1、费马点问题背景：费马问题(Fermat problem)是著名的几何极值问题。费马(Fermat , P. de)曾提出一问题征解：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和为极小。”它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心；当三角形有一内角大于或等于120时，所求点为三角形最大内角的顶点。在费马问题中所求的点称为费马点。先透过一道阅读理解题来深度见识下费马点例1：背景资料：在已知ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”如
2、图，当ABC三个内角均小于120时，费马点P在ABC内部，此时APBBPCCPA120，此时，PA+PB+PC的值最小解决问题：（1）如图，等边ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求APB的度数为了解决本题，我们可以将ABP绕顶点A旋转到ACP处，此时ACPABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出APB ；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图，ABC中，CAB90，ABAC，E，F为BC上的点，且EAF45，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图，在RtABC中，C
3、90，AC1，ABC30，点P为RtABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值练习1.等腰 RtABC，边AB4，P为ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是多少？练习2：如图是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB4，BC3，ABC75，P为ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC求PA+PB+PC的最小值练习3：已知三村庄A，B，C构成了如图4所示的ABC（其中A，B，C均小于120），现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A，B，C所铺设的输水管总长度最小求输水管总长度的最小值练习4：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB2，则AP+BP+CP的最小值
4、为（）A+B+C4D3练习5：如图，已知矩形ABCD，AB4，BC6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为（）A3+2B4+3C2+2D10练习5：如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM1，ON3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 练习6：如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC6，ABC150，则线段AP+BP+PD的最小值为 练习7：如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可以与B点或C重合），分别过B，C，D作射线AP的垂线，垂足分别是B，C，D，则BB+CC+DD的最大值与最小值的和为 练
5、习8：如图，已知正方ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为1+，则这个正方形的边长为 练习9：问题背景：如图1，将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PCPE问题解决：如图2，在MNG中，MN6，M75，MG点O是MNG内一点，则点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是 巩固练习：1如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理
6、由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长2如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+与x轴，y轴分别交于点A，B，Q为AOB内部一点，则AQ+OQ+BQ的最小值等于 3如图（1），P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点（1）如点P为锐角ABC的费马点且ABC60，PA3，PC4，求PB的长（2）如图（2），在锐角ABC外侧作等边ACB连结BB求证：BB过ABC的费马点P，且BBPA+PB+PC4如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，ODB30，OE为BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）点P为ABO内的一个动点，设mPA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长5已知，如图，二次函数yx2+x图象的顶点为C与x轴交于A（3，0）、B（1，0）两点，点C（1，2）、B关于过点A的直线l：yx对称AC：yx3如图2，过点B作直线BDAC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值
