高职高专《高等数学》第06章课件.ppt

1、第六章 定积分第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质第二节第二节 微积分学基本定理微积分学基本定理第三节第三节 定积分的换元法与分部积分法定积分的换元法与分部积分法第四节第四节 广义积分广义积分1第一节 定积分的概念与性质一一、引入引入定积分概念的两个实例定积分概念的两个实例二、定积分定义二、定积分定义三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义四、定积分的性质四、定积分的性质21、曲边梯形、曲边梯形的面积的面积 设函数yf(x)在区间a,b上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.一、引入定积分概念的两个实例引入定积分概念的两个

2、实例3观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积？4niiixfA10)(lim.求曲边梯形的面积 (1)分割:ax0 x1 x2 xn1 xn b,xixixi1;小曲边梯形的面积近似为f(i)xi (xi1ixi);(2)近似代替:(4)取极限:设maxx1,x2,xn,曲边梯形的面积为 (3)求和:曲边梯形的面积近似为 ;niiixfA10)(lim 52 2、变速、变速直线运动的路程直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数,且v(t)0,计算物体在时间段T1,T2内所经

3、过的路程S.(1)分割:T1t0t1t2 tn1tnT2,tititi1;(2)取近似:物体在时间段ti1,ti内所经过的路程近似为 Siv(i)ti (ti1 iti);物体在时间段T1,T2内所经过的路程近似为 (3)求和:(4)取极限:记maxt1,t2,tn,物体所经过的路程为 niiitvS1)(;niiitvS10)(lim.67前面介绍的两个实例其解决的实际问题虽不同，但其解决问题所用的思想和方法却是相同的，即“分割、近似、求和、取极限”我们就把这类问题抽象成一个数学概念，称之为定积分定积分定积分在小区间xi1,xi上任取一点i(i1,2,n),niiixf1)(;作和maxx1

4、,x2,xn;记xixixi1(i1,2,n),ax0 x1x2 xn1xnb;在区间a,b内任取分点:定义定义 设函数f(x)在区间a,b上有界.若当0时,上述和式的极限存在,且极限值与区间a,b的分法和i的取法无关,则此极限称为函数f(x)在区间a,b上badxxf)(,的定积分,记为niiibaxfdxxf10)(lim)(.即 二、定积分定义8定积分各部分的名称 积分符号,f(x)被积函数,f(x)dx 被积表达式,x 积分变量,a 积分下限,b 积分上限,a,b积分区间，niiixf1)(积分和.94 abdxdxbaba1.不难推出：不难推出：v函数的可积性 如果函数f(x)在区间

5、a,b上的定积分存在,则称f(x)在区间a,b上可积.如果函数f(x)在区间a,b上连续,则函数f(x)在区间a,b上可积.如果函数f(x)在区间a,b上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间a,b上可积.v定积分的定义niiibaxfdxxf10)(lim)(.1011 (1)连续曲线y=f(x)(f(x)0)、x轴及两条直线x=a，x=b所围成的曲边梯形的面积等于函数f(x)在区间a,b上的定积分，即 (2)物体以变速v=v(t)(v(t)0)作直线运动，从时刻t=T1到t=T2，该物体经过的路程等于函数v(t)在区间T1,T2上的定积分，即显然显然关于定积分定义的理解，应注意以下

6、几点：（1）定积分是一个数，它仅与被积函数f(x)和积分区间a,b有关，而与积分变量用哪个字母表示、区间如何分割（采用均匀分割或非均匀分割）及点i的取法（可以取第i个小区间的左端点、右端点或中点，也可以是区间内任意一点）无关，即有12 （2）在上述定义中，我们实际上限定了上限大于下限，即ab，但在实际应用及理论分析中，会用到上限小于下限或等于下限的情况为此，我们把定积分的定义扩充如下：当ab时，规定当a=b时，规定aaf(x)dx （3）如果定积分baf(x)存在，就称f(x)在a,b上可积，否则就称f(x)在a,b上不可积13 3)一般地,f(x)在a,b上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x

7、)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.1）当f(x)0时,定积分 在几何上表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与y=0 所围成的封闭图形的面积.2）当f(x)0时,定积分 在几何上表示曲边梯形面积的负值.()baf x dx()baf x dx三、定积分的几何意义141 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(.性质1 性质2 2 babadxxfkdxxkf)()(.性质3 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.性质4 如果在区间a,b上 f(x)0,则 badxxf0)(ab).四、定积分的性质若在a,b上 f(x)g(x),则 babadxxgdxx

8、f)()(ab).15推论1 推论2 性质5 设M及m分别是函数f(x)在区间a,b上的最大值及最小值,则 baabMdxxfabm)()()(ab).如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使下式成立:性质6(定积分中值定理)baabfdxxf)()(.积分中值公式.16171122232300111 .x dxx dxx dxx dx【例】试比较下列积分的大小（1）与（2）与教材教材P127P1272311230023222311 xxx dxx dxxxx dxx dx（1）0 x1（2）1x2解：解：1822220222124122402 11)241

9、 4 2.xxxxxxedxy xxyxxxeeeeedxe【例】估计定积分的值。解：=可化为：=(2,x0,2所以2教材教材P127P127【例例3】试证.2dsin120 xxx证证:设)(xf,sinxx则在),0(2上,有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2,1)(xf),0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx19第二节 微积分学微积分学基本定理基本定理一、积分上限函数一、积分上限函数及及其导数及及其导数二、牛顿二、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式(微积分基本公式微积分基本公式)20一、积分上限函数及原函数

10、存在定理2122说明说明:1)定理 证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx232411arctan(1).xdtdtdx【例】求教材教材P129P12902sin.xtdetdtdx【例】求023ln(1).xdtdtdx【例】求2522020020222200220ln(1)4 lim.1 cosln(1)0=lim01 cosln(1)2ln(1)0limlim02si

11、nsin21lim12cosxxxxxxxdt dtdxxdt dtdxxxxxxxxxxxx【例】解：原式二、牛顿莱布尼茨公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba证证:根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故CxxfxFxad)()(,ax 令,)(aFC 得因此)()(d)(aFxFxxfxa得)()(d)(aFbFxxfba记作)(xFab)(xFab定理定理函数,则26 由于f(x)的原函数F(x)一般可通过求不定积分求得，因此，牛顿-莱布尼茨公式巧妙地把定积分的计算问题与不定积分联系起来，转化为求被积函数的一个原函数在区间a,b

12、上的增量问题.定理3通常称为微积分基本定理，牛顿-莱布尼茨公式也称为微积分基本公式.牛顿-莱布尼茨公式2728405cos.xdx【例】教材教材P131P131211.dxx【例6】2171.x dx【例】教材教材P132P132习题习题6-26-21 1、2 2、3 3、第三节 定积分定积分的换元法与分部积分法的换元法与分部积分法一、定积分的换元一、定积分的换元法法二二、定积分的分部积分法、定积分的分部积分法29一、定积分的换元法3031例例1.计算40.1dxx教材教材P133P133例例2.计算312.4dxxx例例3.计算520cossin.xxdx二、定积分的分部积分法32定理定理2

13、 233例例4.计算1ln.exxdx教材教材P133P133例例5.计算20sin.xxdx例例6.计算10.xxe dx例例7.arctan0,10.yxxxy求由曲线与直线及所围成的图形的面积例例8.计算10.xedx例例.计算.d12240 xxx解解:令,12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式=ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322;1t且 典型例题选讲典型例题选讲34【例例】典型例题选讲典型例题选讲35【例例】典型例题选讲典型例题选讲36例例.,)(aaCxf设证证:(1)若,)()(xfxfaaaxxfxxf0d)

14、(2d)(则xxfaad)(2)若,)()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad)()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令重要结论重要结论37【例例】典型例题选讲典型例题选讲3839教材教材P135P135教材教材P135P135习题习题6-36-31 1、2 2、第四节 广义常积分一、一、无限区间的广义积分无限区间的广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分40一、无限区间的广义积分无限区间的广义积分 定义定义 设函数设函数 在区间在区间 上连续取上连续取

15、 ，如果极限如果极限 存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数 在无穷区间在无穷区间 上上的的广义积分广义积分记作记作 ，即即)(xf,)aab babdxxf )(lim)(xf )(adxxf,)a )(adxxf babdxxf )(lim此时也称广义积分此时也称广义积分 存在或收敛存在或收敛；如果极限；如果极限不不存在，就存在，就称广义积分称广义积分 不存在或发散不存在或发散。)(adxxf )(adxxf41 类似的，可以定义类似的，可以定义 在区间在区间 及及 上上的广义积分。的广义积分。)(xf ,b bdxxf )(baadxxf )(lim )(dxxf cdxxf )(

16、)(cdxxf bcbcaadxxfdxxf )(lim)(lim 注注 广义积分广义积分 收敛的充分必要条收敛的充分必要条件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积分之一发散，则左端的广义积分发散。分之一发散，则左端的广义积分发散。)(dxxf4243例例1.讨论下列广义积分的收敛性20002011(1)(2)ln1(3)(4)sinxdxdxxxxe dxxdx教材教材P137P137教材教材P137P137例例2.计算计算 13 -1dxx例例3.+01,.xaedxa已知求例例4.证明广义积分：1dpxx证证:当 p=1 时有 1dxx1lnx

17、lim lnxx 1dpxx1111lim111ppxxxppp当 p 1 时有 11 时收敛;p1 时发散.,因此,当 p 1 时,广义积分收敛,其值为当 p1 时,广义常积分发散.1,1p教材教材P138P138该题的结论一般要记住，可作为定理使用注注 意意44 设函数设函数 在区间在区间 上连续，而上连续，而 取取 ，如果极限，如果极限 存在，则称此极限为存在，则称此极限为函数函数 在区间在区间 上的广义积分。记作上的广义积分。记作 即即)(xf ,(ba0 badxxf 0)(lim)(xf.)(badxxf )(limxxfa ,(ba二、无界函数的广义积分 badxxf )(bad

18、xxf 0)(lim此时也称广义积分此时也称广义积分 存在或收敛存在或收敛；如果极限；如果极限不存在，就称广义积分不存在，就称广义积分 不存在或发散不存在或发散。badxxf )(badxxf )(45 badxxf )(badxxf )(类似的，可以定义类似的，可以定义 在区间在区间 及及 上的广上的广义积分。义积分。)(xf)(a,b),ba badxxf 0)(lim cadxxf )(bcdxxf)(bccadxxfdxxf 0 0)(lim)(lim).(a,bc 其其中中46【例例5 5】教材教材P139P1394748例例6.34201.cosdxx讨论的敛散性教材教材P140P140()33424222002 22220 00200111=+coscoscos11limcoscoslim tandxdxdxxxxdxdxxxx 解：49例例7.10ln.xdx讨论的敛散性教材教材P140P140()()1 10 01000ln=limlnlimln1limln1limln1xdxxdxxxx 解：【例例8 8】该题的结论一般要记住，可作为定理使用注注 意意教材教材P140P1405051教材教材P141P141教材教材P141P141习题习题6-4 16-4 1、复习题六复习题六1 1、2 2、3 3、6 6