1、 13.4 课题学习 最短路径问题【当堂达标】一、 选择题：1 有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是( )2（2019黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：作点B关于直线l的对称点B；连接AB与直线l相交于点C，则点C为所求作的点在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（） A 转化思想 B 三角形的两边之和大于第三边 C两点之间，线段最短 D三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角3（2019营口）如图，点P是
2、AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PMN周长的最小值是5cm，则AOB的度数是（） A 25 B 30 C 35 D 404（2019遵义）如图，四边形ABCD中，C=50，B=D=90，E、F分别是BC、DC上的点，当AEF的周长最小时，EAF的度数为（） A 50 B 60 C 70 D 80二、填空题：5如图，AD是等边ABC的BC边上的高，AD6，M是AD上的动点，E是AC边的中点，则EMCM的最小值为_ 6、如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是 。三、解答题
3、：7、 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？【拓展应用】8、如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径 【学习评价】自评师评参考答案：1、D2、D3、B分析： 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，COA=POA；PN=DN，OP=OD，DOB=POB，得出AOB=COD，证出OCD是等边三角形，
4、得出COD=60，即可得出结果4、分析： 据要使AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A，A，即可得出AAE+A=HAA=80，进而得出AEF+AFE=2（AAE+A），即可得出答案解答：作A关于BC和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于E，交CD于F，则AA即为AEF的周长最小值作DA延长线AH，C=50，DAB=130，HAA=50，AAE+A=HAA=50，EAA=EAA，FAD=A，且EAA+EAA=AEF，FAD+A=AFE，AEF+AFE=EAA+EAA+FAD+A=2（AAE+A）=250=100EAF=180100=80，故
5、选D5、6；6、（2,0）7、分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等也可分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A，连接AB交EF于P，则P到A，B的距离和最短解：沿AH-HG-GB路线走是最短的路线如图所示作法：（1）作点A关于直线MN的 对称点（2）作点B关于直线LN的对称点（3）连接 与直线MN交于点H，与直线LN交于点G，即在点H处牧马，在点G处饮马，再回家所走路程最短
