1、1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.特别提醒 抛物线的定义中涉及一个定点和一条定直线,且要求这个定点不能在定直线上,否则轨迹就不再是一条抛物线,而是一条直线(过定点且与定直线垂直的直线).【做一做1】若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相等,则动点P的轨迹是()A.椭圆B.抛物线C.直线D.双曲线解析：由抛物线定义知,动点轨迹为抛物线.答案：B2.抛物线的标准方程 名师点拨 要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的
2、标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为2p;若一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就在x轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在x轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在y轴的负半轴上(开口向下).特别提醒 抛物线标准方程中参数p的几何意义:抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值永远大于0,当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现p0,焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定,系数为正,焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴.答案：(
3、1)C(2)D 求抛物线的标准求抛物线的标准方程方程【例2】根据下列条件求抛物线的标准方程.(1)经过点M(-8,4);(2)焦点在直线x+4y+6=0上;思路分析先根据题意确定焦点的位置,从而确定标准方程的形式,设出其标准方程,然后求出参数p的值,代入即得抛物线标准方程.解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴或x轴的负半轴上.设抛物线方程为x2=2py(p0)或y2=-2px(p0).将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p4或42=-2p(-8),解得2p=16或2p=2,故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.反思感悟 1.求抛物线标准方程的方法是“
4、先定型,后计算”.所谓“定型”,是指确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而得到抛物线的标准方程.2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:(1)注意开口方向与方程间的对应关系;(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样可以减少讨论情况的个数;变式训练变式训练2(1)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是()A.y=3x2或y=-3x2B.y=3x2C.y2=-9x或y=3x2D.y=-3
5、x2或y2=9x(2)若抛物线的准线与y轴平行,且焦点到准线的距离为3,则抛物线的标准方程为.答案：(1)D(2)y2=6x 思维辨析利用抛物线的定义解决轨迹利用抛物线的定义解决轨迹问题问题 答案：D反思感悟 根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后结合有关曲线的定义作出判定.变式训练变式训练3一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是.解析：设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因为动圆和直线l:x=-2相切,所以圆心M到直线l:x=-2的距离d=R,即圆心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等,故其轨迹是抛物线,且A是焦点,l是准线,并且有 =2,所以p=4,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=8x.答案：y2=8x 忽视抛物线标准方程的形式致误【典例】求抛物线x=-ay2(a0)的准线方程和焦点坐标.纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想方法的运用.跟踪训练跟踪训练设抛物线y=mx2(m0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.
