2021-2022学年北京市高三(上)统练数学试卷(一).doc

1、2021-2022学年北京市101中学高三（上）统练数学试卷（一）一、选择题共10小题在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）设集合Ay|y2x，则AB（）Ax|1x1Bx|0x1Cx|x1D2（5分）数列an满足a10，an+12an（n1），Sn表示an的前n项和，且Sn，则n（）A6B7C8D93（5分）在ABC中，若c2acosB，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D锐角三角形4（5分）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）8，则f（2010）f（2009）（）A6B7C8D95（5分）函数ysin（2x）在区间，的简图是（）ABCD6

2、（5分）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）f（x）若f（），则f（）（）ABCD7（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，则“a10”是“S20210”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8（5分）已知yloga（3ax）在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是（）A（0，1）B（1，3）C（0，3）D3，+）9（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2（ab）2+6，C，则ABC的面积为（）A3BCD310（5分）已知函数f（x），若对于任意正数k，关于x的方程f（x）k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数

3、为（）A0B1C2D无数二、填空题共5小题。11（5分）已知Sn为数列an的前n项和，若Sn2an2，则S5S412（5分）能够说明“若a，b，m均为正数，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为13（5分）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为14（5分）已知数列an的通项公式，设其前n项和为Sn，则使Sn3成立的最小的自然n为15（5分）一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上时才有疗效，而低于500mg时病人就有危险现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，设经过x小时后，药在病人血液中的量为ymg（1）y关于x的函数解析式为；（2）要使病

4、人没有危险，再次注射该药的时间不能超过小时（精确到0.1）（参考数据：0.20.30.6170，0.82.30.5986，0.87.20.2006，0.87.30.1916）三、解答题共6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16（12分）已知函数（）当1时，求的值；（）当函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离是时，_从中任选一个，补充到上面空格处并作答求f（x）在区间上的最小值；求f（x）的单调递增区间；若f（x）0，求x的取值范围17（12分）已知an（nN*）是各项均为正数的等比数列，a116，2a3+3a232（）求an的通项公式；（）设bn3log2an，求数列bn的前n

5、项和Sn，并求Sn的最大值18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（1）求角B的大小；（2）若，D为ABC外一点，DB2，CD1，求四边形ABDC面积的最大值19（12分）已知函数f（x）x3kx+k2（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围20（12分）已知函数（）当a1时，求f（x）在x0处的切线方程；（）已知f（x）1对任意xR恒成立，求a的值21（15分）已知an是无穷数列，a1a，a2b，且对于an中任意两项ai，aj（ij），在an中都存在一项ak（jk2j），使得ak2ajai（）若a3，b5，求a3；（）若ab0，求证：数列

6、an中有无穷多项为0；（）若ab，求数列an的通项公式2021-2022学年北京市101中学高三（上）统练数学试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题共10小题在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）设集合Ay|y2x，则AB（）Ax|1x1Bx|0x1Cx|x1D【解答】解：集合Ay|y2xy|y0，x|1x1，ABx|0x1故选：B2（5分）数列an满足a10，an+12an（n1），Sn表示an的前n项和，且Sn，则n（）A6B7C8D9【解答】解：根据题意，数列an满足a10，an+12an，则数列an为等比数列，且公比q2，又由Sn，则a12，解可得n7；故选：B3（

7、5分）在ABC中，若c2acosB，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D锐角三角形【解答】解：利用余弦定理：则：c2acosB解得：ab所以：ABC的形状为等腰三角形故选：B4（5分）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）8，则f（2010）f（2009）（）A6B7C8D9【解答】解：函数f（x）是周期为5的周期函数，f（2009）f（20101）f（1），f（2010）f（0），f（x）是奇函数，且满足f（1）8，f（0）0，f（1）8，则f（2010）f（2009）f（0）f（1）0（8）8，故选：C5（5分）函数ysin（2x）在区间，的简图是（）ABC

8、D【解答】解：当x时，ysin（2sin（）sin0，故排除A，D；当x时，ysin（2）sin00，故排除C；故选：B6（5分）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）f（x）若f（），则f（）（）ABCD【解答】解：由题意得f（x）f（x），又f（1+x）f（x）f（x），所以f（2+x）f（x），又f（），则f（）f（2）f（）故选：C7（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，则“a10”是“S20210”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：设等比数列an的公比为q，若q1，则S20212021a1，则“a10”“S20210”若q

9、1，则S2021a1，1q与1q2021的符号相同，则“a10”“S20210”综上可得：“a10”“S20210”“a10”是“S20210”的充要条件故选：C8（5分）已知yloga（3ax）在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是（）A（0，1）B（1，3）C（0，3）D3，+）【解答】yloga（3ax）在0，1上是x的减函数03a3ax3即a3 又yloga（3ax）在0，1上是x的减函数，且3ax是减函数a1 综上所述：1a39（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2（ab）2+6，C，则ABC的面积为（）A3BCD3【解答】解：c2（ab）2+6，c2a2

10、2ab+b2+6，即a2+b2c22ab6，C，cos，解得ab6，则三角形的面积SabsinC，故选：C10（5分）已知函数f（x），若对于任意正数k，关于x的方程f（x）k都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a的个数为（）A0B1C2D无数【解答】解：函数y|x+a|的图象形状大致如下，当a0时，要使f（x）k有两个不相等的实数根，即f（x）的图象与直线yk有两个交点，如图，当yx2ax+2的对称轴在xa的左边，且两段在a处相交时，可满足题意，此时，解得a1；当a0时，如图，要满足条件，需在xa处相接，且yx2ax+2在处的函数值为0，则，无解；当a0时，显然不合题意；综上，满足条件

11、的a有1个故选：B二、填空题共5小题。11（5分）已知Sn为数列an的前n项和，若Sn2an2，则S5S432【解答】解：因为Sn为数列an的前n项和，若Sn2an2，则a12a12a12；则Sn12an12，得：an2an2an1an2an1数列an是首项为2，公比为2的等比数列；故an2n；S5S42532故答案为：3212（5分）能够说明“若a，b，m均为正数，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为1，2（答案不唯一）【解答】解：因为当a，b，m均为正数时，ab+amba+bmambmab，所以“若a，b，m均为正数，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为1，2（只要a、b为整数且ab即

12、可）故答案为：1，2（答案不唯一）13（5分）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为2【解答】解：若对任意的实数x都成立，可得f（x）的最小值为f（），可得+2k，kZ，即有26k，kZ，由0，可得的最小值为2，此时k0故答案为：214（5分）已知数列an的通项公式，设其前n项和为Sn，则使Sn3成立的最小的自然n为14【解答】解：因为，所以sna1+a2+a3+anlog+log+log+logloglogSn3log3n14故答案为：1415（5分）一种药在病人血液中的量保持在1500mg以上时才有疗效，而低于500mg时病人就有危险现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在

13、血液中以每小时20%的比例衰减，设经过x小时后，药在病人血液中的量为ymg（1）y关于x的函数解析式为y25000.8x，x0，+）；（2）要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过7.2小时（精确到0.1）（参考数据：0.20.30.6170，0.82.30.5986，0.87.20.2006，0.87.30.1916）【解答】解：（1）由题意可知，药在血液中以每小时20%的比例衰减，所以给病人注射了这种药2500mg，经过x小时后，药物在病人血液中的量为y2500（120%）x25000.8x，所以y关于x的函数解析式为y25000.8xx0，+）（2）因为药在病人血液中的量保持在150

14、0mg以上时才有疗效，而低于500mg时病人就有危险，所以令25000.8x500，得0.8x0.2，0.87.20.2006，0.87.30.1916，x7.2，故要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过7.2小时故答案为：y25000.8xx0，+）；7.2三、解答题共6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16（12分）已知函数（）当1时，求的值；（）当函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离是时，_从中任选一个，补充到上面空格处并作答求f（x）在区间上的最小值；求f（x）的单调递增区间；若f（x）0，求x的取值范围【解答】解：（I）1时，f（x）sinx+cosx，故f（

15、）2，（II）f（x）2sin（x+），由函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离是得T，2，故f（x）2sin（2x+），选：由得2x+，所以sin（2x+）1，所以f（x）在区间上的最小值；求f（x）的单调递增区间，令，得，kZ，故函数f（x）的单调递增区间k，k，kZ，若f（x）0，则，kZ，解得k，kZ，故x的取值范围k，k，kZ17（12分）已知an（nN*）是各项均为正数的等比数列，a116，2a3+3a232（）求an的通项公式；（）设bn3log2an，求数列bn的前n项和Sn，并求Sn的最大值【解答】解：（）设an的公比为q，因为a116，2a3+3a232，所以2q2+3

16、q20解得q2（舍去）或因此an的通项公式为（）由（）得bn3（5n）log22153n，当n2时，bnbn13，故bn是首项为b112，公差为3的单调递减等差数列则又b50，所以数列bn的前4项为正数，所以当n4或5时，Sn取得最大值，且最大值为S4S53018（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（1）求角B的大小；（2）若，D为ABC外一点，DB2，CD1，求四边形ABDC面积的最大值【解答】解：（1）由正弦定理得，即，sinC0，即，B（0，），（2）在BCD中，BD2，CD1，由余弦定理知，BC2CD2+BD22CDBDcosD12+22212cosD54cos

17、D，ABC为等边三角形，又，SABDC+sinD，故当D，即时，四边形ABDC的面积取得最大值，为19（12分）已知函数f（x）x3kx+k2（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有三个零点，求k的取值范围【解答】解：（1）f（x）x3kx+k2f（x）3x2k，k0时，f（x）0，f（x）在R递增，k0时，令f（x）0，解得：x或x，令f（x）0，解得：x，f（x）在（，）递增，在（，）递减，在（，+）递增，综上，k0时，f（x）在R递增，k0时，f（x）在（，）递增，在（，）递减，在（，+）递增；（2）由（1）得：k0，f（x）极小值f（），f（x）极大值f（），若f（x）有三个零点

18、，只需，解得：0k，故k（0，）20（12分）已知函数（）当a1时，求f（x）在x0处的切线方程；（）已知f（x）1对任意xR恒成立，求a的值【解答】解：（）当a1时，所以f（0）1，f（0）2切线l的斜率为kf（0）2所以f（x）在x0处的切线方程为y2x+1（）依题意，f（x）1对任意xR恒成立，当a0时，由于ex0，则f（x）0恒成立，所以f（x）在R内单调递减，因为f（0）1，故当x0时，f（x）1，不符合题意当a0时，令f（x）0，得当a0时，因为f（0）1，那么x，f（x），f（x）的变化情况如下表：xf（x）0+f（x）单调递减极小值单调递增所以结合f（x）的单调性知：当x0时，

19、f（x）1，不符合题意当a0时，x，f（x），f（x）的变化情况如下表：xf（x）+0f（x）单调递增极大值单调递减当0a1时，因为f（0）1，所以结合f（x）的单调性知当时，f（x）1，不符合题意当a1时，因为f（0）1，所以结合f（x）的单调性知当时，f（x）1，不符合题意当a1时，由f（x）的单调性可知，f（x）maxf（0）1，所以符合题意综上，a121（15分）已知an是无穷数列，a1a，a2b，且对于an中任意两项ai，aj（ij），在an中都存在一项ak（jk2j），使得ak2ajai（）若a3，b5，求a3；（）若ab0，求证：数列an中有无穷多项为0；（）若ab，求数列an的

20、通项公式【解答】解：（）取i1，j2，则存在ak（2k4），使得ak2a2a1，即a32a2a1，a1a3，a2b5，a32a2a17（）证明：假设an中仅有有限项为0，不妨设am0，且当nm时，an均不为0，则m2，取i1，jm，则存在ak（mk2m），使得ak2ama10，与ak0矛盾，故数列an中有无穷多项为0（）当ab时，首先证明数列an是递增数列，即证明nN*，anan+1恒成立，若不然，则存在最小的正整数n0，使得anan+1，且，当n02，取jn0，i1，2，n01，则存在ak（n0k2n0），使得，这n01个不同的数恰为这n01项，与矛盾，数列an是递增数列，再证明：ana+（

21、n1）（ba），n1，2，3，记dba，即证ana+（n1）d，n1，2，3，当n1，2时，结论成立，假设存在最小的正整数m0，使得ana+（n1）d对任意1nm0恒成立，但，则m02，取jm0，i1，2，m01，则存在ak（m0），使得，数列an是递增数列，这m01个数恰为，这m01项，2a+（m01）da+（m02）da+m0d与a+m0d矛盾，ana+（n1）（ba），n1，2，3，则b1a，b2b，且b1b2，对于bn中任意两项，bi，bj（ij），对任意ai，aj，（ij），存在ak（jk2j），使得ak2ajai，ak2aj（ai），即存在bk（jk2j），使得bk2bjbi，因此，数列bn满足题设条件，由可知bna+（n1）（ab），n1，2，3，ana+（n1）（ba），n1，2，3，综上，ana+（n1）（ba），n1，2，3，经检验，数列an满足题设条件