1、 第一章 二、二、无穷大无穷大 三三、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、无穷小无穷小 第四节无穷小与无穷大当当一、一、无穷小无穷小定义定义1.若若0 xx 时时,函数函数,0)(xf则称函数则称函数)(xf0 xx 例如例如:,0)1(lim1 xx函数函数 1 x当当1x时为无穷小时为无穷小;,01lim xx函数函数 x1 x时为无穷小时为无穷小;,011lim xx函数函数 x 11当当x)x(或为为时的时的无穷小无穷小.时为无穷小时为无穷小.)x(或说明说明:除除 0 以外任何以外任何很小的常数很小的常数都都不是无穷小不是无穷小!因为因为0)(lim0 xfxx,0 ,
2、0 当当 00 xx时时,0)(xf显然显然 C 只能是只能是 0!CC0 xx 时时,函数函数,0)(xf(或或 )x则称函数则称函数)(xf为为0 xx 定义定义1.若若(或或 )x则则时的时的无穷小无穷小.其中其中 为为0 xx 时的无穷小量时的无穷小量.定理定理 1.(无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系)Axfxx)(lim0 Axf)(,证证:Axfxx)(lim0,0,0 当当 00 xx时时,有有 Axf)(Axf )(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证对自变量的其它变化过程类似可证.Mxf)(二、二、无穷大无穷大定义定义2.若任给若任给 M 0,0 00
3、xx一切满足不等式一切满足不等式的的 x,总有总有则称函数则称函数)(xf当当0 xx 时为无穷大时为无穷大,使对使对.)(lim0 xfxx若在定义中将若在定义中将 式改为式改为Mxf)(则记作则记作 )(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数正数 X),记作记作,)(Mxf 总存在总存在注意注意:1.无穷大不是很大的数无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大函数为无穷大,必定无界必定无界.但反之不真但反之不真!例如例如,函数函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当当 n2但但0)(2
4、 nf所以所以x时时,)(xf不是无穷大不是无穷大!oxyxxycos 定理定理A)(xfy IIxn 在区间在区间上无界的充要条件是上无界的充要条件是：存在一个数列存在一个数列,使得使得.)(nnxfy定理定理B BAxfxx)(lim0 可以是有限数可以是有限数,也可以是也可以是 )A 对任意数列对任意数列),(,0 nxxxnn均有均有.)(limAxfnn (例例.证明证明 11lim1xx证证:任给正数任给正数 M,要使要使,11Mx 即即,11Mx 只要取只要取,1M 则对满足则对满足 10 x的一切的一切 x,有有Mx 11所以所以.11lim1 xx11 xy若若,)(lim0
5、 xfxx则直线则直线0 xx 为曲线为曲线)(xfy 的铅直渐近线的铅直渐近线.渐近线渐近线1说明说明:xyo三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若若)(xf为无穷大为无穷大,)(1xf为无穷小为无穷小;若若)(xf为无穷小为无穷小,且且,0)(xf则则)(1xf为无穷大为无穷大.则则(自证自证)据此定理据此定理,关于无穷大的问题都可转化为关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论无穷小来讨论.定理定理2.在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,说明说明:内容小结内容小结1.无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系Th13.
6、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系Th2思考与练习思考与练习P41 题题1,3P41 题题3 提示提示:21 xy,21 x241010 x2)14(sin2)14()(0 nnxy则则2)14(n.2Mn .1,0(上无界上无界在区间在区间所以所以 y,0lim,1,nnnnxnxx则则给出数列给出数列)sin(lim)(lim nnxynnn 但是但是,00lim n.lim0不能成立不能成立所以所以 yx,0.M证证,1,0()14(20 nx取取.一一个个正正整整数数是是其其中中n.习题习题,1,0(1sin1:上无界上无界在区间在区间函数函数证明证明xxy .,0这函数不是无穷大这函数不是无穷大时时但当但当 x的的大于大于 2M
