空间向量和立体几何练习题与答案(DOC 29页).docx

1、1如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD为正方形，平面 PAD平面 ABCD，点 M 在线段 PB上， PD平面 MAC， PA=PD= ， AB=4（ 1）求证： M 为 PB的中点；（ 2）求二面角 BPDA 的大小；（ 3）求直线 MC 与平面 BDP所成角的正弦值【分析】（1）设 AC BD=O，则 O 为 BD 的中点，连接 OM，利用线面平行的性质证明 OMPD，再由平行线截线段成比例可得 M 为 PB的中点；（ 2）取 AD 中点 G，可得 PGAD，再由面面垂直的性质可得 PG平面 ABCD，则 PG AD，连接 OG，则 PGOG，再证明 OGAD以 G 为坐标原点，分

2、别以GD、GO、GP所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角BPDA 的大小；（ 3）求出的坐标，由与平面 PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线 MC 与平面 BDP所成角的正弦值【解答】（1）证明：如图，设 ACBD=O， ABCD为正方形， O 为 BD的中点，连接 OM， PD平面 MAC，PD? 平面 PBD，平面 PBD平面 AMC=OM， PDOM，则，即 M 为 PB的中点；（ 2）解：取 AD 中点 G， PA=PD， PG AD，平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD=AD

3、， PG平面 ABCD，则 PGAD，连接 OG，则 PGOG，由 G 是 AD 的中点， O 是 AC的中点，可得 OG DC，则 OGAD以 G 为坐标原点，分别以 GD、GO、GP所在直线为 x、y、z 轴距离空间直角坐标系，由 PA=PD=，AB=4，得 D（ 2，0， 0），A（ 2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（ 2，4，0），M（ 1， 2，），设平面则由取平面PBD的一个法向量为，得PAD的一个法向量为，取z=，得 cos=二面角BPD A 的大小为60；（ 3）解： 直 线| =|MC | =|与 平 面，平面BDP所| =BDP的一个法向量为成角的正弦值为

4、| cos【点评】本题考查线面角与面面角的求法， 训练了利用空间向量求空间角， 属中档题2如图，在三棱锥PABC中， PA底面 ABC，BAC=90点 D， E， N 分别为棱 PA， PC，BC的中点， M 是线段 AD 的中点， PA=AC=4，AB=2（）求证： MN平面 BDE；（）求二面角 CEMN 的正弦值；（）已知点H 在棱 PA上，且直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，求线段 AH 的长【分析】（）取 AB 中点 F，连接 MF、NF，由已知可证 MF平面 BDE，NF平面 BDE得到平面 MFN平面 BDE，则 MN平面 BDE；（）由 PA底面 ABC， BAC=90

5、可以 A 为原点，分别以 AB、AC、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系求出平面 MEN 与平面 CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角 CEMN 的余弦值，进一步求得正弦值；（）设 AH=t，则 H（ 0， 0， t），求出的坐标，结合直线所成角的余弦值为列式求得线段 AH 的长NH 与直线BE【解答】（）证明：取 AB 中点 F，连接 MF、NF， M 为 AD 中点， MFBD， BD? 平面 BDE，MF?平面 BDE， MF平面 BDE N 为 BC中点， NFAC，又 D、E 分别为 AP、PC的中点， DEAC，则 NFDE DE? 平面 BDE，N

6、F?平面 BDE， NF平面 BDE又 MFNF=F平面 MFN平面 BDE，则 MN平面 BDE；（）解： PA底面 ABC， BAC=90以 A 为原点，分别以 AB、AC、AP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 PA=AC=4， AB=2，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，设平面 MEN 的一个法向量为，由，得，取 z=2，得由图可得平面 CME的一个法向量为 cos=二面角 CEMN 的余弦值为，则正弦值为；（）解：设 AH=t，则 H（0，0，t ），直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，

7、| cos| =| =| =解得： t=或 t=当 H 与 P 重合时直线 NH 与直线 BE所成角的余弦值为，此时线段 AH 的长为 或 【点评】本题考查直线与平面平行的判定， 考查了利用空间向量求解空间角， 考查计算能力，是中档题3如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD（及其内部）以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120得到的， G 是 的中点（）设 P 是上的一点，且 AP BE，求 CBP的大小；（）当 AB=3，AD=2 时，求二面角 EAGC 的大小【分析】（）由已知利用线面垂直的判定可得 BE平面 ABP，得到 BE BP，结合 EBC=120求得 CBP=30；（）法

8、一、取 的中点 H，连接 EH，GH，CH，可得四边形 BEGH为菱形，取 AG 中点 M ，连接 EM，CM，EC，得到 EMAG，CMAG，说明 EMC为所求二面角的平面角求解三角形得二面角E AGC 的大小法二、以 B 为坐标原点，分别以 BE， BP，BA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系求出 A，E，G，C 的坐标，进一步求出平面 AEG与平面 ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 EAGC 的大小【解答】 解：（） APBE，ABBE，且 AB，AP? 平面 ABP，ABAP=A， BE平面 ABP，又 BP? 平面 ABP， BEBP，又 EBC=1

9、20，因此 CBP=30；（）解法一、取的中点 H，连接 EH，GH，CH， EBC=120，四边形 BECH为菱形， AE=GE=AC=GC=取 AG 中点 M，连接 EM，CM，EC，则 EMAG，CMAG， EMC为所求二面角的平面角又 AM=1， EM=CM=在 BEC中，由于 EBC=120，222222cos120=12，由余弦定理得： EC=2 +2，因此 EMC 为等边三角形，故所求的角为 60解法二、以 B 为坐标原点，分别以BE，BP， BA 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系由题意得： A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，3），C（ 1，0），故，设为平

10、面 AEG的一个法向量，由，得，取 z1=2，得；设为平面 ACG的一个法向量，由，可得，取 z2= 2，得 cos=二面角 EAG C 的大小为 60【点评】本题考查空间角的求法， 考查空间想象能力和思维能力， 训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题4如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中， 面 ABEF为正方形， AF=2FD， AFD=90，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60（）证明平面 ABEF平面 EFDC；（）求二面角 E BCA 的余弦值【分析】（）证明 AF平面 EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF平面 EFDC

11、；（）证明四边形 EFDC为等腰梯形，以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面 BEC、平面 ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角 EBCA 的余弦值【解答】（）证明： ABEF为正方形， AF EF AFD=90， AF DF， DFEF=F， AF平面 EFDC， AF? 平面 ABEF，平面 ABEF平面 EFDC；（）解：由 AFDF，AF EF，可得 DFE为二面角 DAFE 的平面角；由 ABEF为正方形， AF平面 EFDC， BEEF， BE平面 EFDC即有 CEBE，可得 CEF为二面角 CBE F 的平面角可得 DFE=CEF=60 ABEF，AB?平面 EF

12、DC，EF? 平面 EFDC， AB平面 EFDC，平面 EFDC平面 ABCD=CD，AB? 平面 ABCD， ABCD， CDEF，四边形 EFDC为等腰梯形以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，设则 E（0，0，0），B（0，2a，0）， C（ =（0，2a， 0）， =（ ， 2a，FD=a，0，a）， A（ 2a，2a，0），a），=（ 2a，0， 0）设平面 BEC的法向量为=（x1， y1，z1），则，则，取=（， 0， 1）设平面ABC的法向量为=（x2， y2，z2），则，则，取=（0，4）设二面角EBC A 的大小为 ，则cos=，则二面角EBC A 的余弦值为【点评】本题

13、考查平面与平面垂直的证明， 考查用空间向量求平面间的夹角， 建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键5如图，菱形 ABCD的对角线 AC与 BD 交于点 O，AB=5， AC=6，点 E，F 分别在 AD，CD上， AE=CF= ，EF交于 BD 于点 H，将 DEF沿 EF折到 DEF的位置， OD=（）证明： DH平面 ABCD；（）求二面角BDAC 的正弦值【分析】（）由底面 ABCD为菱形，可得 AD=CD，结合 AE=CF可得 EF AC，再由 ABCD是菱形，得 ACBD，进一步得到 EFBD，由 EFDH，可得 EF DH，然后求解直角三角形得 DHOH，再由线面

14、垂直的判定得 DH平面 ABCD；（）以 H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD与平面 ADC的一个法向量，设二面角二面角BDAC 的平面角为 ，求出| cos|则二面角 B DAC 的正弦值可求【解答】（）证明： ABCD是菱形， AD=DC，又 AE=CF= ，则 EFAC，又由 ABCD是菱形，得 ACBD，则 EFBD， EFDH，则 EFDH， AC=6， AO=3，又 AB=5，AOOB， OB=4， OH=1，则 DH=DH=3， | OD|222=| OH| +| DH|，则 DHOH，又 OHEF=H， DH平面 A

15、BCD；（）解：以 H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， AB=5， AC=6，B（5，0，0），C（1，3，0），D（0，0，3），A（1，3，0），设平面 ABD的一个法向量为，由，得，取 x=3，得 y= 4， z=5同理可求得平面ADC的一个法向量，设二面角二面角BDAC 的平面角为 ，则 | cos|=二面角 BDAC 的正弦值为 sin =【点评】本题考查线面垂直的判定， 考查了二面角的平面角的求法， 训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题6在三棱柱 ABCA1 B1C1 中， CA=CB，侧面 ABB1A1 是边长为 2 的正方形，点 E，

16、F 分别在线段 AA1、A1B1 上，且 AE= ， A1F= ，CEEF（）证明：平面ABB1A1平面 ABC；（）若 CA CB，求直线 AC1 与平面 CEF所成角的正弦值【分析】（I）取 AB 的中点 D，连结 CD，DF， DE计算 DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出DEEF，由三线合一得CD AB，故而 CD平面 ABB1A1，从而平面ABB1A1平面ABC；（ II）以 C 为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC1 与平面CEF所成角的正弦值等于| cos|【解答】 证明：（I）取 AB 的中点 D，连结 CD，DF，DE AC=BC，D 是 AB

17、 的中点， CDAB侧面 ABB1A1 是边长为 2 的正方形， AE=，A1F=A1E=，EF=，DE=，DF=，222 EF+DE =DF， DE EF，又 CE EF，CE DE=E，CE? 平面 CDE，DE? 平面 CDE， EF平面 CDE，又 CD? 平面 CDE， CDEF，又 CD AB， AB? 平面 ABB1 A1，EF? 平面 ABB1A1，AB，EF为相交直线， CD平面 ABB1A1，又 CD? ABC，平面 ABB1A1平面 ABC（ II）平面 ABB1A1平面 ABC，三棱柱ABCA B C 是直三棱柱，111CC平面1ABC CACB，AB=2， AC=BC

18、= 以 C 为原点，以 CA， CB，CC1 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则 A（，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，2）=（，0，2），=（，0，），=（，2）设平面 CEF的法向量为=（x，y，z），则，令 z=4，得=（， 9， 4）=10，|=6，|= sin=直线 AC1 与平面 CEF所成角的正弦值为【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题7如图，在四棱锥中 P ABCD，PA平面 ABCD，AD BC，AD CD，且 AD=CD=2 ， BC=4 ，PA=2（ 1）求证： ABPC；（ 2）在线段 PD

19、 上，是否存在一点 M，使得二面角 M AC D 的大小为 45，如果存在，求 BM 与平面 MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由【分析】（1）利用直角梯形的性质求出 AB， AC的长，根据勾股定理的逆定理得出 AB AC，由 PA平面 ABCD得出 AB PA，故 AB平面 PAC，于是 ABPC；（ 2）假设存在点M，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出M 到平面ABCD的距离从而确定M 的位置，利用棱锥的体积求出B 到平面MAC 的距离h，根据勾股定理计算BM，则即为所求角的正弦值【解答】 解：（1）证明：四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=2，BC=4， AC=4， AB=

20、4， ABC是等腰直角三角形，即AB AC， PA平面 ABCD，AB? 平面 ABCD， PAAB， AB平面 PAC，又 PC? 平面 PAC， ABPC（ 2）假设存在符合条件的点 M ，过点 M 作 MN AD 于 N，则 MNPA， MN平面 ABCD， MN AC过点 M 作 MG AC于 G，连接 NG，则 AC平面 MNG， ACNG，即 MGN 是二面角 MACD 的平面角若 MGN=45，则 NG=MN，又 AN= NG= MN， MN=1，即 M 是线段 PD的中点存在点 M 使得二面角 M ACD 的大小为 45在三棱锥 M ABC中， V ABC ABC=，M=S?M

21、N=设点 B 到平面 MAC 的距离是 h，则 VB MAC，= MG= MN=， S MAC=2，= ，解得 h=2在 ABN 中，AB=4，AN=， BAN=135， BN=， BM=3 ， BM 与平面 MAC 所成角的正弦值为=【点评】本题考查了项目垂直的判定与性质， 空间角与空间距离的计算， 属于中档题8如图，在各棱长均为2 的三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 A1ACC1底面 ABC， A1AC=60（ 1）求侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小；（ 2）已知点D 满足=+，在直线AA1 上是否存在点P，使DP平面AB1C？若存在，请确定点P 的位置，若不存在

22、，请说明理由【分析】（1）推导出 A 平面，以O为坐标原点，建立如图所1OABC BOAC示的空间直角坐标系 O xyz，利用向量法能求出侧棱AA1与平面 AB1所成角的C正弦值（ 2 ）假设存在点P 符合题意，则点P 的坐标可设为P（ 0， y ， z），则利用向量法能求出存在点 P，使 DP平面 AB1 ，其坐标为（ ，C00，），即恰好为 A1 点【解答】 解：（1）侧面 A1ACC1底面 ABC，作 A1O AC于点 O， A1O平面 ABC又 ABC=A1AC=60，且各棱长都相等， AO=1，OA1=OB= ， BO AC（ 2 分）故以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标

23、系Oxyz，则 A（0，1，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，1，0），=（0，1，），=（），=（ 0， 2， 0）（4 分）设平面 AB1C 的法向量为，则，取 x=1，得=（1，0，1）设侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角的为 ，则 sin =|cos， | =| =，侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 （6 分）（2）=，而，=（ 2，0，0），又 B（），点 D（，0，0）假设存在点 P 符合题意， 则点 P 的坐标可设为 P（ 0，y，z）， DP平面 AB ，（ ， ， ）为平面AB1C的法向量，1C=10 1由 = ，得， y=0 （10 分）又

24、 DP?平面 AB ，故存在点，使平面，其坐标为（ ， ，），1CPDPAB1C0 0即恰好为 A1 点 （12 分）【点评】本题考查线面角的正弦值的求法， 考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用9在三棱柱 ABCA1B1 C1 中，侧面 ABB1A1 为矩形， AB=2，AA1=2，D 是 AA1的中点， BD与 AB1 交于点 O，且 CO平面 ABB1 1A（）证明：平面 AB1 平面BCD；C（）若 OC=OA，AB1C 的重心为 G，求直线 GD 与平面 ABC所成角的正弦值【分析】（）通过证明AB1 BD，AB1 CO，推出 AB1平

25、面 BCD，然后证明平面 AB1C平面 BCD（）以 O 为坐标原点，分别以 OD，OB1， OC 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz求出平面 ABC 的法向量，设直线 GD 与平面ABC所成角 ，利用空间向量的数量积求解直线 GD 与平面 ABC所成角的正弦值即可【解答】（本小题满分 12 分）解：（） ABB1A1 为矩形， AB=2， D 是 AA1 的中点， BAD=90，从而， ABD=AB1B，（2 分），从而 AB1BD（4 分） CO平面 ABB1A1， AB1? 平面 ABB1A1， AB1CO， BDCO=O， AB1平面 BCD， AB1?

26、 平面 AB1 C，平面 AB1C平面 BCD（6 分）（）如图，以O 为坐标原点，分别以 OD， OB1，OC所在直线为 x， y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz在矩形 ABB11中，由于 ADBB1，所以 AOD 和 B1OB相似，A从而又，G 为 AB1的重心，C，（8 分）设平面ABC的法向量为，由可得，令 y=1，则z=1，所以（10 分）设直线GD与平面ABC所成角，则=，所以直线 GD 与平面 ABC所成角的正弦值为（ 12 分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用， 直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力10在矩形 ABCD中， AB=4

27、，AD=2，将 ABD 沿 BD 折起，使得点 A 折起至 A，设二面角 ABDC 的大小为 （ 1）当 =90时，求 AC的长；（ 2）当 cos=时，求 BC与平面 ABD所成角的正弦值【分析】（1）过 A 作 BD 的垂线交 BD 于 E，交 DC于 F，连接 CE，利用勾股定理及余弦定理计算 AE，CE，由 AE CE得出 AC；（ 2）利用余弦定理可得AF= ，从而得出 AF平面 ABCD，以 F 为原点建立坐标系，求出和平面 ABD的法向量，则 BC 与平面 ABD所成角的正弦值为| cos| 【解答】解：（ 1）在图 1 中，过 A 作 BD 的垂线交 BD于 E，交 DC于 F

28、，连接 CE AB=4 ，AD=2 ， BD=10，BE=8， cos CBE= =在 BCE中，由余弦定理得 CE=2=90， AE平面 ABCD， AECE| AC|=2（ 2） DE=2 tan FDE=， EF=1，DF= 当即 cosAEF=时，222， AFE=90 AEF+EF=A又 BD AE，BDEF， BD平面 AEF， BD AF AF平面 ABCD以 F 为原点，以 FC为 x 轴，以过 F 的 AD 的平行线为 y 轴，以 FA为 z 轴建立空间直角坐标系如图所示：A（0，0，），D（ ，0，0），B（3， 2，0），C（3，0，0） =（0，2，0）， =（4 ，2

29、 ，0），=（ ，0，）设平面 ABD的法向量为 =（ x， y， z），则，令 z=1 得 =（，2，1） cos = BC与平面 ABD 所成角的正弦值为【点评】 本题考查了空间角与空间距离的计算，空间向量的应用，属于中档题11如图，由直三棱柱 ABC A1B1C1 和四棱锥 D BB1C1C 构成的几何体中， BAC=90，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD= ，平面 CC1D平面 ACC1A1（）求证： ACDC1；（）若 M 为 DC1 的中点，求证： AM平面 DBB1；（）在线段 BC上是否存在点 P，使直线 DP 与平面BB1D所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理

30、由【分析】（）证明 AC CC1，得到 AC平面 CC1，即可证明1DACDC（）易得 BAC=90，建立空间直角坐标系Axyz，依据已知条件可得 A（0，0，0），B（0，0，1），B1（2，0，1），利用向量求得AM与平面DBB 所成角为10，即AM平面DBB 1（）利用向量求解【解答】 解：（）证明：在直三棱柱ABCA B C 中， CC平面 111 1ABC，故ACCC，1由平面 CC1D平面 ACC1A1，且平面 CC1D平面 ACC1A1=CC1，所以 AC平面 CC D，1又 C1D? 平面 CC1D，所以 AC DC1（）证明：在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1平面 ABC，所以 AA1 AB，AA1 AC，又 BAC=90，所以，如图建立空间直角坐标系A xyz，依据已知条件可得 A（0，0，0），B（