1、名师第七讲 二次根式的运算 式子 (0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础 (1) (0)； (2) ()； (3) ()； (4)(0) 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等例题求解【例1】 已知，则= (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手 注： 二次根式有如下重要性质： (
2、1)，说明了与、一样都是非负数； (2) (0)，解二次根式问题的途径通过平方，去掉根号有理化； (3) ，揭示了与绝对值的内在一致性著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题 【例2】 化简，所得的结果为（ ） A B CD (武汉市选拔赛试题) 思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式 注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律 【例3】计算： （1）； （2）； （3）； 思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复
3、杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口【例4】 (1)化简； (北京市竞赛题)(2)计算 (“希望杯”邀请赛试题)(3) 计算 (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题) 思路点拨 （1）把4+2万与42分别化成一个平方数化简，此外，由于4+2与42是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题 【例5】 已知，求的值 (山东省竞赛题)思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未
4、知量的值呢?考虑从配方的角度试一试学历训练1如果，那么= (四川省竞赛题)2已知，那么的值为 (成都市中考题)3计算= (天津市选拔赛试题)4若 ab0，则等式飞成立的条件是 (淄博市中考题)5如果式子 化简的结果为，则x的取值范围是( ) Ax1 Bx2 C1x2 Dx 0 (徐州市中考题)6如果式子 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A B C D7已知，则的值为( ) A B C D8已知，那么的值等于（ ）A B C D3 9计算： (1)； （2）； (北京市数学竞赛题)（3）；（4） (“希望杯”邀请赛试题) 10(1)已知与的小数部分分别是a和b，求ab3a+4b+8的
5、值； (2)设，n为自然数，如果成立，求n11如图，某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响 （1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (供选用数据：，) (贵阳市中考题)12已知，那么= (T1杯全国初中数学联赛题)13若有理数x、y、z满足，则= (北京市竞赛题)14设，其中a为正整数，b在0，1之间，则= 15正数m、n满足，则=
6、 (北京市竞赛题)16化简等于( ) A54 B4一1 C 5 D1 (全国初中数学联赛题)17若，则等于( ) A B C1 D1 (2004年武汉市选拔赛试题)18若都是有理数，那么和面( ) A都是有理数 B一个是有理数，另一个是无理数 C都是无理数 D有理数还是无理数不能确定 (第13届“希望杯”邀请赛试题)19下列三个命题： 若，是互不相等的无理数，则+是无理数； 若，是互不相等的无理数，则是无理数； 若，是互不相等的无理数，则是无理数其中正确命题的个数是( ) A 0 B1 C2 D3 (全国初中数学联赛试题)20计算：（1）； （ “希望杯”竞赛题）（2）； （山东省竞赛题）（3）；（四川省选拔赛题）(4)； (5) (新加坡中学生数学竞赛题)21(1)求证；(2)计算（“祖冲之杯”邀请赛试题）22(1)定义，求的值；(2)设x、y都是正整数，且使，求y的最大值 (上海市竞赛题 )23试将实数改写成三个正整数的算术根之和 (2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)24求比大的最小整数 (西安交通大学少年班入学试题)第7页（共7页）
