高职高专《高等数学》第07章课件.ppt

1、第七章 定积分的应用第一第一节节 定积分定积分的微元法的微元法第二第二节节 定积分定积分在几何上的应用在几何上的应用第三第三节节 定积分定积分在物理上的在物理上的应用（略）应用（略）第四节第四节 定积分定积分在经济上在经济上的应用（略）的应用（略）1第一节第一节 定积分的微元法定积分的微元法用定积分概念解决实际问题的三个步骤：用定积分概念解决实际问题的三个步骤：2第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用一、平面图形一、平面图形的面积的面积34320 xy2yx2x2x例例1.计算由曲线：2,2,3yxxx以及x轴所围图形的面积.解解:332322119d33Axxxxxy22oy

2、4 xy例例2.计算抛物线xy22与直线的面积.解解:由xy224 xy得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算,选取 y 作积分变量,则有42A5设 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线设 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线)(xfy 和 直 线和 直 线)(,babxax，及，及 x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转而轴旋转而成（如下图），我们来求它的体积成（如下图），我们来求它的体积 V.在区间在区间 ,ba上点上点 x处垂直处垂直 x轴的截面面积为轴的截面面积为 在在x的变化区间的变化区

3、间,ba内积分，得旋转体体积为内积分，得旋转体体积为 ).()(2xfxA.d)(2baxxfV类似地，由曲线类似地，由曲线)(yx，直线，直线dycy,及及 y轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形绕绕 y轴旋转，所得旋转体体积轴旋转，所得旋转体体积为为.d)(2dcyyVO y x b a A(x)二、旋转体的体积二、旋转体的体积67例例3.计算由曲线：1,1,2yxxxx 以及 轴所围图形绕绕x x轴旋转所得的体积轴旋转所得的体积 .22222111d()d()d.2baVyxfxxxx解：8例例4.计算由曲线：2,2,0(yxxyx轴)所围图形(1)(1)绕绕x x轴旋转所得的体积轴旋转

4、所得的体积 (2)(2)绕绕y y轴轴旋转所得的体积旋转所得的体积.22410442220032dd.5(2-()d(4)dy8.baVyxxxyyVyyy解：(1)(2)实际上是曲线x=2以及x=绕 轴旋转一周的体积之差。所以，我们仍用微元法，取我们仍用微元法，取 x为积分变量，为积分变量，,bax，在微小，在微小区间区间,dxxx内，用切线段内，用切线段 MT来近似代替小弧段来近似代替小弧段 MN（“常代变”）得弧长微元为（“常代变”）得弧长微元为 .d1)d()d(d222xyyxQTMQMTs22这里这里xysd1d2也称为弧微分公式也称为弧微分公式.在在x的变化区间的变化区间,ba内

5、积分，就得所求弧长内积分，就得所求弧长 .d)(1d122babaxxfxys三、平面曲线三、平面曲线的弧长的弧长9(2)曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs10(3)曲线弧由极坐标方程给出:(可选讲)()(rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分):(自己验证)11)ch(cxccxccsh1例例5.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,()2xxeeyaxa成悬链线.求这一段弧长.解解:xysd

6、1d2d2xxeex0001()221 (2()()2 ()xxaaxxaaaaxxxxaxxaaeesdxeedxeedxeedxeeee1xaaoy下垂悬链线方程为教材教材P149P14912例例6.计算摆线)cos1()sin(tayttax)0(a一拱)20(t的弧长.解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2教材教材P149P14913例例7.求心形线(02)的周长.解解:(1cos)(0)raa222000()()d =21 cosd 21 co

7、sd2 21 cosd=4cosd82srraasaaa心形线的对称性教材教材P150P1501415教材教材P150习题习题7-21、2、3、第三节 定积分的物理应用举例(略)一、变一、变力沿直线做功力沿直线做功 如如果果物物体体在在运运动动的的过过程程中中所所受受的的力力是是变变化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.1617二、二、水压力水压力 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的点点处处压压强强p不不相相等等，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采

8、用用“微微元元法法”思思想想181920三、三、引力引力 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算就不能用此公式计算212l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间,dyyy,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 22小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为.0 yF23