(北师大版)福州市九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷(含答案解析).doc

1、一、选择题1如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑1米到时，梯脚滑到，与地面的夹角为，若，米，则 （ ）ABCD2近日，重庆观音桥步行街惊现震撼的裸眼3D未来城市，超清LED巨幕，成功吸引了广大市民络绎不绝的前来打卡，一时间刷爆朋友圈萱萱想了解该LED屏GH的高度，进行了实地测量，她从大楼底部E点沿水平直线步行30米到达自动扶梯底端D点，在D点用仪器测得屏幕下端点H的仰角为36然后她再沿着i=4：3长度为40米的自动扶梯到达扶梯顶端C点，又沿水平直线行走了40米到达B点，在B点测得屏幕上端点G的仰角为50（A，B，C，D，E，H，G在同一个平面内，且B，C和A，D，E分别在同一水平

2、线上），则该LED屏GH的高度约为（ ）（结果精确到 0.1，参考数据sin360.59，cos360.81，tan360.73，sin500 .77，tan501.19）A122.0 米B122.9米C111.0米D111.9米3尚本步同学家住“3D魔幻城市”重庆，他决定用所学知识测量自己居住的单元楼的高度如图，小尚同学从单元楼CD的底端D点出发，沿直线步行42米到达E点，在沿坡度i=1：0.75的斜坡EF行走20米到达F点，最后沿直线步行30米到达隔壁大厦的底端B点，小尚从 B点乘直行电梯上行到顶端A点，从A点观测到单元顶楼C的仰角为28，从点A观测到单元楼底端的俯角为37 ，若A、B、C

3、、D、E、F在同一平面内，且D、E和F、B分别在通一水平线上，则单元楼CD的高度约为（ ）（结果精确到0.1米，参考数据：sin28 0.47，cos28 0.88，tan28 0.53，sin37 0.6，cos37 0.8，tan37 0.75）A79.0米B107.5米C112.6米D123.5米4在RtABC中，若C=90，BC=2AC，则cosA的值为（ ）ABCD5在RtABC中，C=90，AB=3BC，则sinB的值为（）ABCD6如图，边长为的等边三角形的顶点在轴的正半轴上，点为的中心，将绕点以每秒的速度逆时针旋转，则第2021秒，的中心的对应点的坐标为（ ）ABCD7在中，则

4、的值为（ ）ABCD8如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（ ）A2B3CD9如图，一个斜坡长130，坡顶离水平地面的距离为50，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（ ）ABCD10如图，斜坡的坡比为12.4，在坡顶A处的同一水平面上有一座高楼，在斜坡底P处测得该楼顶B的仰角为45，在坡顶A处测得该楼顶B的仰角为76，楼高为，则斜坡长度约为（点P、A、B、C、Q在同一个平面内，）（ ）ABCD11如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（ ）AB3CD212如图，菱形ABCD的边长是2，B=120，P是对角线AC上一个动点，E是CD

5、的中点，则PEPD的最小值为（ ）ABC2D二、填空题13在RtABC中，BCA90，CD是AB边上的中线，BC8，CD5，则tanACD _ 14如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于_15如图，在24的方格中，两条线段的夹角（锐角）为1，则sin1=_16如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，AB9，AC6，则cosDCB _ 17如图所示，在四边形中，将线段绕点逆时针旋转90，并延长至其倍（即），过点作于点，当，时，边的长是_18如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB11，ODB160，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1

6、B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，依次进行下去，则点A2020的横坐标是_19如图，在山坡上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6m测得斜坡的斜面坡度为i1：（斜面坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比），则斜坡相邻两树间的坡面距离为_20直角三角形ABC中，B90，若cosA，AB12，则直角边BC长为_三、解答题21如图，在矩形ABCD中，BE交AD于点E且平分ABC，对角线BD平分EBC（1）求的值（2）求22计算下列各小题（1）；（2）23如图，等腰Rt

7、ABC和等腰RtACD直角边AC重合，ACB=CAD=90，点E在AD边上，连接CE，过C作CFCE，且CF=CE，连接印交AC于点H，取CD的中点G，连接HG交CE于点P（1）如图1，若CHF=75，CH=2，求DH的长：（2）如图2，求证：HGCE（3）如图3，若点E在DA边上运动，延长DC至点M，使得DC=4CM，连接PM，将线段PM绕点M顺时针旋转60得到线段NM，连接PN，取PN中点Q，连接CQ、DQ，若AC=8，直接写出线段DQ的最小值及此时CDQ的面积24某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从处平行飞行至处需10秒，在地面处同一方向上分别测得处的仰角为，处的仰角为，已知

8、无人飞机的飞行速度为5米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）25先化简，再求值：，其中26如图，中，分别是的高和中线，过点作的垂线交的延长线于点（1）求证：（2）若，求的长【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析：B【分析】根据设OA=4k，则OB=3k，AB=5k，从而表示=4k-1，=3k+1，在中，由勾股定理，求得k值，后根据三角函数的定义计算即可【详解】，设OA=4k，则OB=3k，AB=5k，=4k-1，=3k+1，在中，解得k=1，=故选B【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，熟练用未知数表示锐角三角函数中的对应线段是解题的关键2A解析：A【分析】作C

9、MAE于M，设射线BC交GE于N，则CN=ME=DM+DE，CM=NE=NH+EH，由三角函数定义求出EH=21.9米，由坡度求出DM=24米，NE=CM=32米，得出CN=54米，BN=94米，再由三角函数定义求出GN111.86米，得出GE=143.86米，即可得出答案【详解】解：作CMAE于M，设射线BC交GE于N，如图所示：则CN=ME=DM+DE，CM=NE=NH+EH，由题意得：GBN=50，BC=DC=40米，DE=30米，EDH=36，tanEDH，EH=DEtanEDH300.73=21.9（米），DC的坡度为4：3，米，米，CN=ME=DM+DE=24+30=54（米），B

10、N=BC+CN=40+54=94（米），tanGBN，GN=BNtanGBN941.19111.86（米），GE=GN+NE=111.86+32=143.86（米），GH=GE-EH=143.86-21.9121.96122.0 （米）；故选：A【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形是解题的关键3B解析：B【分析】作EGBF交BF的延长线于G，AKCD于K延长DE交AB于H，解直角三角形求出CK、AH即可解决问题【详解】解：作EGBF交BF的延长线于G，AKCD于K延长DE交AB于H，如图，则四边形AKDH是矩形，AK=DH，K

11、D=AH， 设EG=4x，则FG=3x，由勾股定理得，EF=20m 解得，（负值舍去）EG=16m，FG=12mDE=42m，BF=30mDH=DE+FG+BF=84m，AK=84m；在RtADH中，ADH=37tan37=,AH=DHtan37=840.75=63（m）同理，在RtAKC中，KAC=28tan28=,CK=AKtan28=840.53=44.52（m）CD=CK+DK=63+44.52=107.5107.5(m)故选：B【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题4D解析：D【分析】设AC=

12、k，则BC=2k，AB=，根据三角函数的定义计算即可.【详解】如图，设AC=k，则BC=2k，根据勾股定理，得AB= =，cosA=，故选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟记三角函数的定义，并灵活运用勾股定理是解题的关键.5D解析：D【分析】设BC=a，则AB=3a，根据勾股定理求出AC，再根据正弦的定义求sinB【详解】解：设BC=a，则AB=3a，sinB=，故选：D【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，解题关键是明确三角函数的意义，通过设参数，求出需要的边长6B解析：B【分析】通过计算画出第2021秒，的位置，过C作CDx轴于点D，连接OC，BC，求出DC的长，即可求解【详解】360

13、60=6，的位置6秒一循环，而2021=6336+5，第2021秒，的位置如图所示，设点C的对应点C，过C作CDx轴于点D，连接OC，BC，则DOC=30，OD=DB=，DC=ODtanDOC=tan30=1，C故选B【点睛】本题主要考查图形于=与坐标，等边三角形的性质，锐角三角函数，找到图形的变化规律，画出图形，是解题的关键7C解析：C【分析】先根据勾股定理求得AC，再根据正弦的定义求解即可；【详解】在中，,，；故答案选C【点睛】本题主要考查了勾股定理与解直角三角形，准确理解计算是解题的关键8D解析：D【分析】先画出俯视图，利用主视图与左视图，求出边长AB，构造三角形ABC与三角形ABE，利

14、用三角函数解直角三角形即可【详解】由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图，由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD是6，BF=3，则边长AB为3，连AC交BD于E，则ACBD，由左视图得AE=CE=x，在ABC中，AB=BC=3，ABC=120，在RtABE中，BAE=30，AB=3，BE=，AE=ABcos30=，即x=故选择：D.【点睛】本题考查了正六棱柱的三视图，掌握三视图中俯视图的画法，利用主视图与左视图画出准确的俯视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答培养了学生的空间想象能力9C解析：C【分析】如图（见解析），先利用勾股定理求出AC的

15、长，再根据正切三角函数的定义即可得【详解】如图，由题意得：是斜坡与水平地面的夹角，由勾股定理得：，则，即这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于，故选：C【点睛】本题考查了勾股定理、正切，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键10C解析：C【分析】先延长BC交PD于点D，在RtABC中，tan76=，BC=18求出AC，根据BCAC，ACPD，得出BEPD，四边形AHEC是矩形，再根据BPD=45，得出PD=BD，过点A作AHPD，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，得出，设AH=5k，则PH=12k，AP=13k，由PD=BD，列方程求出k的值即可【详解】解：延长BC交PQ于点DBCAC，ACPQ，BD

16、PQ四边形AHDC是矩形，CD=AH，AC=DHBPD=45，PD=BD在RtABC中，tan76=，BC=18米，AC=4（米）过点A作AHPQ，垂足为点H斜坡AP的坡度为1：2.4，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k由PH+HD=BC+CD得：12k+4=5k+18，解得：k=2，AP=13k=26（米）故选：C【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形11B解析：B【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得AD、AC的值，进而可得ADC是等腰直角三角形，进而可得ADCD，根据相似三角形的判

17、定和性质可得PC2DP，根据等量代换和线段和差可得ADCD3DP，继而即可求解【详解】解析 设小正方形的边长为1，由图形可知，是等腰直角三角形，故选B【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性质以及锐角三角函数此题难度适中，注意转化思想与数形结合思想的应用12B解析：B【详解】四边形ABCD是菱形，点B与点D关于直线AC对称.如图，连接BE与AC相交于点P，由轴对称确定最短路线问题，BE的长度即为PE+PD的最小值，连接BD.B=120，BCD=180120=60.又BC=CD，BCD是等边三角形.E是CD的中点， .故选B. 二、填空题13【分析】

18、过D作于点E则DE是的中位线即可求得DE的长在直角利用勾股定理即可求得EC的长根据正切的定义即可求解【详解】如图过D作于点E则CD是AB边上的中线DE是的中位线在直角中故答案为：【点解析：【分析】过D作于点E，则DE是的中位线，即可求得DE的长，在直角 ，利用勾股定理即可求得EC的长，根据正切的定义即可求解【详解】如图，过D作于点E，则，CD是AB边上的中线，DE是的中位线，在直角中，故答案为：【点睛】本题主要考查了正切的定义，三角形的中位线定理，正确作出辅助线，把求三角函数值的问题转化为求直角三角形的边的比值，是解题的关键143【分析】根据勾股定理以及网格结构可以求得ACABBCCD的长然后

19、根据等积法求得AE的长再根据勾股定理可得到CE的长然后根据正切函数的定义即可得到的值【详解】解：如图作CDAB于点D作AEBC于解析：3【分析】根据勾股定理以及网格结构，可以求得AC、AB、BC、CD的长，然后根据等积法求得AE的长，再根据勾股定理可得到CE的长，然后根据正切函数的定义即可得到的值【详解】解：如图，作CDAB于点D，作AEBC于点E，由已知可得，AC=，AB=5，BC=，CD=3，SABC=ABCD=BCAE，AE=CE=tanACB=，故答案为：3【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答15【分析】解：如图添加字母过A作ABED可得1=C

20、AB连结BC在ABC中由勾股定理AC=AB=BC=由AB2+BC2=5+5=10=AC2证得ABC=90由AB=BC可得CAB=45利解析：【分析】解：如图添加字母，过A作ABED，可得1=CAB，连结BC，在ABC中由勾股定理AC=，AB =，BC=，由AB2+BC2=5+5=10=AC2，证得ABC=90，由AB=BC可得CAB=45，利用三角函数定义sinCAB=。【详解】解：如图添加字母，过A作ABED，使AB=ED，1=CAB，连结BC，在ABC中，AC=，AB =，BC=，AB2+BC2=5+5=10=AC2，ABC=90，AB=BC，CAB=45，sinCAB，故答案为：【点睛】

21、本题主要考查了勾股定理及逆定理，以及锐角三角函数关系，正确得出是直角三角形是解题关键16【分析】首先利用等角的余角得到A=DCB然后根据余弦的定义求出cosA即可【详解】解：在RtABC中CDABDCB+B=90ACB90A+B=90A=DCB而解析：【分析】首先利用等角的余角得到A=DCB，然后根据余弦的定义求出cosA即可【详解】解：在RtABC中，CDAB，DCB+B=90，ACB90，A+B=90，A=DCB，而cosA=，cosDCB=故答案为：【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在RtABC中，C=90，我们把锐角A的邻边a与斜边c的比叫做A的余弦，记作cosA17【分析】由锐角

22、三角函数可求DEC=30通过证明ADEBDC可得由勾股定理可求AE的长即可求解【详解】解：如图连接BDAEDE将线段CD绕点C逆时针旋转90并延长至其倍DCE=90解析：【分析】由锐角三角函数可求DEC=30，通过证明ADEBDC，可得，由勾股定理可求AE的长，即可求解【详解】解：如图，连接BD，AE，DE，将线段CD绕点C逆时针旋转90，并延长至其倍，DCE=90，CECD，DEC=30，又DEC=DAB=30，DECDAB，ADB=EDC，ADE=BDC，ADEBDC，AD=6，AB=9，又BF=3，AF=6，故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，证明DEC

23、DAB是本题的关键18【分析】观察图形找到图形变化的规律利用规律求解即可【详解】解：OB11ODB160ODB1（10）OB1D30D（0）如图所示过A1作A1AOB1于A则OAOB1即A1的解析：【分析】观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可【详解】解：OB11，ODB160，OD，B1（1，0），OB1D30，D（0，），如图所示，过A1作A1AOB1于A，则OAOB1，即A1的横坐标为，由题可得A1B2B1OB1D30，B2A1B1A1B1O60，A1B1B290，A1B22A1B12，过A2作A2BA1B2于B，则A1BA1B21，即A2的横坐标为+1，过A3作A3CA2B3于

24、C，同理可得，A2B32A2B24，A2CA2B32，即A3的横坐标为+1+2，同理可得，A4的横坐标为+1+2+4，由此可得，An的横坐标为，点A2020的横坐标是，故答案为：【点睛】本题主要考查平面直角坐标系点的坐标规律及特殊三角函数值，关键是根据题意及三角函数值得到点的坐标规律即可194米【分析】首先根据斜面坡度为i1：求出株距（相邻两树间的水平距离）为6m时的铅直高度再利用勾股定理计算出斜坡相邻两树间的坡面距离【详解】由题意水平距离为6米铅垂高度2米斜坡上相邻两树间的坡面距解析：4米【分析】首先根据斜面坡度为i1：求出株距（相邻两树间的水平距离）为6m时的铅直高度，再利用勾股定理计算出

25、斜坡相邻两树间的坡面距离【详解】由题意水平距离为6米，铅垂高度2米，斜坡上相邻两树间的坡面距离（m），故答案为：4米【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键是掌握计算法则2016【分析】先利用三角函数解直角三角形求得AC20再根据勾股定理即可求解【详解】解：在直角三角形ABC中B90cosAAB12cosAAC20BC16故答案是：16解析：16【分析】先利用三角函数解直角三角形，求得AC20，再根据勾股定理即可求解【详解】解：在直角三角形ABC中，B90，cosA，AB12，cosA，AC20，BC16故答案是：16【点睛】此题主要考查勾股定理、锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的

26、定义是解题关键三、解答题21（1）；（2）【分析】（1）证明ABE是等腰直角三角形得，再证明得BE=DE，从而可得结论；（2）设，则，再求出AD的长，最后求出的值即可【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形BE平分ABC，ABE是等腰直角三角形，BD平分EBC（2）由（1）知，设，则在中，【点睛】此题主要考查了矩形的性质，等三角形的判定以及垗角的正切值，证明是解答此题的关键22（1）；（2）【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；【详解】（1） = = （2） = = 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键；2

27、3（1）；（2）证明见解析；（3），【分析】（1）作HKCD，根据角度及线段的长度关系即可求解（2）连接BF，作FLAC，可证，进而可证，可得H为FD的中点，HG为的中位线，从而可得HGFC，结论得证（3）可得为等边三角形，当E靠近D时，Q越靠近N，DQ越短,，故当E与D重合时，QD取得最小值，过点P作PKEQ，交EQ于点K，可分别求得、，通过+与的关系式，可求得DQ的最小值；过点C作CIPQ于点I，过点J作DJPQ交PQ的延长线于点J，利用的关系式可求CDQ的面积【详解】解：（1），作HKCD，CH=2，（2）连接BF，则，BC=AC，FC=CE，作FLAC，则FL=BC，FLAD，AD=B

28、C=FL，H为中点，G为中点，HG为的中位线，HGFC，HGCE（3）AC=8，DC=4CM，DC=，CM=，线段PM绕点M顺时针旋转60得到线段NM，为等边三角形，当E靠近D时，Q越靠近N，DQ越短,，故当E与D重合时，QD取得最小值，由CM=得，PC=PE=，PM=，PN=，PQ=，为等边三角形，过点P作PKEQ，交EQ于点K，则QK=PQ，EK=PE，EQ= PQ+PE，= +，同理可得：= +，= +，+得：+=+，=+，即+= +，EQ=，DQ=，过点C作CIPQ于点I，过点J作DJPQ交PQ的延长线于点J，=，=，=，=【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明及解直角三角形，解题的关

29、键是准确作出辅助线24这架无人机的飞行高度米【分析】如图，作ADBC，BH水平线，根据题意确定出ABC与ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长【详解】解：如图，作ADBC，BH水平线，由题意得：ACH=75，BCH=30，ABCM，ABC=30，ACB=45，AB=50m，AD=CD=25m，BD=ABcos30=m，BC=CD+BD=（+25）m，则BH=BCsin30=m，这架无人机的飞行高度米【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键25；【分析】直接将括号里面的进行通分运算进而利用分式的加减法则进行运算，再结合分式的除法法则进行计算即可，然后根据特殊的三角函数值求出a的值带入计算即可；【详解】原式 ，原式= ；【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊的三角函数值，正确掌握分式的混合运算和三角函数是解题的关键；26（1）见解析；（2）1【分析】（1）由可证，由是中线得AE=CE，所以，从而可得，结合可证；（2）证明，根据利用相似三角形的性质求得，从而可求出BF的值【详解】解：（1）证明：，又，又是中线，又（2）解：由（1）知又是的高，又，又，【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握相关性质是解答此题的关键