2021届山西省八校高三上学期12月联考(12月4日)数学(理)试题.docx

1、山西省八校2021届高三上学期12月联考（12月4日）数学试题（理科）考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容（除计数原理、概率、随机量变及其分布、统计与统计案例）.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.若复数在复平面内对应的点在直线上，则（）A.1B.2C.5D.63.命题“对任意，都有”的否定为（）A.对任意，都有B.对任意，都有C.存在，使得D.存在，使得4.

2、已知函数，则不等式的解集是（）A.B.C.D.5.若实数，满足约束条件，则的取值范围为（）A.B.C.D.6.已知为所在平面内一点，若，则（）A.-5B.-10C.10D.57.在各棱长均相等的直三棱柱中，已知是棱的中点，是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A.B.1C.D.8.下列函数图象不可能是函数的图象的是（）A.B.C.D.9.已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.10.如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之

3、比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的展开式中的常数项是（）A.15B.-15C.D.11.如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交于，点，令，则当时，的值为（）A.3B.4C.5D.612.已知函数的部分图象如图所示，若存在，满足，则（）A.B.C.D.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知是等比数列的前项和，则_.14._.15.已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为_.16.已知双曲线：的左、右焦点分别为，是双曲线左支上的点，的周长是9，动点在双曲线的右支上，则面积的取值范围是_.三、解

4、答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角，所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求面积的最大值.18.已知数列中，.（1）证明：数列是等比数列.（2）若数列满足，求数列的前项和.19.如图，在直三棱柱中，点，分别为和的中点.（1）棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长，并证明你的结论若不存在，请说明理由.（2）求二面角的余弦值.20.已知中心为坐标原点的椭圆的一个焦点为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程.（2）若不经过

5、点的直线：与椭圆交于，两点，且与圆相切，试探究的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.21.已知函数.（1）设函数，讨论的单调性.（2）函数的图象在点处的切线为，是否存在这样的点使得直线与曲线也相切？若存在，判断满足条件的点的个数；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，点是曲线：（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知点在曲线上，求的最小值以及取得最小值时

6、的直角坐标.23.选修45：不等式选讲设函数.（1）证明：.（2）当时，恒成立，求的取值范围.高三数学试题参考答案（理科）一、选择题1.B依题意可得，所以，故选B.2.D复数在复平面内对应的点在直线上，故选D.3.C命题的否定为存在，使得，故选C.4.D由题知函数在上单调递增，则，解得，故选D.5.D画出满足条件的平面区域，如图所示，作出直线并平移.易知目标函数在点处取得最小值，没有最大值.联立，解得.此时，所以的取值范围为，故选D.6.B由已知得，则为的外心.设，垂足分别为，（图略）.根据两个向量数量积的几何意义，可知，故选B.7.C如图，取的中点，连接，.由直三棱柱的性质可知，则为异面直线

7、与所成的角（或其补角）.设三棱柱的棱长为2，则，所以，所以.在中，故选C.8.C对于A，图象中函数的定义域为，函数是偶函数，则当为正偶数时，满足对应图象；对于B，图象中函数的定义域为，函数是偶函数，则当为负偶数时，满足对应图象；对于C，图象中函数的定义域为，函数是奇函数，且为增函数，递增的速度越来越慢，没有符合条件的；对于D，图象中函数的定义域为，函数是奇函数，且为增函数，递增的速度越来越快，则当为正奇数时，满足对应图象.故选C.9.D，又是的必要不充分条件，.由数轴可得，故选D.10.A设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的体积，球的体积，所以.又圆柱的表面积为，球的表面积为，所

8、以，其常数项为.11.C设，则，.又，可得，所以.同理可得，所以.12.B由图象知函数的周期，即，.，.条件存在，满足，则，关于对称，即，得，且，则.设，则，即，则，故选B.二、填空题13.为等比数列，.，.14.因为，而由定积分的几何意义知其为半径为4的半圆，面积为，所以.15.因为，所以，.又因为，所以，所以，所以.令，则，所以.设，则，在上单调递增，所以，故.16.是双曲线左支上的点，.的周长是9，.，.设，则，解得，.根据双曲线的对称性，不妨取，则，直线的方程为.直线与渐近线平行，双曲线的右支上任意一点到直线的距离都大于两平行线间的距离，即都大于，.三、解答题17.解：（1）在中，由余

9、弦定理可知，由题意知，.又在中，.又，.（2），即，.，面积的最大值为.18.（1）证明：由，知，又，是以为首项，3为公比的等比数列.（2）解：由（1）知，.，两式相减得，.19.解：（1）存在点满足题意，且.证明如下：如图，取的中点，连接，则，平面.，是的中点，.在直三棱柱中，平面平面，且交线为，平面，.在平面内，从而可得.又，平面.平面，平面平面.（2）如图，以为坐标原点，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，易知，.设平面的法向量为，则，取，得，同理可求得平面的一个法向量为，则，由图可知二面角为锐角，其余弦值为.20.解：（1）设椭圆的标准方程为，由题可知另一个焦点为.由椭圆的定义可

10、知，所以.因为且，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）因为直线：与圆相切，所以，即.设，联立，消去整理得，所以，.所以，又，所以.因为，同理，所以，所以，故的周长为定值4.21.解：（1）因为，所以.所以当时，在上为减函数，在为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数.（2）设.因为，所以，所以直线的方程为，即.假设直线与的图象也相切，切点为.因为，所以，所以直线的方程也可以写为.又因为，即，所以直线的方程为，即.由得，即.令，所以.令，得，所以在单调递减，在单调递增，所以.又因为当时，；当时，.所以在有且只有两个实数根.故存在这样的点使得直线与函数的图象也相切，这样的点有且只有两个.22.解：（1）由：消去参数，得到，：，：，.（2）设，则到直线：的距离为，.，此时，.23.（1）证明：因为，所以，所以.因为，所以.（2）解：因为，所以当时，即恒成立，所以，解得.综上，的取值范围是.