19-20版-第2章-2.5-第1课时-等比数列的前n项和.doc

1、2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点).2.会用错位相减法求数列的和(重点).3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题1.通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养.2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养.1等比数列前n项和公式思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?提示可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数2错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法一般地，等比数列an的前n项和可写为：Sna1a1qa

2、1q2a1qn1，用公比q乘的两边，可得qSna1qa1q2a1qn1a1qn，由，得(1q)Sna1a1qn，整理得Sn(q1)(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列anbn前n项和的求解，其中an为等差数列，bn为等比数列，且q1.思考：等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？提示根据等比数列的定义，有：q，再由合比定理，则得q，即q，进而可求Sn.1等比数列1，x，x2，x3，(x0)的前n项和Sn为()ABCDC当x1时，数列为常数列，又a11，所以Snn.当x1时，qx，Sn.2等比数列an中，a11，q2，则S5_31S531.3数列，的前10项的和S10_S10，

3、则S10.两式相减得，S10，所以S10.4某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_11(1.151)a去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.所以1.1a1.12a1.13a1.14a1.15aa11(1.151)a.等比数列基本量的运算【例1】在等比数列an中，(1)S230，S3155，求Sn；(2)a1a310，a4a6，求S5；(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求q.解(1)由题意知解得或从而Sn5n1或Sn.(2)法一：由题意知解得从而S5.法二：由(a

4、1a3)q3a4a6，得q3，从而q.又a1a3a1(1q2)10，所以a18，从而S5.(3)因为a2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280的两根从而或又Sn126，所以q为2或.1在等比数列 an的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用2在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论1在等比数列an中(1)若a1，an16，Sn11，求n和q；(2)已知S41，S817，求an.解(1)由Sn得11，q2，又由ana1qn1得16(2

5、)n1，n5.(2)若q1，则S82S4，不合题意，q1，S41，S817，两式相除得171q4，q2或q2，a1或a1，an2n1或(2)n1.等比数列前n项和公式的实际应用【例2】借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061，1.0151.051)思路探究：解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和(2)从还贷之月起，每月还

6、贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少解法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.1.0161.061，a1 739.故每月应支付1 739元法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元)另一方面，设每个月还贷a元，分6

7、个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa1.0161102(元)由S1S2，得a.以下解法同法一，得a1 739，故每月应支付1 739元解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少弄清题目中主要的已知事项(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系

8、式2一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m吗？解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为Sna1a2an1251()n0，a1q21，即a31，S371，6q2q10，解得q，a14，S5.4在等比数列an中，已知a1a2a36，a2a3a43，则a3a4a5a6a7等于()AB CDAq，由a1a2a36，且q，得a18，可得a2a1q84，a3a4a5a6a7S7a1a2a1a28(4

9、).5已知an是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和等于()A或5B或5CDC设数列an的公比为q，显然q1，由已知得，解得q2(q1舍去)，数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为.二、填空题6等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3，S6，则a8_32设an的首项为a1，公比为q，则解得所以a8272532.7某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_6由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2222n(2n12)棵，令2n12100，则2n1102，又2664

10、，27128，且2n1单调递增，所以n6，即n的最小值为6.8在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，又Sn126，126，n6.三、解答题9等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.解(1)依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)，由于a10，故2q2q0.又q0，从而q.(2)由已知可得a1a13，故a14.从而Sn.10已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*

11、)(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)由a12，an12an，得an2n(nN*)由题意知：当n1时，b1b21，故b22.当n2时，bnbn1bn.整理得，所以bnn(nN*)(2)由(1)知anbnn2n，因此Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，所以Tn2Tn222232nn2n1.故Tn(n1)2n12(nN*)能力提升练1在等比数列an中，a1a2an2n1(nN*)，则aaa等于()A(2n1)2B(2n1)2C4n1D(4n1)Da1a2an2n1，即Sn2n1，则Sn12n11(n2)，则an2n2n12n1(n2)，又

12、a11也符合上式，所以an2n1，a4n1，所以aaa(4n1)2如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆如此下去，则前n个内切圆的面积和为()ABC2D3B根据条件，第一个内切圆的半径为3，面积为，第二个内切圆的半径为，面积为，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为，公比为，故面积之和为.3一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是_192设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q，n7，由381，解得a1192.4等差数列an中，公差d0，aa1a4，若a1，a3，ak1，ak2，akn，成等比数列，则kn_3n1由题意得(a1d)2a1(a13d)，a1d，q3.akn9a13n1kna1，kn93n13n1.5设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意有即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.