2021届山东省重点中学联盟高三上学期期末数学试题.doc

1、2020-2021学年度第一学期期末学业水平检测高三数学试题本试卷6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2.作答选择题时：选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效；3.考生必须保证答题卡的整

2、洁，考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，集合，集合，则（ ）A.B.C.D.2.（ ）A.B.C.D.3.“”的充要条件是（ ）A.B.C.D.4.莱茵德纸草书（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为（ ）A.B.C.D.5.已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于，则（ ）A.B.C.D.6.已知函数的部分图象如下所示，则可能为（ ）A.B.C.D.7.设，是两个不同的平面

3、，是一条直线，以下结论正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则8.某种芯片的良品率服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过，不予奖励；若芯片的良品率超过但不超过，每张芯片奖励元；若芯片的良品率超过，每张芯片奖励元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（ ）元A.B.C.D.附：随机变量服从正态分布，则，.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9已知向量，设，所成的角为，则（ ）A.B.C.D.10.定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，则（

4、）A.是奇函数B.是偶函数C.D.的最小正周期为11.已知函数（其中）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，下列结论正确的是（ ）A.B.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象C.当时，有且只有一个零点D. 在上单调递增12.在三棱柱中，是边长为的等边三角形，侧棱长为，则（ ）A. 直线与直线之间距离的最大值为B.若在底面上的投影恰为的中心，则直线与底面所成角为C. 若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线与所成的角为D. 若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13.已知是虚数单位，复数，则= 14.若二项的展开式中所有项的系数和为，则该

5、二项式展开式中含有项的系数为 15.设函数的图象在点处的切线为，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 16.如图所示，在平面直角坐标系中，圆过坐标原点，圆与圆外切.则（1）圆的半径等于 ；（2）已知过点和抛物线焦点的直线与抛物线交于，且，则 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在，这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.已知正项数列的前项和为， （1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.18.在如图所示的平面图形中，与交于点，若，.（1）用表示，；（2）求取最

6、大值时的值.19.如图，在直角梯形中，.将矩形沿翻折，使得平面平面.（1）若，证明：平面平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.魔方（），又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克()教授于1974 年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为的正方体结构，由个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次秒.（1

7、）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度(秒) 与训练天数(天)有关，经统计得到如下数据：（天）（秒）现用作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度约为多少秒(精确到) ?参考数据（其中）参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为，求的分布列及数学期望.21.已知函数的图象在处的切线斜率等于.其中为自然对数的底数，.（1）若，当时，证明

8、：；（2）若，证明：有两个极值点，在上恰有一个零点，且.22.已知为坐标原点，椭圆的离心率，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为，的中点为，周长等于.（1）求椭圆的标准方程；（2）为双曲线上的一个点，由向抛物线做切线，切点分别为.（）证明：直线与圆相切；（）若直线与椭圆相交于两点，求外接圆面积的最大值.2020-2021学年度第一学期期末学业水平检测高三数学参考答案一、选择题1-4：BCDA5-8：CDAB二、多项选择题9.ABD10.BCD11.ACD12.AD三、填空题13.14. 15. 16.（1）；（2）四、解答题17.解：（1）选时，当时，因为，所以，由，可得，得，整理得，所以因为，所

9、以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以；选时，因为所以当时，得：，即中，令，得，适合上式所以当时，又，所以对任意，（2）因为即所以，于是，得所以18.解：（1）由题知在中，由余弦定理知：所以，且在中，因为，所以由正弦定理知：，所以在中，（2）由（1）知：，所以因为，所以当时，即时，取最大值所以，取最大值时，19.（1）证明：连接，因所以因为平面平面，平面平面，所以平面因为平面，所以因为，所以平面因为平面，所以平面平面（2）解：在中，设，所以，当且仅当，即时，三角形面积有最大值为因为平面平面，平面平面，平面，所以平面所以所以，当时，三棱锥体积的最大值为因为，所以平面.以为坐标原点，以，所在

10、直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则，所以，平面的法向量，设平面的法向量，所以，取，则，即，所以，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.20.解：（1）由题知：所以，因此关于的回归方程为：所以最终每天魔方还原的平均速度约为秒（2）由题知：的取值为所以的分布列为所以21. 解：（1）由题知：所以，所以若，则，由得，即证设，因为设，则因此在上单调递增，所以因此在上单调递增，所以所以，即（2）令，则所以，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增；所以由于，所以又因为，所以有且仅有两个零点，设为所以当时，；在上单调递增；当时，；在上单调递减；当时，；在上单调递增；又因为所以有且仅有两个极值点

11、且在上恰有一个零点因为，；所以令，则.所以在上单调递增，所以因此，即，22.解：（1）设，因为为的中点所以周长所以解得，所以，椭圆的标准方程为（2）（）由得，求导得，设，则，即；同理：设，因为为，的交点，所以，由题直线的斜率存在，设其方程为，将代入得：由韦达定理得，所以，因为，所以所以圆心到直线的距离所以，直线与圆相切（）将与联立得：由韦达定理得，因为所以，所以又因为所以方法一：由（）知：方程的且解得或所以令，所以或者可以看出当时，即时，有最大值，且最大值为所以外接圆直径的长度最大值为，所以外接圆面积的最大值等于方法二：由（）知：方程的且所以或所以等号当仅当，即（舍）所以外接圆直径的长度最大值为，所以外接圆面积的最大值等于