(压轴题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(含答案解析).doc

1、一、选择题1已知数列是等比数列，满足，数列是等差数列，且，则等于（ ）A24B16C8D42设等比数列的前项和为，且，若，则（ ）A，B，C，D，3已知数列满足，则数列的前项和（ ）ABCD4在等差数列an中，则此数列前30项和等于（ ）A810B840C870D9005在中，内角所对的边分别为，已知成等差数列，则的最小值为（ ）ABCD6已知递增的等差数列的前项和为，对于，不等式恒成立，则整数的最小值是（ ）ABCD7数列的通项公式是，若前项的和为，则项数为（）ABCD8已知数列的前项的和为，且，则（ ）A为等比数列B为摆动数列CD9已知椭圆=1(ab0)与双曲线=1(m0,n0)有相同的焦

2、点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是 ()ABCD10公元1202年意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，（）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记（），数列的前项和为，则（ ）A0B1C2019D202011设等差数列的前项和为，则（ ）ABCD12正整数数列满足：，则（ ）A数列中不可能同时有1和2019两项B的最小值必定为1C当是奇数时，D的最小值可能为2二、填空题13已知数列的首项，其前项和为，且满足，若数列是递增数列，则实

3、数的取值范围是_14在数列an中，已知a11，记Sn为数列an的前n项和，则S2019_15数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，的有个，则该数列第2020项是_16数列满足：，则数列的通项公式_.17等比数列前n项和为，若，则_.18已知数列的前项和为，且，则_.19若数列是正项数列，且，则_20记为等差数列的前项和，若，则_.三、解答题21已知数列的前项和为满足，数列是公比为正数的等比数列，满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）若，求数列的前项和.22已知各项为正数的等比数列，前项和为，若成等差数

4、列，数列满足，数列的前项和为（1）求的公比的值；（2）求的通项公式.23已知数列为等差数列，前项和为，数列为等比数列，公比为，且，.（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.24已知数列的各项均为正数，记数列的前项和为，数列的前项和为，且，.（1）求的值及数列的通项公式；（2）若有，求证：25已知等比数列的公比，并且满足，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，记为数列的前项和，求使成立的正整数的最小值.26已知等比数列满足，.（）求的通项公式；（）若，设（），记数列的前n项和为，求.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【分析】利用等比数

5、列和等差数列的性质计算【详解】数列是等比数列，又，又是等差数列，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的性质，掌握等差数列与等比数列的性质是解题关键对正整数，若，是等差数列，则，若是等比数列，则，特别地若，是等差数列，则，若是等比数列，则2B解析：B【分析】首先根据题中所给的条件，利用等比数列求和公式求出，分情况讨论求得，从而可以得到项之间的大小关系.【详解】设等比数列的公比为，由可得，若，则显然不成立，所以，所以，即，因为，所以，所以，当时，因为，则不可能成立，所以，所以，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等比数列求和公式将已知条件化简得到，结合求出的范围.3

6、B解析：B【分析】利用倒数法求出数列的通项公式，进而利用裂项相消法可求得.【详解】已知数列满足，在等式两边同时取倒数得，所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，则，因此，.故选：B.【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的4B解析：B【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为 ，选B.5A解析：A【解析】分析：用余弦定理推论得由成等差数列，可得 ，所以，利用重要不等式可得详解：因为成等差数列，所以 由余弦定理推论得 当且仅当时，上

7、式取等号故选A 点睛：本题考查等差中项、余弦定理的推论、重要不等式等知识，考查学生的运算能力及转化能力利用重要不等式、基本不等式求最值时，一定要判断能否取相等，不能相等时，应转化为函数求最值6C解析：C【分析】先求出等差数列的和，由等差数列前项和公式得，把拆成两项的差，用裂项相消法求得和，在变化时，求得的范围，得出结论【详解】是等差数列，由解得或，又是递增数列，由不等式恒成立，得，最小的整数故选：C【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题7C解析：C【解析】分析：由已知，利用裂项相消法求和后，令其等于，得到所满足的等量

8、关系式，求得结果.详解： ，数列的前项和 ，当时，解得，故选C.点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法-错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n的等量关系式，从而求得结果.8D解析：D【分析】利用已知条件求出数列的通项公式，再求出的前项的和为，即可判断四个选项的正误.【详解】因为，当时，解得：，当时，-得：，即，所以，所以是以为首项，为首项的等比数列，所以，所以，所以不是等比数列，为递增数列，故不正确，故选项不正确，选项正确.故选：【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.9D解析：

9、D【解析】由题意可知2n2=2m2+c2又m2+n2=c2，m=c是a，m的等比中项，选D10A解析：A【分析】由用递推式可得到值为-1，是等比数列，再求前2020项和.【详解】由题意可知，又，因此，故，故选：A.【点睛】本题考查了通过递推数列揭示数列存在的规律即等比数列，还考查了数列求和，属于中档题.11A解析：A【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式可得，变形可得，又由，变形可得，结合等差数列的性质分析可得答案.【详解】根据题意，等差数列中，则，变形可得，又由，则，则，又由，则，解可得.故选：A.【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力

10、，属于中等题.12A解析：A【分析】根据题意知，数列中的任意一项都是正整数，利用列举法直接写出数列中的项，进而可得结论.【详解】对于选项A，假设：，则后面依次为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132，66，33，36，18，9，12，6，3，6，3循环；假设：，则后面依次为：4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2循环，综上，数列中不可能同时有1和2019两项，故选项A正确；由选项A知，选项B、D都不对；对于选项C，令，则，所以，故选项C不正确.故选：A.【点睛】本题考查数列中的项数的求法，考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题.二、填空题13【分析

11、】利用退一作差法求得再求得根据列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由可得：两式相减得：两式相减可得：数列是以为公差的等差数列数列是以为公差的等差数列将代入及可得：将代入可得要使得恒成立只需要解析：【分析】利用退一作差法求得，再求得，根据列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】由可得：两式相减得：两式相减可得：数列，.是以为公差的等差数列，数列，.是以为公差的等差数列，将代入及可得：将代入可得要使得，恒成立只需要即可解得则的取值范围是.故答案为：【点睛】本小题主要考查已知求，考查数列的单调性，属于中档题.141010【分析】推导出从而得到数列是一个以4为周期的数列由此能求出的值【详解】数列中

12、；可以判断所以数列是一个以4为周期的数列故答案为：1010【点睛】本题考查数列的求和考查数列的周期性三角函数性质等解析：1010【分析】推导出，从而得到，数列是一个以4为周期的数列，由此能求出的值【详解】数列中，；可以判断，所以数列是一个以4为周期的数列.，故答案为：1010【点睛】本题考查数列的求和，考查数列的周期性、三角函数性质等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15【分析】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列然后计算原第2020项在这个数列的第几项再根据题意可得【详解】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列因为则2020项前共包含解析：【分析】

13、将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，然后计算原第2020项在这个数列的第几项，再根据题意可得.【详解】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列，因为，则2020项前共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，且第2016项的符号为负，故2020项为第64组第4个数字，由奇偶交替规则，其为.故答案为：.【点睛】本题考查数列创新问题，解题关键是把绝对值相同的数字归为一组，通过组数来讨论原数列中的项，这借助于等差数列就可完成，本题考查了转化思想，属于中档题.16【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为；当时；减得即所

14、以所以所以所以所以所以又所以当时也成立所以故答案为：【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数解析：【分析】当时，作差即可得到，再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为；当时，；减得，即，所以，所以，所以所以，所以，所以，又，所以，当时也成立，所以故答案为：【点睛】对于递推公式为，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为，一般利用累加法求出数列的通项公式；17【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为：【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的解析：【分析】根据等

15、比数列的性质得到成等比，从而列出关系式，又，接着用表示，代入到关系式中，可求出的值.【详解】因为等比数列的前n项和为，则成等比，且，所以，又因为，即，所以，整理得.故答案为：.【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。解决本题的关键是根据等比数列的性质得到成等比.188【分析】根据可得两式相减可得利用递推关系即可求解【详解】得当时故答案为：8【点睛】本题主要考查了数列的项与前n项和的关系考查了利用递推关系求数列的项属于中档题解析：8【分析】根据可得，两式相减可得，利用递推关系即可求解.【详解】，得，当时，故答案为：8【点睛】本题主要考查了数列的项与前n项和的关系，考查了

16、利用递推关系求数列的项，属于中档题.19【分析】有已知条件可得出时与题中的递推关系式相减即可得出且当时也成立【详解】数列是正项数列且所以即时两式相减得所以（）当时适合上式所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式属于一般题解析：【分析】有已知条件可得出，时，与题中的递推关系式相减即可得出，且当时也成立【详解】数列是正项数列，且所以，即 时两式相减得，所以（ ）当时，适合上式，所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题2014【分析】本题先求再求即可解题【详解】解：因为数列是等差数列所以解得所以故答案为：14【点睛】本题考查等差数列的基本量法是基础题解析：14【分析】本题

17、先求、，再求即可解题.【详解】解：因为数列是等差数列，所以，解得，所以故答案为：14【点睛】本题考查等差数列的基本量法，是基础题.三、解答题21（1），；（2）.【分析】（1）由可求得数列的通项公式，由已知条件计算出等比数列的公比，进而可求得等比数列的通项公式；（2）计算得出，利用裂项求和法可求得.【详解】（1）当时，；当时，.满足，所以，对任意的，.设等比数列的公比为，则，解得，；（2），.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中

18、是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.22（1）；（2）.【分析】（1）对正项的等比数列，利用基本量代换，列方程组，解出公比q；（2）设，由题意分析、计算得 ，从而得到，用累加法和错位相减法求出 .【详解】（1）成等差数列， ，即，又，又解得或(舍).记，当时，又也符合上式，.而，两式相减得，.而也符合上式，故.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和常用方法：公式法；倒序相加法；裂项相消法；错位相减法23（1），；（2）.【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件求出、的值，进而可求得数列与的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得.

19、【详解】（1）设等差数列的公差为，则，则，由可得，因此，；（2），.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.24（1），；（2）证明见解析【分析】（1）已知等式中令，可求得，在中用代，然后两式相减，得出的递推关系，从而可得其通项公式；（2）时，由，用放缩法求出后可证得不等式成立【详解】（1）在中令得，因为，所以，又由得得，即，因为，所以，于是有，得，所以时，又由，即，整理得，又，所以，所以所以

20、，所以通项公式为；（2）由（1），时，所以，所以【点睛】关键点点睛：本题考查由的关系式求通项公式，考查数列不等式的证明已知的关系一般可用转化为的递推式，然后求解与数列和有关的不等式的证明，在和不能直接求出时，可利用放缩法适当放缩后使得和能求出，从而证明不等式成立25（1）；（2）所求的正整数的最小值为.【分析】（1）由公比，并且满足，成等差数列直接用基本量代换求数列的通项公式；（2）先求出，用分组求和法求出，解不等式即可.【详解】（1）因为数列是公比为的等比数列，又由成等差数列，所以，解得，从而数列的通项公式为.（2）， 又是递增的，当时， 当时， 所以所求的正整数的最小值为.

21、【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)分组求和法进行数列求和适用于,分组后对和分别求和.26（）或；（）.【分析】（）设等比数列的公比为q，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项； （）由（）及已知可得和（），运用错位相减法可求得数列的和【详解】解：（）设等比数列的公比为q，由，可得，记为又因为，可得，即记为， 由可得或，故的通项公式为或（）由（）及可知，所以（），所以 得，所以【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若是等差数列，是等比数列，求.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有，等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.（5）倒序相加法.