高中数学平面向量及其应用练习题-(DOC 29页).doc

1、一、多选题1下列说法中错误的为（ ）A已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C若，则在方向上的投影为D非零向量和满足，则与的夹角为602若，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则3已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）AB若且，则C两个非零向量，若，则与共线且反向D已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是4在中，分别是内角，所对的边，且，则以下说法正确的是（ ）AB若，则C若，则是等边三角形D若的面积是，则该三角形外接圆半径为45在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，且，则（ ）ABCD6

2、已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（ ）ABCD7设，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）AB与不垂直CD8下列结论正确的是（ ）A已知是非零向量，若，则（）B向量，满足|1，|2，与的夹角为60，则在上的投影向量为C点P在ABC所在的平面内，满足，则点P是ABC的外心D以（1，1），（2，3），（5，1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形9在中，若，则C的值可以是（ ）A30B60C120D15010下列各式中，结果为零向量的是（ ）ABCD11如图，在平行四边形中，分别为线段的中点，则（ ）ABCD12已知平行四边形的三个顶

3、点的坐标分别是则第四个顶点的坐标为（ ）ABCD13设、是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ）ABCD14（多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ）A可以表示平面内的所有向量B对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对C，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使D若存在实数，使，则15已知为非零向量,则下列命题中正确的是( )A若,则与方向相同B若,则与方向相反C若,则与有相等的模D若,则与方向相同二、平面向量及其应用选择题16如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）ABCD17若点是的重心，分别是，的对边，且.则等于（ ）A90B60C45

4、D3018已知向量与的夹角为，在时取得最小值，则当时，夹角的取值范围为（ ）ABCD19已知在四边形中， ，则四边形的形状是( )A矩形B梯形C平行四边形D以上都不对20内有一点，满足，则与的面积之比为（ ）ABCD21中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）ABCD22已知M(3，2)，N(5，1)，且，则P点的坐标为()A(8,1)BC

5、D(8，1)23在中，若，则的形状是（ ）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形24在中，已知，若点、分别为的重心和外心，则（ ）A4B6C10D1425若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( )ABCD26题目文件丢失！27在梯形中，则（ ）ABCD28在中，则（ ）ABCD29在中，下列命题正确的个数是（ ）；点为的内心，且，则为等腰三角形；，则为锐角三角形A1B2C3D430如图，在中，和相交于点，则向量等于（ ）ABCD31在中，若，那么一定是（ ）A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形32如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C

6、对于山坡的斜度为15，向山顶前进50 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos 等于（ ）ABCD33设中边上的中线为，点满足，则（ ）ABCD34题目文件丢失！35在矩形中，点在边上，若，则的值为（ ）A0BC-4D4【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、多选题1ACD【分析】由向量的数量积向量的投影基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A，与的夹角为锐角，且(时与的夹角为0)，所以且，故A错误；对于B解析：ACD【分析】由向量的数量积向量的投影基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A，与的

7、夹角为锐角，且(时与的夹角为0)，所以且，故A错误；对于B，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于C，若，则在方向上的正射影的数量为，故C错误；对于D，因为，两边平方得，则，故，而向量的夹角范围为，得与的夹角为30，故D项错误.故错误的选项为ACD故选：ACD【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.2ACD【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；对于，当且时，但，可以不相等，故错误；对应，若，则方向相同解析：ACD【分析】根据平面向

8、量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；对于，当且时，但，可以不相等，故错误；对应，若，则方向相同或相反，方向相同或相反，故的方向相同或相反，故，故正确；对应，若，则，故正确故选：【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题3AC【分析】根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.【详解】对于A，由平面向量数量积定义可知解析：AC【分析】根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积

9、的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.【详解】对于A，由平面向量数量积定义可知，则，所以A正确，对于B，当与都和垂直时，与的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，对于C，两个非零向量，若，可得，即，则两个向量的夹角为，则与共线且反向，故C正确；对于D，已知，且与的夹角为锐角，可得即可得，解得，当与的夹角为0时，所以所以与的夹角为锐角时且，故D错误；故选:AC.【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.4AC【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转

10、化为，结合原题干条件可得，进而求得；对于，根据三角形面积公式求得，利解析：AC【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；对于，根据三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，进而由正弦定理求得【详解】解：由正弦定理可将条件转化为，因为，故，因为，则，故正确；若，则由正弦定理可知，则，因为，则，故错误；若，根据正弦定理可得，又因为，即，即有，所以，因为，则，故，整理得，即，解得，故，则，即，所以是等边三角形，故正确；若的面积是，即，解得，由余弦定理可得，即设三角形的外接圆半径是，由正弦定理可得

11、，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，故选：AC【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题5AD【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得.【详解】，整理可得：，可得，A为三角形内角，故A正确解析：AD【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得.【详解】，整理可得：，可得，A为三角形内角，故A正确，B错误，且，解得，由余弦定理得，解得，故C错误，D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查

12、正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6AD【分析】设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解.【详解】设，则，当点P靠近点时，则，解得，所以，当点P靠近点时，则，解得，所以，故选：解析：AD【分析】设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解.【详解】设，则，当点P靠近点时，则，解得，所以，当点P靠近点时，则，解得，所以，故选：AD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7ACD【分析】A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算

13、律可判断；C，由与不共线，可分两类考虑：若，则显然成立；若，由、构成三角形的三边可进行判断；D，由平解析：ACD【分析】A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由与不共线，可分两类考虑：若，则显然成立；若，由、构成三角形的三边可进行判断；D，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.【详解】选项A，由平面向量数量积的运算律，可知A正确；选项B，与垂直，即B错误；选项C，与不共线，若，则显然成立；若，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得.故C正确；选项D，即D正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中

14、档题.8ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对：因为，又，故可得，故，故选项正确；对：因为|1，|2，与的夹角为解析：ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对：因为，又，故可得，故，故选项正确；对：因为|1，|2，与的夹角为60，故可得.故在上的投影向量为，故选项正确；对：点P在ABC所在的平面内，满足，则点为三角形的重心，故选项错误；对：不妨设，则，故四边形是平行四边形；又，则，故四边形是矩形.故选项正确；综上所述，正确的有：.故选：.【点睛】本题

15、考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.9BC【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项： ，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项

16、正确.故选：解析：BD【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.【详解】对于选项：，选项不正确；对于选项： ，选项正确；对于选项：，选项不正确；对于选项：选项正确.故选：BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.11AB【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、，即可判断选项的正误【详解】，即A正确，即B正确连接AC，知G是ADC的中线交点， 如下图示由其性质有，即C错误同理，解析：AB【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得、，即可判断选项的正误【详解】，即A正确，即B正确连接AC，知G是ADC的中线交点， 如下图示由其性质有，即C错误同理，即

17、，即D错误故选：AB【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系12ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，解得解析：ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，解得，此时第四个项点的坐标为第四个

18、顶点的坐标为或或故选:ABC.【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.13AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，A选项错误；对于B选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B选项错误；对于C选项，解析：AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，A选项错误；对于B选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B选项错误；对于C选项，C选项正确；对于D选项，D选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与

19、运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.14BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A、B、D正确与否，由向量共线定理可判断出C正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，对于C，当时，这样的有无数个，故C解析：BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A、B、D正确与否，由向量共线定理可判断出C正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，对于C，当时，这样的有无数个，故C说法不正确.故选：BC【点睛】若，是平面内两个不共线的向量，则对于平面中的任一向量，使的实数，存在且唯一.15ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即

20、可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时解析：ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时有,.当反向时有,故选：ABD【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.二、平面向量及其应用选择题16A【分析】利用平面向量的线性运算，将用和表示，可得出和的值，由此可计算出的值.【详解】为的中点，且为的中点，所以，.因此，故选：A.【点睛】本题考查利

21、用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.17D【分析】由点是的重心可得,即,代入中可得,由不共线可得,即可求得的关系,进而利用余弦定理求解即可【详解】因为点是的重心,所以,所以,代入可得,因为不共线,所以,即,所以,故,故选:D【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角18C【解析】【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，根据二次函数的最值可得出，再由，可求得夹角的取值范围.【详解】因为，在时取得最小值，所以，又，则，得，所以，故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向

22、量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.19B【分析】计算得到，得到，为平行四边形，得到答案.【详解】，则.设，故，为平行四边形，故为梯形.故选：.【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力.20A【解析】分析：由题意，在内有一点，满足，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论详解：由题意，在内有一点，满足，由奔驰定理可得，所以，故选A点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公

23、式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决21B【分析】如解析中图形，可在中，利用正弦定理求出，然后在中求出直角边即旗杆的高度，最后可得速度【详解】如图，由题意，在中，即，（米/秒）故选B【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件22B【分析】由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.【详解】解：设P(x，y)，则 (x3，y2)，而(8,1)，所以，解得，即， 故选B.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.23A【分析】利用正弦定理边角互化思想化简可得，求得角

24、的值，进而可判断出的形状.【详解】，由正弦定理得，即，则，所以，因此，是直角三角形.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.24C【解析】【分析】取的中点，因为、分别为的重心和外心，则，再用、表示，再根据向量的数量积的运算律计算可得.【详解】解：如图，取的中点，因为、分别为的重心和外心故选：【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题25D【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可【详解

25、】非零向量，满足，平方得，即 ，则，由，平方得得，即则， 则向量与的夹角的余弦值 ， ，故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键26无27A【解析】分析：根据向量加法、减法法则将转化为即可求解.详解：由题可得：=,故选A.点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息是解题关键.28A【分析】根据面积公式得到，再利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到答案.【详解】利用余弦定理得到： 正弦定理： 故故选【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.29B【解析】【分析】利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否

26、正确即可得到正确命题的个数.【详解】逐一考查所给的命题：由向量的减法法则可知：，题中的说法错误；由向量加法的三角形法则可得：，题中的说法正确；因为，即；又因为，所以，即，所以ABC是等腰三角形.题中的说法正确；若，则，据此可知为锐角，无法确定为锐角三角形，题中的说法错误综上可得，正确的命题个数为2.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.30B【分析】过点分别作交于点，作交于点，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合，证出和，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得

27、和表示.【详解】解：过点分别作交于点，作交于点，已知，则和，则：且，即：且，所以，则：，所以，解得：，同理，和，则：且，即：且，所以，则：，即，所以，即，得：，解得：，四边形是平行四边形，由向量加法法则，得，所以.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力.31B【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案【详解】因为，所以所以所以所以,所以,所以.所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题32C【分析】易求，在中，由正弦定理可求，

28、在中，由正弦定理可求，再由可得答案【详解】，在中，由正弦定理，得，即，解得，在中，由正弦定理，得，即，即，故选：C【点睛】该题考查正弦定理在实际问题中的应用，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键33A【分析】作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.【详解】如下图所示：为的中点，则，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.34无35C【分析】先建立平面直角坐标系，求出B,E,F坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.【详解】如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，为轴，为轴，则，因此，故选C.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.