人教版九年级上册《第21章-一元二次方程》单元复习课件.pptx

1、第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程单元复习单元复习知识点一知识点二知识点三知识点四 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.名师解读:由一元二次方程的定义可知,判断一个方程是否是一元二次方程必须同时满足三个条件:(1)是整式方程,即分母中不含未知数;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.21.1一元二次方程一元二次方程知识点一知识点二知识点三知识点四例1下面关于x的方程:ax2+bx+c=0;3(x-9)2-(x+1)2=1;x2+5=0;x2-2+5x3-6=0;3x2=3(x

2、-2)2;12x-10=0.其中是一元二次方程的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:根据一元二次方程的定义对各方程进行逐一判断即可:ax2+bx+c=0,当a=0时是一元一次方程,3(x-9)2-(x+1)2=1是一元二次方程,x2+5=0是分式方程,x2-2+5x3-6=0.其中是一元三次方程,3x2=3(x-2)2是一元一次方程,12x-10=0是一元一次方程.答案:A知识点一知识点二知识点三知识点四判断一个方程是否为一元二次方程,应根据一元二次方程的定义,需要的三个条件缺一不可.当一元二次方程比较复杂不易直接观察时,要先进行整理,要特别注意二次项系数是否有为零的可能.知识点一知识点二

3、知识点三知识点四知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0).其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.名师解读:确定一元二次方程的相关项和系数时,一元二次方程必须先化简整理成一般形式,才能确定其二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项.否则容易造成判断错误.知识点一知识点二知识点三知识点四例2把下列关于x的一元二次方程化为一般形式,并写出二次项系数,一次项系数和常数项.(1)3(x-5)=x(x-5);(2)x(x-2)=0;(3)x2-2x+1=2x(x-1).分析:根据去括号、移项、合并同类项,可得一元二次方

4、程的一般形式,在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.知识点一知识点二知识点三知识点四解:(1)去括号,得3x-15=x2-5x,移项、合并同类项,得x2-8x+15=0,1是二次项系数,-8是一次项系数,15是常数项;(2)去括号,得x2-2x=0,1是二次项系数,-2是一次项系数,0是常数项;(3)去括号,得x2-2x+1=2x2-2x,移项,得x2-1=0,1是二次项系数,0是一次项系数,-1是常数项.知识点一知识点二知识点三知识点四解答此类问题时,先把一元二次方程化成一般形式,再写出各项系数,整理过程中注意符号的变化,去括号时不要漏

5、乘,移项时要注意符号的变化.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点三一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.名师解读:凡是只含一个未知数的方程,其解都可以叫做方程的根,但是含有多个未知数的方程的解不能叫做方程的根,只能叫做方程的解.知识点一知识点二知识点三知识点四例3下列哪些数是方程x2+2x-8=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.分析:方程的根即方程的解,也就是能使方程左右两边相等的未知数的值,将x的值分别代入已知方程进行验证即可作出正确的判断.解:将x=-4代入方程x2+2x-8=0,左边=(-4)2

6、+(-4)2-8=0,即左边=右边,故x=-4是方程x2+2x-8=0的根.把x=-3,-2,-1,0,1,3,4代入方程x2+2x-8=0,左边都不等于0,故它们都不是方程x2+2x-8=0的根,把x=2代入方程x2+2x-8=0,左边=右边,故x=2是方程x2+2x-8=0的根.所以-4,2是方程x2+2x-8=0的根.知识点一知识点二知识点三知识点四检验一个数是否为一元二次方程的根与检验一个数是否为一元一次方程的解的方法完全相同,故可以类比进行.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点四根据实际问题列一元二次方程运用一元二次方程解决实际问题,要认真读题,运用所学的知识点及生活经验找出题目中

7、的等量关系,并将等量关系数学符号化,从而建立一元二次方程模型.名师解读:建立一元二次方程模型的一般步骤可以总结为:审题,设未知数,列方程.知识点一知识点二知识点三知识点四例4如图所示,在一幅长80 cm,宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条同等宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,求x满足的方程.分析:挂图长可表示为(80+2x)cm,宽可表示为(50+2x)cm,根据其面积为5 400 cm2,即长宽=5 400,列方程进行化简即可.知识点一知识点二知识点三知识点四解:由题意,知挂图长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)c

8、m,所以(80+2x)(50+2x)=5 400,即4x2+160 x+4 000+100 x=5 400.所以4x2+260 x-1 400=0,即x2+65x-350=0.知识点一知识点二知识点三知识点四列一元二次方程时,可类比列一元一次方程的方法,首先读懂题目所给的数量关系,找出符合全部题意的等量关系,根据等量关系列出方程,并整理即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一根据一元二次方程的定义求字母的值或取值范围例1若(m-1)-2x+5=0是关于x的一元二次方程,则m的值是()A.1 B.1C.-1 D.不能确定解析:由于题目给出的方程是关于x的一元二次方程,因此应该满足一元二次方

9、程的定义所需要的条件,因为-2x和5都不是二次项,所以(m-1)是二次项,因此,未知数x的指数为2,系数不能为0,即 解得m=-1.答案:C拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,根据所给条件和一元二次方程的定义列出方程或方程组,通过解方程或方程组求得字母的值或取值范围.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点二根据一元二次方程的一般形式求字母的值例2一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0,试求a,b,c的值.分析:欲求a,b,c的值,可以先把方程的左端进行整理化简,变成一元二次方程的一般形式,然后根据对应项的系数相等可得关于a,b,c的方程组

10、,通过解方程组可得答案.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化为一般形式为ax2-(2a-b)x-(b-a-c)=0,由一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0,拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类与一元二次方程的一般形式相关的问题,首先要把方程整理成一般形式,然后根据“两个多项式相等,其对应项的系数相等”列方程组进行求解.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三利用一元二次方程的解求字母的值例3已知关于x的方程x2-kx+1=0的一个根是x=3,则实数k的值是()解析:把x=3代入方程x2-kx+

11、1=0,得9-3k+1=0,解得k=.答案:D拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答此类问题的关键是把已知的根代入原方程,得到一个关于未知字母的方程,通过解方程求得未知字母的值.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四与一元二次方程的定义有关的综合题例4方程(m+1)+(m-3)x-1=0,(1)m取何值时是关于x的一元二次方程?(2)m取何值时是关于x的一元一次方程?分析:(1)要使关于x的方程是一元二次方程,由于(m-3)x和-1不是关于x的方程的二次项,故(m+1)必须是二次项,则有m2+1=2且系数(m+1)0,求出m的值即可;(2)如果所给方程是关于x的一元一次方程,则方程中不能含有二

12、次项,可以考虑有两种情况:一是(m+1)中x的指数为“2”,而系数为0,不含有这一项,此时一次项系数(m-3)不为零即可;二是(m+1)中x的指数为“1”,此时与(m-3)x合并同类项后系数不为0即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:(1)若方程是一元二次方程,则m2+1=2,解得m=1.显然m=-1时m+1=0,故m=1符合题意.所以m=1时原方程是关于x的一元二次方程.(2)当m+1=0时,解得m=-1,此时方程为-4x-1=0;当m2+1=1时,解得m=0,此时方程为-2x-1=0.所以当m=-1或m=0时,原方程为关于x的一元一次方程.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题时

13、,要注意根据一元二次方程和一元一次方程的定义列出相应的方程或不等式求解,尤其注意要分类讨论解答,否则容易造成漏解.知识点一知识点二知识点一利用平方根的定义解一元二次方程 一般地,对于方程x2=p,(1)当p0时,根据平方根的意义,方程x2=p有两个不相等的实数根,x1=,x2=-;(2)当p=0时,根据平方根的意义,方程x2=p有两个相等的实数根,x1=x2=0;(3)当p0时,方程有两个不相等的实数根当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-n;当p0,即x2-6x+100.不论x为任何实数,代数式x2-6x+10的值恒大于0.拓展点一拓展点二要说明一个式子恒大于0,只要把这个式子表示

14、成“a2+正数”的形式即可;若要说明一个式子恒小于0,只要把这个式子表示成“-a2-正数”即可.知识点一知识点二知识点一一元二次方程的判别式 一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的判别式,通常用希腊字母“”表示,即=b2-4ac.(1)当0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根;(2)当=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根;(3)当0方程有两个不相等的实数根;b2-4ac=0方程有两个相等的实数根;b2-4ac0方程无实数根.(2)特别地:一元二次方程有实根指的是有两个不等实根和两个相等实根,即此时应有b2

15、-4ac0;一元二次方程没有实数根时,不能说成无解,因为方程无解,只是在实数范围内无解.知识点一知识点二例1 方程x2-2x+3=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根C.没有实数根D.有两个不相等的实数根解析:把a=1,b=-2,c=3代入=b2-4ac进行计算,然后根据计算结果判断方程根的情况.a=1,b=-2,c=3,=b2-4ac=(-2)2-413=-80.方程没有实数根.答案:C知识点一知识点二解答这类判断一元二次方程根的情况的问题,只要计算出判别式=b2-4ac的值,根据判别式的符号即可确定.知识点一知识点二知识点二公式法当0时,方程ax2+bx+c=0(a0

16、)的实数根可写为 的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公式表达了一般的用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时,把各项系数直接代入求根公式,可以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.知识点一知识点二拓展讲解:用公式法解一元二次方程的步骤是:(1)把一元二次方程化为一般形式;(2)确定a,b,c的值;(3)求出b2-4ac的值;(4)如果b2-4ac0,则把a,b,c的值代入求根公式,求出x1和x2的值,如果b2-4ac0,且k-10,解得k20,x=9舍去,横彩条的宽度是2 cm,竖彩条的宽度是3 cm

17、.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五这类题目体现了数形结合的思想,需利用平移把不规则的图形变为规则图形,进而即可列出方程,求出答案.另外还要注意解的合理性.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点四列一元二次方程解商品销售问题例4某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件;(1)若商场平均每天要盈利1 200元,每件衬衫应降价多少元?(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?分析:此题属于经营问题,若设每件衬衫应降价x元,则每件所

18、得利润为(40-x)元,但每天多售出2x件,即售出件数为(20+2x)件,因此每天赢利为(40-x)(20+2x)元,进而可根据题意列出方程求解.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)设每件衬衫应降价x元,根据题意得(40-x)(20+2x)=1 200,整理得2x2-60 x+400=0,解得x1=20,x2=10.因为要尽量减少库存,在获利相同的条件下,降价越多,销售越快,故每件衬衫应降价20元.答:每件衬衫应降价20元.(2)设商场平均每天盈利y元,则y=(20+2x)(40-x)=-2x2+60 x+800=-2(x2-30 x-400)=-2(x-15)2-625=-2(

19、x-15)2+1 250.当x=15时,y取最大值,最大值为1 250.答:每件衬衫降价15元时,商场平均每天盈利最多,最大利润为1 250元.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五降低每件的售价,实际就是降低每件的利润,售价降低,销售量增加.减少库存,就是要增加销量,在保证盈利相同的情况下,降价越多,销售量增加地越多,就达到减少库存的目的.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点五列一元二次方程解生活实际问题例5某市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格进行两次下调后,决定以每平方米4

20、860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子,开发商给予以下两种优惠方案供其选择:打9.8折销售;不打折,送两年物业管理费.物业管理费每平方米每月1.5元,请问哪种方案更优惠?拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五分析:(1)设平均每次下调的百分率为x,根据题意列出方程,求出方程的解得到x的值,即可得到结果;(2)根据两种优惠方案计算出各自的费用,比较即可得到结果.解:(1)设平均每次下调的百分率为x,依题意,得6 000(1-x)2=4 860,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去),答:平均每次下调的百分率为1

21、0%.(2)方案一可优惠:4 860100(1-98%)=9 720(元);方案二可优惠:1001.5122=3 600(元),9 7203 600,方案一更优惠.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解答有关“优惠”问题时,可以有两种方法:一是利用相同时间内所支出的总额进行比较,少者为“优惠”;二是利用相同时间内节省的金额,节省的多者为“优惠”.章末专题整合章末专题整合专题一专题二专题三专题四专题一一元二次方程的相关概念例1关于x的方程x2-(k+1)x-6=0的一个根是2,求k的值和方程的另一根.分析:根据方程的根可以使方程左右两边相等,将x=2代入原方程,可求出k的值,进而可通过解方程

22、求出另一根.解:把x=2代入x2-(k+1)x-6=0,得4-2(k+1)-6=0,解得k=-2,解方程x2+x-6=0,解得x1=2,x2=-3.答:k=-2,方程的另一个根为-3.专题一专题二专题三专题四解答这类与方程的解有关的问题,一般先把方程的根代入方程确定未知的字母的值后,再根据题目的要求解答其他问题.专题一专题二专题三专题四专题二一元二次方程的解法例2解方程:x2+2x-15=0.分析:观察这个方程的特点,利用公式法或因式分解法或配方法都可以求出方程的解.解:解法一:a=1,b=2,c=-15,=22-41(-15)=640,x1=3,x2=-5.解法二:(x-3)(x+5)=0,

23、x1=3,x2=-5.解法三:x2+2x=15,x2+2x+1=15+1,(x+1)2=42,x+1=4,x1=3,x2=-5.专题一专题二专题三专题四一元二次方程解法选取的基本原则:(1)当一个方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数时适合用配方法.(2)当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积,右边是0的形式时,就可利用因式分解法来解.(3)在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用公式法求解.专题一专题二专题三专题四专题专题三一元二次方程的判别式及根与系一元二次方程的判别式及根与系数的关系数的关系例3已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个实数根x1和x2.(1

24、)求实数m的取值范围;分析:(1)根据一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个实数根得到=(2m-3)2-4m2=-12m+90,求出m的取值范围;(2)首先根据根与系数的关系得到x1+x2=3-2m,x1x2=m2,然后得到 ,求出m的值即可.专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四解答本题的关键是把 转化为关于m的一元二次方程,解方程求出字母m的值后只有满足0的才是符合要求的答案.专题一专题二专题三专题四专题四一元二次方程的应用例4某市百货大楼服装柜在销售中发现:“七彩”牌童装平均每天可售出30件,每件盈利50元.为了迎接元旦,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈

25、利,尽量减少库存.经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出1件.要想平均每天销售这种童装盈利1 564元,那么每件童装应降价多少元?专题一专题二专题三专题四分析:设每件童装应降价x元,原来平均每天可售出30件,每件盈利50元,现在每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出1件.要想平均每天销售这种童装盈利1 564元,由此即可列出方程(50-x)(30+x)=1 564,解方程就可以求出应降价多少元.解:设每件童装应降价x元,则(50-x)(30+x)=1 564,解得x1=4,x2=16.因为要扩大销售量,增加盈利,减少库存,所以x只取16.答:每件童装应降价16元.专题一专题二专题三专题四解答这类应用问题,首先找到关键描述语,找到等量关系,然后准确地列出一元二次方程是解决问题的关键.最后要注意根据实际判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解