)证明:四边形ABCD是正方形,ACEABFCAB45,AE平分CAB,EACBAF22.5,ABFACE(2)解:如图1中,作EHAC于HEA平分CAB,EHAC,EBAB,BEEB,HCE45,CHE90,HCEHEC45,HCEH,BEEHHC,设BEHEHCx,则ECx,BC+1,x+x+1,x1,在RtABE中,ABE90,tanEAB1(3)如图2中,作点F关于直线AC的对称点H,连接EH交AC于点P,连接PF,此时PF+PE的值最小作EMBD于M

22、BMEM,AC2+,OAOCOBAC ,OHOFOAtanOAFOAtanEAB (1),HMOH+OM,在RtEHM中,EH PE+PF的最小值为【点睛】本题考查正方形的性质,相似三角形的判定,勾股定理,最短问题等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用轴对称解决最短问题,属于中考常考题型9如图,在航线l的两侧分别有观测点A和B,点B到航线l的距离BD为4km,点A位于点B北偏西60方向且与B相距20km处现有一艘轮船从位于点A南偏东74方向的C处,沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处求这艘轮船的航行路程CE的长度(结果精确到0.1km)(参考数据:1.73,sin740.96

23、,cos740.28,tan743.49)【答案】20.9km【解析】分析:根据题意,构造直角三角和相似三角形的数学模型,利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解:如图,在RtBDF中,DBF=60,BD=4km,BF=8km,AB=20km,AF=12km,AEB=BDF,AFE=BFD,AEFBDF,AE=6km,在RtAEF中,CE=AEtan7420.9km故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km点睛:本题考查相似三角形,掌握相似三角形的概念,会根据条件判断两个三角形相似.10如图以ABC的一边AB为直径作O,O与BC边的交点D恰好为BC的中点,过点D作O的切线交AC边于

24、点F.(1)求证:DFAC;(2)若ABC=30,求tanBCO的值.【答案】(1)证明见解析; (2) tanBCO=.【解析】试题分析:(1)连接OD,根据三角形的中位线定理可求出ODAC,根据切线的性质可证明DEOD,进而得证(2)过O作OFBD,根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长,根据三角函数的定义求解试题解析:证明:连接ODDE为O的切线, ODDE O为AB中点, D为BC的中点ODAC DEAC (2)过O作OFBD,则BF=FD 在RtBFO中,ABC=30OF=, BF= BD=DC, BF=FD,FC=3BF= 在RtOFC中,tanBCO=.点睛:此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点,有一定的综合性,根据已知得出OF=OB,BF=OB,FC=3BF=OB是解题关键

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