1、解三角形的压轴小题练习题和详细的分析解答（1）1已知的内角、满足，面积满足，记、分别为、所对的边，则下列不等式一定成立的是（）ABCD2如图，的内角，的对边分别为，且满足，设，则四边形面积的最大值为_.3如图所示，点，分别在菱形的边，上，面积的最小值为_4已知的三个内角，的对边分别为，若，则的取值范围是_.5设的内角，的对边分别为，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确的是_.（写出所有正确命题的编号）6如图，为的边上一点，当取最小值时，的面积为（）ABCD7已知的内角所对边分别为，且，则的最大值为_8如图，在ABC中已知，且BC延长线上的点D足，则的最大值是_解三角形
2、的压轴小题练习题和详细的分析解答（1）1已知的内角、满足，面积满足，记、分别为、所对的边，则下列不等式一定成立的是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由条件化简得出，设的外接圆半径为，根据求得的范围，然后利用不等式的性质判断即可.【详解】的内角、满足，即，即，即，即，即，设的外接圆半径为，则，C、D选项不一定正确；对于A选项，由于，A选项正确；对于B选项，即成立，但不一定成立.故选：A.【点睛】本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题2如图，的内角，的对边分别为，且满足，设，则四边形面积的
3、最大值为_.【答案】【解析】【分析】由，由正弦定理化简可得,可得，又，所以为等边三角形，可得，化简可得，求出的取值范围，可得四边形面积的最大值.【详解】解：由，以及正弦定理得：，由正弦定理得：，又，所以为等边三角形，当且仅当，即时，取最大值.【点睛】本题主要考查三角恒等变化及正弦定理、余弦定理解三角形及三角函数的性质，考查学生的综合计算能力，需牢记并灵活运用各定理解题，属于中档题.3如图所示，点，分别在菱形的边，上，面积的最小值为_【答案】【解析】【分析】设，由此表示出，利用正弦定理求得BM，BN，再由三角形面积公式表示的面积，从而由三角函数性质求得最小值.【详解】设，由题意可知，在和中，由正
4、弦定理，可得，所以，故，其中记，当且仅当时，取得最大值，此时取得最小值，故【点睛】本题考查由正弦定理解三角形进而表示面积，还考查了利用三角函数性质求最值，属于中档题.4已知的三个内角，的对边分别为，若，则的取值范围是_.【答案】.【解析】【分析】先利用二倍角公式化简换成边的关系，求得的范围，根据正弦函数的单调性即可求其取值范围.【详解】由，可知，三角形是锐角三角形，由正弦定理可知，可得，.故答案为：【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、正弦定理，辅助角公式以及正弦函数的单调性，掌握相关公式与性质是解题的关键，属于基础题.5设的内角，的对边分别为，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则；若，
5、则.其中正确的是_.（写出所有正确命题的编号）【答案】【解析】【分析】直接可以用余弦定理得出，用余弦定理和可求出的范围，中将变形为，可得，即，可得出，和运用基本不等式可向进行转化.【详解】因为所以余弦定理得所以，故正确因为所以所以，故错误因为所以所以所以即，故，故正确因为，所以所以因为，所以由知，故错误因为所以，因为所以由知，故正确故答案为：【点睛】本题考查的是用余弦定理和基本不等式来判断三角形中角的范围，较难.6如图，为的边上一点，当取最小值时，的面积为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】设，则，在中，运用余弦定理可得，再由，得，代入根据二次函数的最值可求得当时，有最小值，从而求得此时三角
6、形的面积.【详解】设，则，在中，又，整理得，当时，有最小值，此时取最小值，此时，所以.故选：C.【点睛】本题考查解三角形的余弦定理，二次函数的最值，三角形的面积公式，关键在于表示BD的长，求得何时BD取得最小值，属于中档题.7已知的内角所对边分别为，且，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将化为，然后利用三角形内角和定理将用代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得，再由同角三角函数关系可得，将其代入展开式消去，结合基本不等式即可求出的最大值【详解】因为，由正弦定理得，又，所以，即，所以，所以，当或时，等式不成立，所以，所以，所以又，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定8如图，在ABC中已知，且BC延长线上的点D足，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】根据条件利用余弦定理写出，变形并结合正弦定理可得，再由正弦定理及题意得，化简得，利用余弦定理及重要不等式可得，由三角函数性质求出角的最值.【详解】因为，所以因为，所以因为，所以所以所以因为，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立又因为，所以故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形，三角函数恒等变形，重要不等式，属于难题.
