高等数学教学课件42未定式的极限.pptx

1、定理定理 1 1(洛必达法则洛必达法则)已知函数已知函数)(xf和和)(xg（1 1）在）在),(xN内可导，且内可导，且0)(xg，（2 2）)(limxfxx0 0，)(limxgxx0 0；（3 3）)()()(lim 或或Axgxfxx，则，则)()(limxgxfxx)()()(lim 或或Axgxfxx。4 4.2 2.1.1 00 型未定式型未定式 分析分析：证明洛必达法则要找到两个函数之比与这两个：证明洛必达法则要找到两个函数之比与这两个 函数的导数之比之间的联系，而柯西定理正是实现这函数的导数之比之间的联系，而柯西定理正是实现这 种联系的纽带。种联系的纽带。为了使函数为了使函

2、数)(xf和和 )(xg在在x 点点满足满足 柯西定理的条件，将函数柯西定理的条件，将函数)(xf和和 )(xg在在x 点点作连续作连续 开拓。开拓。这不影响定理的证明，因为函数这不影响定理的证明，因为函数)()(xgxf在在x 点点 的极限与函数的极限与函数)(xf和和)(xg在在x 点点的函数值无关。的函数值无关。证证明明：令令0)(xf，0)(xg，0)()(lim xfxfxx，0)()(lim xgxgxx，)(xf和和)(xg在在x 点点连连续续。),(xNx，则，则和和)(xf)(xg在在 ,xx或或,xx上上 满足柯西定理的条件。满足柯西定理的条件。)()()()()()()(

3、)(gfxgxgxfxfxgxf（介于介于 xx 与与之间）之间）当当xx时，时，x，)()()(lim)()(lim)()(lim 或或Axgxfgfxgxfxxxxx。.lnlnln1lnlnlim0bababbaaxxx 当极限过程为当极限过程为 xx，xx，x，x，x时，只要满足与定理时，只要满足与定理 1 1 中相仿的条件，也有类似中相仿的条件，也有类似 的结论。的结论。（1 1）).0,0(lim0 baxbaxxx 解解：xbaxxx 0lim00)()(lim0 xbaxxx 例例 1 1求下列极限求下列极限 解解：xxx1sin)arctan2(lim 00.11cos11l

4、im22 xxxxxxxx1cos111lim22 （2 2）.1sin)arctan2(limxxx .)()(2)()(lim)(20 xxfxxfxxfxfx （3 3）设设函函数数)(xf二二阶阶可可导导，证证明明：证证明明：)(2)1)()(lim0 00 xxxfxxfx 右右端端 问：第二步中问：第二步中)(2)1)()(lim0 xxxfxxfx 仍为仍为00型的未定式，能否用洛必达法则？型的未定式，能否用洛必达法则？答：不能！因为条件中只给出答：不能！因为条件中只给出)(xf 存在，并不知存在，并不知 道道)(xf 是否连续，若用洛必达法则，就会出现是否连续，若用洛必达法则，

5、就会出现 )(xxf 与与)(xxf 的极限，无法处理。的极限，无法处理。)()()()(lim210 xxfxxfxxfxxfx ).()()(21xfxfxf 1、用、用洛必达洛必达法则一定要验证条件，特别是条件法则一定要验证条件，特别是条件(2);2、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦 不是未定式立刻停止使用不是未定式立刻停止使用;xxxsinlim20例：例：3、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。若可以等价无穷小量代换，先代换。若可以等价无穷小量代换，先代换。注意：注意：洛必达法则是求未

6、定式的一种有效方法，洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好.注意注意xxsin2lim0 xxxcos2lim0.812sinlim412coslim412 00 2 xxxxxxxxxx2coslimsin1lim4122 例例 2 2求求.)2()ln(sinlim22xxx 解解：)2()2(2sincoslim2 00 xxxx原原式式 解解：xexxx 10)1(lim xeexxx )1ln(10lim2)1ln(0)1ln(1limxxxxexxx )1()1ln()1()1(lim210 xxxxxxxx 2

7、0010)1ln()1(lim11lim)1(lim xxxxxxxxxx 例例 3 3求求.)1(lim10 xexxx lim)1ln(000 xxxe将具有非零极限的将具有非零极限的因子及时分离出来！因子及时分离出来！20)1ln()1(limxxxxex xxex21)1ln(1lim0 00 .2)1ln(lim20exxex .2)1(lim10exexxx 定定理理 2 2(洛洛必必达达法法则则)已知函数已知函数)(xf和和)(xg（1 1）在）在),(xN内可导，且内可导，且0)(xg，（3 3）)()()(lim 或或Axgxfxx，则则)()(limxgxfxx)()()(

8、lim 或或Axgxfxx。（2 2）)(limxfxx，)(limxgxx；4.24.2.2.2 型未定式型未定式 解：解：0limxxxlncotln xxxx1)csc(tanlim20 .1limsintanlim22020 xxxxxxx 当极限过程为当极限过程为 xx，xx，x，x，x时，只要满足与定理时，只要满足与定理 2 2 中相仿的条件，也有类似中相仿的条件，也有类似 的结论。的结论。（1 1）0limxxxlncotln 例例 4 4.求下列极限求下列极限（2 2）xxx3tantanlim2 解解：xxxxxxxxx2220022csc3csc3limcot3cotlim

9、3tantanlim 33sinsinlim3222 xxx。（1 1）xxxlnlim（0 ）解解：xxxlnlim 01lim1lim1 xxxxx。（2 2）)0,1(lim aaxxx 解：当解：当10 时，时，0lnlimlim1 aaxaxxxxx，当当1 时时，Nn，使使)0(1 nnn，逐逐次次应应用用洛洛必必达达法法则则，直直到到第第次次 n，有有 例例 5 5.求下列极限求下列极限 aaxaxxxxxlnlimlim10)(ln)1()1(lim nxnxaaxn 该该例说明对任意例说明对任意,1 ,0 a当当 x时，对数函数时，对数函数 xln，幂函数，幂函数 x，指数函

10、数，指数函数xa都是正无穷大。都是正无穷大。比较比较 这三个函数，这三个函数，xa增长最快，增长最快，x次之，次之，xln最慢。最慢。10 00 000 倒数关系倒数关系关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型.0101.0000 ln01ln0ln01000取对数取对数,1 .010 解解：2tan)1(lim1xxx 2cot)1(lim10 xxx .222csc1lim21 00 xx.2lim12lim xxxxexe解解：)1(lim)1(lim xxexexexxxxx 解：原式解：原式xxxetanlnsin00 lim ,

11、tanlnsinlim0 xxxe xxxlntansinlim0 0 xxxcsclntanlim0 xxxxxcotcscsectan1lim20 xxx20cossinlim .1)(tanlim0sin0 exxx .0,)ln(1lim210naaaxxnxxxe 解：解：)ln(101 21limnaaaxxxnxxe 原式原式 xnaaaxnxxxln)ln(lim2100 xnxxnxnxxxaaaaaaaaa 212211000lnlnlnlimnaaanlnlnln21 .ln)ln(12121nnnaaaaaan .)(lim21 ln121021nnaaaxxnxxxa

12、aaenaaann )ln(1lim210naaaxxnxxx 解：解：)ln(cotlim)ln(cot0ln10ln10ln1lim)(cotlimxxxxxxxxeex xxxxxxxxxx1)csc(cot1limln)ln(cotlim)ln(cotlim200ln10 ,1limsintanlim2020 xxxxxxxx1ln10)(cotlim exxx。例例xxxx30sinsin11lim 注意：注意：洛必达法则只用于洛必达法则只用于)()00(用洛必达法则过程中要及时化简用洛必达法则过程中要及时化简,并灵活结合其他并灵活结合其他求极限方法求极限方法.1212sinlim3

13、0 xxxx)sin11(sinlim30 xxxxxx 2)1tan()(nnnnf 设设，因，因 n 是是离散变量离散变量，)(nf 无导数无导数，故不能直接使用洛必达法则故不能直接使用洛必达法则求极限求极限。但若能用但若能用 洛必达法则洛必达法则求出求出连续变量连续变量的函数的函数 x2)1tan()(xxxxf，),0(x的极限的极限Axfx)(lim，则根据数列极限与，则根据数列极限与 函数极限的关系，便有函数极限的关系，便有Anfn )(lim。注意注意例例 7求求2)1tan(limnnnn（Nn）。）。22101)tan(lim)1tan(lim)(limttxtxxxttxx

14、xf 令令 3tantan0)tan1(limtttttttttt 而而313tanlim31seclimtanlim22022030 tttttttttt，故故312)1tan(limennnn 。解解：设设),0()(,)1tan()(2 Cxfxxxfx则则，31)(limexfx，注意注意：当当)(limxfx不存在时，不能断定不存在时，不能断定Anfn )(lim 不存在，这时应使用其他方法求极限。不存在，这时应使用其他方法求极限。作作业业习习 题题 2 2（P P108108）1(1(4)(5)(11)(12)(16);2(2)(4)(7)(11)(13)4)(5)(11)(12)(16);2(2)(4)(7)(11)(13)(15)(18)(15)(18)；5；6 6；7 7。