湘豫名校联考2023届高三5月三模理科数学试卷+答案.pdf

1、数学(理科)参考答案 第1 页(共9页)湘 豫 名 校 联 考2 0 2 3年5月高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案题号1234567891 01 11 2答案CCBBCDDCDAAB一、选择题:本题共1 2小题,每小题5分,共6 0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C【命题意图】本题考查元素与集合的关系,考查数据分析的核心素养.【解析】因为U=1,2,3,4,5,UA=2,4,所以A=1,3,5.又UB=3,4,所以B=1,2,5.所以3A,3B.故选C.2.C【命题意图】本题考查复数相等,考查数学运算的核心素养.【解析】由i3=a-bi(a,bR),得-i=a

2、-bi.所以a=0,b=1.所以a+b=1.故选C.3.B【命题意图】本题考查向量的投影,考查直观想象、数学运算的核心素养.【解析】由题知,向量b=a+b-a=(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以ab=-2+1 2=1 0.又|b|=4+1 6=2 5.所以向量a在向量b方向上的投影为ab|b|=1 02 5=5.故选B.4.B【命题意图】本题考查排列组合、古典概型,考查逻辑推理、数学运算的核心素养.【解析】依题意,可得三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为C13C24C222+C14C33()A2234=3 3+4()234=1 42 7.故选B.5.C【命题意图】本题考

3、查双曲线的标准方程,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】设双曲线C1的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0)或y2a2-x2b2=1(a0,b0),因为C1和C2有相同的焦距,双曲线C2:x27-y2=1的焦距为4 2,所以双曲线C1的焦距2c=4 2.若C1的焦点在x轴上,将点(3,1)代入x2a2-y2b2=1(a0,b0),得32a2-12b2=1.又a2+b2=c2=8,联立两式得a2=6,b2=2.所以双曲线C1的标准方程为x26-y22=1.若C1的焦点在y轴上,将点(3,1)代入y2a2-x2b2=1(a0,b0),得12a2-32b2=1.又a2+b2=c2=8,联立

4、两式得a2=9-7 3,b2=7 3-1,所以双曲线C1的标准方程为y29-7 3-x27 3-1=1.综上所述,双曲线C1的标准方程为x26-y22=1或y29-7 3-x27 3-1=1.故选C.6.D【命题意图】本题考查四个平均数的大小关系,基本不等式的性质,考查数学运算的核心素养.【解析】方 法一:a ba+b2()2=14(当 且仅 当a=b时 取 等 号),A正 确;易 知a+b2a2+b22,则12a2+b22,即a2+b212(当且仅当a=b时取等号),B正确;由题得1a+1b+1=11-b+1b+1=21-b2,1-b2(0,1),故1a+1b+12,C正确;易知a+b2a+

5、b2=12,即a+b 2(当且仅当a=b时取等数学(理科)参考答案 第2 页(共9页)号),D错误.故选D.方法二(特殊情况):取a=b=12,则a+b=12+12=2,故D错误.故选D.7.D【命题意图】本题考查程序框图,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】执行程序框图,第一次循环:15,M=12+12=2,b=2,a=0,n=2;第二次循环:25,M=02+22=4,b=1,a=2,n=3;第三次循环:35,M=22+12=5,b=3,a=3,n=4;第四次循环:45,退出循环,输出M=2 7 2.故选D.8.C【命题意图】本题考查二项式定理,考查数学运算的核心素养.【解析】1y+x

6、()(x+3y)6=1y(x+3y)6+x(x+3y)6.(x+3y)6的展开式的通项为Tr+1=Cr6x6-r(3y)r=Cr63rx6-ryr.因为1y(x+3y)6的展开式中没有x4y3项,x(x+3y)6的展开式中x4y3项为xC3633x3y3=5 4 0 x4y3,所以1y+x()(x+3y)6的展开式中x4y3的系数为5 4 0.故选C.9.D【命题意图】本题考查等差数列的基本运算,数列的前n项和,考查数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,则由a1+a8=2a5-2,a3+a1 1=2 6,得a1+a1+7d=2(a1+4d)-2,a1

7、+2d+a1+1 0d=2 6,化简得7d=8d-2,2a1+1 2d=2 6,解得a1=1,d=2.所以an=1+(n-1)2=2n-1.设数列anc o sn的前n项和为Sn,则S20 2 2=-a1+a2-a3+a4-a20 2 1+a20 2 2=(a2-a1)+(a4-a3)+(a20 2 2-a20 2 1)=10 1 1d=20 2 2.故选D.1 0.A【命题意图】本题考查三棱锥的外接球的体积,考查直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】在P A Q中,设A Q=x,则P Q=x2+(2)2=x2+2.所 以P A Q的周长为2+x+x2+21+2+3.所以x2+21+

8、3-x,不等式两边平方,得x2+24+2 3-2(1+3)x+x2,解得x1,即A Q的最小值是1.所以点A到边B C的距离为1.当A Q取最小值时,因为在R tA B Q中,A B=2,所以B A Q=6 0 .又B A C=6 0,所以C,Q两点重合,所以A C B=9 0,即A CB C.又P A平面A B C,B C平面A B C,所以P AB C.因为P AA C=A,所以B C平面P A C.因为P C平面P A C,所以B CP C.因为P B是R t P A B和R t P C B的公共斜边,所以P B为三棱锥P A B C的外接球的直径,设外接球的半径为R,则R=12P B=

9、12P A2+A B2=12(2)2+22=62,所以三棱锥P A B C的外接球的体积V=43R3=43623=6 .故选A.1 1.A【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直观想象、数学抽象和逻辑推理的核心素养.【解析】如图,不妨设点A在x轴上方,由抛物线的定义可知|A F|=|AM|,因为FMD=3 0,所以AMF=9 0 -3 0 =6 0,所以AMF是正三角形.由y2=4x可知F(1,0),D(-1,0),设A(xA,yA),B(xB,yB),因为FMD=3 0,|D F|=2,所以|DM|=23,|M F|=|AM|=4.所以xA=4-1=3.所以点A的坐标为(3,2 3

10、),所数学(理科)参考答案 第3 页(共9页)以直线A B的方程为y-2 30-2 3=x-31-3,整理得y=3x-3.由y=3x-3,y2=4x,得3x2-1 0 x+3=0,解得xA=3,xB=13.将xB=13代入直线A B的方程,得yB=313-3=-233.所以点B的坐标为13,-233.所以S四边形A MD B=S四边形A MD F+SB D F=12(2+4)2 3+1222 33=2 0 33.故选A.1 2.B【命题意图】本题考查通过构造函数,利用导数比较大小,考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.【解析】a=11+e2=1-11e2+1,b=1e=1e2,c=l n1+e2e

11、2=l n1e2+1(),令f(x)=x-l n(x+1),0 x0,所以f(x)在(0,1)上单调递增.所以f(x)f(0)=0,即x l n(x+1).令g(x)=l n(x+1)-1+1x+1,0 x0,所以g(x)在(0,1)上单调递增.所以g(x)g(0)=0,即l n(x+1)1-1x+1.又当0 xx,所以当0 xxl n(x+1)1-1x+1.所以当x=1e2时,1e21e2 l n1e2+1()1-11e2+1,即bca.故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共2 0分.1 3.1 4x-y-8=0【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.

12、【解析】由题得f(x)=6x2+8x,所以曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为f(1)=1 4.又f(1)=6,所以曲线f(x)=2x3+4x2在点(1,f(1)处的切线方程为y-6=1 4(x-1),即1 4x-y-8=0.1 4.3(答案不唯一,答对即可得分)【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系,考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.【解析】因为 圆 心C(a,1)到 直 线l的 距 离d=|a-1|12+(-1)2=|a-1|2,所 以r=d2+|A B|2()2=|a-1|22+(2)2,即r2=|a-1|22+2.由题意,得|a-1|22必为整数,且0|a-1|2r

13、,所以可取a=-1或a=3,此时r=2.因此a的值可以取3.1 5.7或8(只答一个不得分)【命题意图】本题考查等比数列的基本运算,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】由题可知a40,因为8a7=a4,所以q3=a7a4=18,解得q=12.又S6=2 5 2,所以a11-12()61-12=2 5 2,解得a1=1 2 8.所以an=1 2 812()n-1.令an=1 2 812()n-11,得n8.又a8=1 2 812()7=1,所以当n=7或8时,a1a2an最大.1 6.1 5 【命题意图】本题考查正弦函数的图象与性质,考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.【解析】由题

14、图知A=2.由f3 4-x()=f(x)知,函数f(x)的图象关于直线x=3 8对称.则由图象可知3 8-8()=K2T(KN*),解得T=K(KN*).又82.所以K=1,最小正周期T=.所以=2 T=2.所以f(x)=2 s i n(2x+).因 为函 数f(x)的 图 象 经 过 点-8,-2(),所 以f-8()=数学(理科)参考答案 第4 页(共9页)2 s i n-4+()=-2,解 得=-4+2k(kZ).又|2,所 以=-4,所 以f(x)=2 s i n 2x-4().设方程f(x)=1在(0,)上的8个根从小到大依次为x1,x2,x8.令2x-4=2,则x=3 8.根据f(

15、x)的图象的对称性,可得x1+x22=3 8.由f(x)的周期性可得x3+x42=3 8+T=1 1 8,x5+x62=3 8+2T=1 9 8,x7+x82=3 8+3T=2 7 8,所以8i=1xi=23 8+1 1 8+1 9 8+2 7 8()=1 5 .三、解答题:共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 72 1题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2 2、2 3题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共6 0分.1 7.【命题意图】本题考查解三角形,三角形的面积与周长,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】(1)因为3as i nC+cc o sA=a+b

16、,所以由正弦定理得3 s i nAs i nC+s i nCc o sA=s i nA+s i nB.1分因为B=-A-C,所以s i nB=s i n(-A-C)=s i n(A+C)=s i nAc o sC+c o sAs i nC,所以3 s i nAs i nC=s i nAc o sC+s i nA.3分因为A(0,),所以s i nA0,所以3 s i nC=c o sC+1,即3 s i nC-c o sC=1.4分所以2 s i nC-6()=1,即s i nC-6()=12.5分又C(0,),所以C=3.6分(2)因为A B C的面积为3,所以12a bs i nC=3.由

17、(1)知C=3,所以a b=4.8分由余弦定理得c2=a2+b2-2a bc o sC,又c=2,所以a2+b2=8.1 0分由解得a=b=2.1 1分故A B C的周长为a+b+c=6.1 2分1 8.【命题意图】本题考查独立性检验思想、离散型随机变量的分布列与数学期望,考查逻辑推理、数学运算、数据分析的核心素养.【解析】(1)因为套餐价格在8 9 8,14 9 8 内的频率为(0.0 0 10 0+0.0 0 05 0+0.0 0 02 5)2 0 0=0.3 5,所以选择“尊享套餐”的客户有0.3 52 0 0=7 0(名).2分完善22列联表如下:选择“尊享套餐”选择“普通套餐”合计年

18、龄不低于4 5岁5 07 01 2 0年龄低于4 5岁2 06 08 0合计7 01 3 02 0 0K2的观测值k=2 0 0(5 06 0-7 02 0)21 2 08 07 01 3 05.8 6 10),则A(2,0,0),A1(2,0,a),B1(0,3,a),D0,0,4a1 3().数学(理科)参考答案 第6 页(共9页)所以A B1=(-2,3,a),AD=-2,0,4a1 3(),A A1=(0,0,a).2分设平面A B1D的法向量为m=(x,y,z),由mA B1=-2x+3y+a z=0,mAD=-2x+4a z1 3=0,得x=2a z1 3,y=-3a z1 3.令

19、z=1 3,得平面A B1D的一个法向量为m=(2a,-3a,1 3).3分设平面A B B1A1的法向量为n=(x,y,z),由nA B1=-2x+3y+a z=0,nA A1=a z=0,得y=23x,z=0.令x=3,得平面A B B1A1的一个法向量为n=3,2,0().4分因为mn=6a-6a+0=0,所以mn.5分所以平面A B1D平面A B B1A1.6分(2)因为直三棱柱A B C A1B1C1的体积为3 92,所以1223C C1=3 92,解得C C1=1 32.所以C D=2,C1D=92.7分由题知C C1平面A B C,又A C平面A B C,B C平面A B C,所

20、以C C1A C,C C1B C.以点C为原点,以C A,C B,C C1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B10,3,1 32(),D(0,0,2),所以A B1=-2,3,1 32(),AD=(-2,0,2).8分设平面A B1D的法向量为u=(x1,y1,z1),由uA B1=-2x1+3y1+1 32z1=0,uAD=-2x1+2z1=0,得y1=-32z1,x1=z1.令z1=2,得平面A B1D的一个法向量为u=(2,-3,2).9分易知平面B B1D的一个法向量为v=(1,0,0),1 0分设二面角A B1D B的大小为,则c o s

21、=uv|u|v|=(2,-3,2)(1,0,0)1 7 1=2 1 71 7.易知为锐角,所以二面角A B1D B的余弦值为2 1 71 7.1 2分2 0.【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、三角形的周长等,考查直观想象和数学运算的核心素养.【解析】(1)依题意,MNF2的周长为|MF2|+|MN|+|NF2|=|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=1 2,解得a=3.1分数学(理科)参考答案 第7 页(共9页)设椭圆C的半焦距为c,因为椭圆C的离心率为23,所以e=ca=23,即c3=23,解得c=2.2分因为a2=b2+c2,所以b=a2-c2=32

22、-22=5.3分所以椭圆C的标准方程为y29+x25=1.4分(2)由(1)知,F1(0,2),A(0,3).易知直线l的方程为y=k x+2(k0).5分由y=k x+2,y29+x25=1,消去y得(5k2+9)x2+2 0k x-2 5=0,0.6分设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2 0k5k2+9,x1x2=-2 55k2+9.7分所以k1=y1-3x1=k x1+2-3x1=k x1-1x1,k2=y2-3x2=k x2+2-3x2=k x2-1x2.8分所以k1+k2=k-1x1+k-1x2=2k-x1+x2x1x2=65k.k1k2=k-1x1()k-1x2

23、()=k2-kx1+x2x1x2+1x1x2=-92 5.所以1k1+1k2=k1+k2k1k2=-1 03k.1 1分所以1k1k1+1k2()=-1 03,为定值.1 2分2 1.【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查利用导数解决不等式恒成立问题,考查逻辑推理、数学运算的核心素养.【解析】(1)由f(x)=ex-s i nx-c o sx-12a x2,得f(x)=ex-c o sx+s i nx-a x.1分所以曲线y=f(x)在点4,f4()()处的切线的斜率为f 4()=e4-4a.2分所以e4-4a=e4-,解得a=4.4分(2)由(1)知,f(x)=ex-c o sx+s i

24、nx-a x,所以不等式f(x)l n(1-x),即ex-c o sx+s i nx-a x-l n(1-x)0对任意x(-,1)恒成立.5分令g(x)=ex+s i nx-c o sx-a x-l n(1-x)(x1),则g(x)=ex+c o sx+s i nx-a+11-x.6分因为g(x)0,g(0)=0,所以x(-,1),g(x)g(0),即g(0)为g(x)的最小值,x=0为g(x)的一个极小值点.所以g(0)=e0+c o s0+s i n0-a+11-0=0,解得a=3.7分当a=3时,g(x)=ex+s i nx-c o sx-3x-l n(1-x)(x1),所以g(x)=e

25、x+c o sx+s i nx-3+11-x=ex+2 s i nx+4()-3+11-x.8分数学(理科)参考答案 第8 页(共9页)令(x)=ex+11-x-3,h(x)=2 s i nx+4(),易知(x)在(-,1)上单调递增.当0 x1时,(x)m i n=(0)=-1,h(x)m i n=h(0)=1,所以g(x)g(0)=0(当且仅当x=0时等号成立),所以g(x)在0,1)上单调递增.9分当x0时,若-2x0,则(x)(0),h(x)h(0),所以g(x)g(0)=0;若x-2,则(x)-2()=e-2+2+2-3,h(x)2,所以g(x)e-2+2-3+2+212+32-3+

26、2+20.设A,B两点所对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=3 3,t1t2=6,8分所以t10,t20.所以1|P A|+1|P B|=1|t1|+1|t2|=1t1+1t2=t1+t2t1t2=3 36=32.1 0分2 3.【命题意图】本题考查绝对值不等式的求解,绝对值不等式恒成立问题,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.数学(理科)参考答案 第9 页(共9页)【解析】(1)当a=2时,f(x)=|x+4|+|x-4|,1分不等式f(x)1 3,即为|x+4|+|x-4|1 3.则x-4,-(x+4)-(x-4)1 3,或-4x4,(x+4)-(x-4)1 3,或x4,(x+4)+(x-4)1 3.3分解得-1 32x-4或-4x4或4x1 32.4分故不等式f(x)1 3的解集为-1 32,1 32.5分(2)f(x)=|x+4|+|x-2a|x+4-(x-2a)|=|2a+4|(当且仅当(x+4)(x-2a)0时等号成立)6分因为f(x)a2+5a恒成立,所以|2a+4|a2+5a.7分所以2a+4a2+5a或2a+4-(a2+5a).8分由解得-4a1,由解得-7-3 32a-7+3 32.9分综上所述,-7-3 32a1,故实数a的取值范围是-7-3 32,1.1 0分