2021届高三数学试题.docx

1、【新高考】2021届高三数学试题一、单选题1已知复数满足，则（ ）A B C D2设集合，则（ ）A0，2)B(1，3)C1，3)D(1，4)3有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死，至少需要（ ）A4秒钟B5秒钟C6秒钟D7秒钟4下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ）A且B且的图象不过第二象限C且D且在上为增函数5电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了次还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是（ ）

2、ABCD6已知三点不共线，为平面外的任一点，则“点与点共面”的充分条件的是（ ）A BC D7已知双曲线的左、右焦点分别为、，、是圆与位于轴上方的两个交点（在左支，在右支，且，则双曲线的离心率为（ ）A B C D8已知函数若时，恒成立，则实数的最小值为（ ）A B C D二、多选题9下列命题正确的有（ ）A若方程表示圆，则的取值范围是B若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是C已知点在圆C：上，的最大值为1D已知圆和，圆和圆的公共弦长为10下列说法正确的是（ ）A将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍；B若四条线段的长度分别是1，3，

3、5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为；C线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；D设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为.11在中角所对的边分别为，能确定为锐角的有（ ）A BC均为锐角，且 D12在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ） AD1DAFBA1G平面AEFC异面直线A1G与EF所成角的余弦值为D点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍三、填空题13设随机变量的分布列为，则的值为_.14将标号为1，2，3，4，5，6的6

4、张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有_种.15外接圆的半径为1，圆心为O，且，则_.16“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数在至少有一个零点，则的最小值为_.四、解答题17已知的内角所对的边分别是在以下三个条件中任先一个：；并解答以下问题：（1）若选_填序号，求的值；（2）在（1）的条件下，若，当有且只有一解时，求实数的范围及面积S的最大值.18已知数列的前n项和，是等差数列，且.（）求数列的通项公式； （）令.求数列的前n项和.19如图，已知直三棱柱中，,是棱上的动点

5、，是的中点，.（1）当是棱的中点时，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得二面角的大小是？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 20为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为40元(不足小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时.（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望21已知椭圆过点，且

6、与曲线有共同的焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于两点，设，若，点，求的取值范围.22已知函数，其中是自然对数的底数.（1）设存在，使得成立，求正实数的取值集合A；（2）若，比较与的大小，并证明你的结论.参考答案1A 2C 3B【分析】先根据题意推理n秒时新被杀死的病毒为个，即可计算累计杀死的总病毒数，再解方程的正整数解，即得结果.【详解】1秒时，新被杀死的病毒为1个，自身新增长3个；2秒时，新被杀死的病毒为3个，自身新增长个；3秒时，新被杀死的病毒为个，自身新增长个；以此类推n秒时，新被杀死的病毒为个，自身新增长个，故累计杀死病毒数为：，由得，解得正整数故选：B

7、.4A【详解】A选项中，由不等式的性质可知：当且，则.当取时，但不满足所以故是的必要不充分条件；B选项中，当时，函数且的图象不过第二象限，所以由成立当函数且的图象不过第二象限时，则，所以由不成立所以是的充分不必要条件；C选项中，当且，有成立.当取时，有成立，但不满足.所以是的充分不必要条件；D选项中，若且在上为增函数,则，是的充要条件；故选：A.5D【分析】记事件电视机的显像管开关了次还能继续使用，记事件电视机的显像管开关了次后还能继续使用，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件电视机的显像管开关了次还能继续使用，记事件电视机的显像管开关了次后还能继续使用，则，所以，已经开关了次

8、的电视机显像管还能继续使用到次的概率为.故选：D.6B【分析】根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.【详解】设，若点与点共面，则，对于选项A：，不满足题意；对于选项B：，满足题意；对于选项C：，不满足题意；对于选项D：，不满足题意；故选：B.7C【分析】连接、，利用双曲线的定义可得，利用余弦定理求出和，由可得出，可得出关于、的齐次等式，进而可解得双曲线的离心率.【详解】连接、，则，如下图所示：由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，因为，所以，即，即，即，解得.故选：C.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，

9、求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.8D【分析】设，可等价为，再利用的单调性转化为求最值即可求解.【详解】由可得，所以，设，则上式等价于对于恒成立，因为，所以在单调递增，所以对于恒成立，即，因为，所以对于恒成立，令，则，由可得，由可得，所以在单调递增，在单调递减，所以，可得，所以实数的最小值为.故选：D.【点睛】思路点睛：不等式恒成立（或能成立）求参数由不等式恒成立（或能成立）求参数，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出

10、函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.9BD【分析】将圆的一般式方程化为标准方程即可得圆心坐标，可判断选项A，设利用圆心到直线的距离等于半径可求圆心坐标，即可得圆的方程，可判断选项B，表示圆上的点与原点 连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求出的值，可得的最值，即可判断选项C，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，利用弦心距、弦长的一半、半径构成直角三角形即可求出弦长，即可判断选项D，进而得出正确选项.【详解】若方程表示圆，则，即，解得或，故选项A不正确；设圆心，则圆心到直线

11、的距离为，解得，即圆心为，所以圆的标准方程是，故选项B正确；由可得，表示圆上的点与原点 连线的斜率，可得相切时取得最值，设切线为，则，显然不是方程的解，故的最大值不是1，故选项C不正确，将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，由得，可得圆心，圆心到直线的距离 所以弦长为，所以公共弦长为，故选项D正确，故选：BD【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；（2）代数法，设直线与圆相交于，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，根据弦长公式，即可得出结果.10BD【分析】A.根据数据的变化与方差的定义进行判断.B利用古典概型的概率

12、公式进行判断.C结核性相关性系数与相关性之间的关系进行判断.D根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可【详解】A:设一组数据为,则每个数据都乘以同一个非零常数后,可得，则，所以方差也变为原来的倍，故A不正确.B:从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为，故B正确.C: 由，两个变量的线性相关性越强，两个变量的线性相关性越弱，故C不正确.D: 根据题意可得, 设则，得，即解得或（舍）所以事件发生的概率为，故D正确.故选：B D【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题.11ACD【分析】选项A由余弦定

13、理可判断；选项B由向量的数量积定义可判断；选项C由诱导公式有，由正弦函数的单调性可判断；选项D由正弦定理可得则由大边对大角可判断.【详解】对于为锐角，故正确；对于为钝角，故错误对于均为锐角；且因为可得则为锐角，故正确.对于由正弦定理得则为锐角，故正确.故选：ACD12BCD【分析】利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D1D、AF是否垂直及求直线A1G与EF所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G到平面AEF的距离与点C到平面AEF的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A1G、平面AEF是否平行.【详解】A选项，由，即与并不垂直，所以D1DAF错误.B选项，如下图，延长FE、

14、GB交于G连接AG、GF，有GF/BE又E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，所以，而，即；又因为面 面=，且面，面，所以A1G平面AEF，故正确.C选项，取中点，连接，由题意知与平行且相等，所以异面直线A1G与EF所成角的平面角为，若正方体棱长为2，则有，即在中有，故正确.D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为、，则由且，知，故正确. 故选：BCD【点睛】思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为.2、线面平行判定：由直

15、线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行.3、由、即可求G、C到平面AEF的距离比.13【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，随机变量对应事件的概率之和等于1求解.【详解】因为随机变量的分布列为所以根据分布列的性质有所以所以故答案为：1418.【解析】先分成三组，每组2张卡片，其中1,2在同一组.再排列即可.153【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到,得到BC为直径,故为直角三角形,求出三边长可得的值,利用两个向量的数量积的定义求出的值.【详解】,.,B,C共线,BC为圆的直径,. ,故.则,【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的充要条件、圆的直径

16、对的圆周角为直角,求出为直角三角形及三边长,是解题的关键.16【分析】把等式看成关于a，b的直线方程：（x21）a+2xb+x20，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，从而可得，从而可得a2+b2；从而解得【详解】把等式看成关于a，b的直线方程：（x21）a+2xb+x20，由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，即，所以a2+b2，x2在3，4是减函数，2x21+5；即x26；故；当x3，a，b时取等号，故a2+b2的最小值为故答案为【点睛】本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a，b的直线方程（x21）a+2xb+x20是难点，属于较难题

17、17（1）条件选择见解析；（2），.【分析】（1）若选，先化简，再结合正弦定理进行边化角，再利用余弦定理求得，结合范围即得结果；若选，利用二倍角以此计算、，结合范围即得结果；若选，利用正弦定理进行边化角，再结合，进行化简求得结合范围即得结果；（2）先根据三角形有一解知或，解得参数m的取值范围，再分别讨论m在不同取值下面积的取值范围，即得最值.【详解】解：（1）若选，由已知化简得，由正弦定理得，由余弦定理得.因为，所以；若选，由二倍角公式，故，因为，所以；若选，由题设及正弦定理得.因为，所以由可得故，因为，故，因此；（2）由已知，当有且只有一解时，或，即或，故或，当时，为直角三角形，B为直角，故

18、，所以；当时，由余弦定理可得当且仅当时等号成立，三角形面积为，即面积的最大值.综上，面积的最大值.【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.18（）;（）【详解】试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和.试题解析：（1）由题意知当时，当时，所以设数列的公差为，由，即，可解得，所以（2）由（1）知，又，得， ，两式作差，得所以考点 1、待定系数法求等差数列的通

19、项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.19（1）见解析；（2）在棱上存在点，使得二面角的大小是，此时【详解】（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG：分别是棱AB、AB1中点，又四边形FGEC是平行四边形，平面AEB1，平面AEB1平面

20、AEB1（2）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系则C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，4）设，平面AEB1的法向量则且于是所以取三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，平面ABC，又平面ABC平面ECBB1是平面EBB1的法向量，二面角AEB1B的大小是45，则解得在棱CC1上存在点E，使得二面角AEB1B的大小是45此时20(1)(2)见解析【解析】试题分析：（1）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得的分布

21、列与数学期望试题解析：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，两人都付0元的概率为，两人都付40元的概率为，两人都付80元的概率为，则两人所付费用相同的概率为.(2)由题意得，所有可能的取值为0,40,80,120,160.，的分布列为：04080120160.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的

22、概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（）求得.21（1）；（2）.【分析】（1）由题意可得，设，将点代入即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，设，利用韦达定理可得，再由，可得，根据，可得，由，结合的取值范围即可求解.【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题意得，设椭圆的标准方程为，则又解得或舍去，所认故椭圆的标准

23、方程为（2）由题意设直线的方程为将直线的方程代入中，得设可得，将上面两式式平方除以式，得因为所以且则由所以，因为所以又，所以，故令，因为，所以，即，所以.而所以所以【点睛】关键点点睛：本题考查了待定系数法求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设直线的方程为，利用韦达定理得出，求出的取值范围，考查了运算求解能力.22（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）令函数，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性及最小值，当且仅当最小值，即可得到参数的取值范围；（2）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论【详解】解：（1）令函数，则.当时，又故所以是上的单调增函数，因此在的最小值是由于存在使成立当且仅当最小值故即则（2）令函数则.令得，当时故是上的单调减函数.当时故是上的单调增函数所以在上的最小值是.注意到，所以当时当时所以对任意的成立.当时即从而当时；当时即，故综上所述，当时当时；当时，.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理