路径积分课件.pptx

1、3.0引言引言9年0月第1页/共42页 几何光学（费马定理）力学（最小作用原理）波动光学电动力学Maxwell方程光量子论路径积分Feynman原理Dirac方程，K-C方程；波动力学（Schrodinger），矩阵力学（Heisenberg）原子的量子论（Bohr）量子电动力学Dirac量子场论第2页/共42页最小作用原理与Lagrange方程0S0,)q(t)q(tq(t)S)qL(q,Sq(t)B tq(t),A.L),q,L(q,),q,q,q,L(q tt1n1 则要求，做无穷小变化，且设取极小值，际所走轨道应使最小作用原理：粒子实定义作用量：，到达在时刻出发，经轨道从设体系在时刻若

2、体系为保守势，则简记函数为设体系的dttVTttLagrangen第3页/共42页方程）（，是任意的，分布积分Lagrange0)(0)(dt)(dtSi tt i tt tiiiiiiittiiiiiiiitiiqLdtdqLqqqLdtdqLqqLqqLdtdqLqqLqqLdt第4页/共42页路径积分方法的由来路径积分方法的由来Feynman于1940年代提出年代提出理论核心：理论核心：传播子传播子 (propagator)包含了量子体系的全部物理信息 与经典力学中的作用量相联系 原始思想原始思想狄拉克1933年一篇文章 费曼加以发展第5页/共42页路径积分方法的由来路径积分方法的由来量

3、子力学三种形式与经典力学的关系量子力学三种形式与经典力学的关系 矩阵力学泊松括号对易子 波动力学H-JH-J方程薛定谔方程 均与经典力学的哈密顿形式密切相关 路径积分源于经典力学的拉格朗日形式 便于推广到相对论形式 把含时与不含时问题纳于同一框架处理 便于考察量子力学与经典力学之关系第6页/共42页3.1传播子传播子9年0月第7页/共42页薛定谔波动力学中的薛定谔波动力学中的传播子传播子从薛定谔方程出发从薛定谔方程出发)(|)(|tHtti)(|)(|)(tetttHi),(),(),(3trtrtrKxdtrX传播子|),()(rertrtrKttHi第8页/共42页传播子的物理意义传播子的

4、物理意义考察一个特例考察一个特例)(),(0rrtr设几率幅的物理意义),(trtrK一般情况第9页/共42页传播子的物理意义传播子的物理意义在能量表象中在能量表象中)()(),(*trtrtrtrKnnn)()(tEinnnertrttt若第10页/共42页传播子计算的例子传播子计算的例子自由粒子自由粒子值分类（标记）能量本征态用动量本征)()(2),(0)(2)(2/32rrettimtrtrKttttrrim第11页/共42页传播子计算的例子传播子计算的例子自由粒子（续）自由粒子（续）为守恒量经典自由粒子：221mvTL),(),(trtrSicletrtrK)()(2)(21),(22

5、ttrrmttmvLdttrtrSttcl作用量第12页/共42页讨论讨论传播子的组合规则传播子的组合规则),(),(),(111113trtrKtrtrKxdtrtrK,1210tttttttNN推广,121rrrrrrNN坐标：第13页/共42页讨论讨论传播子满足的方程传播子满足的方程实质上是态函数),(trt rK)(),(),(2),(22tttrt rKtrVmtrt rKti)(0),(),(222tttrt rKtrVmti第14页/共42页讨论讨论传播子满足的方程（续）传播子满足的方程（续）)(0),(tttrt rK合理地定义不满足薛定谔方程),(trt rKtt)(),(r

6、rtrt rK结合)()(),(),(222ttrritrt rKtrVmti第15页/共42页3.2路径积分的基本思想路径积分的基本思想9年0月第16页/共42页举例说明举例说明粒子源探测器粒子源探测器kkABCPABP)(),(经典kkABCABK)(),(量子22|)(|),(|),(kkABCABKABP2)(|)(),(trtrABK所有极限情况第17页/共42页Feynman的基本假定的基本假定构造传播子构造传播子所有道路)(),(trSieCABKdttttrrLtrSBA),()(的作用量到从粒子沿道路BAtr)(2)(22|),(|),(所有道路trSieCABKABP第18

7、页/共42页路径积分方法的物理含义路径积分方法的物理含义与最小作用原理是否相容？与最小作用原理是否相容？?:是否违背最小作用原理性都存在，粒子走各种道路的可能费曼的观点SS+SSABBAC干涉衍射第19页/共42页3.3路径积分的计算方法路径积分的计算方法9年0月第20页/共42页所有道路路径积分的假定，按)(),(FeynmantrSieCtrtrKdttttrrLtrSBA),()(和化为泛函积分：由轨道的连续变化，求。等权贡献，仅相位不同且每条轨道对传播子做点的一切可能轨道。取极值，包括给定初终不要求S第21页/共42页Polygonal paths的轨道求积分。切可能连续变化表示对给定

8、初终点的一这里，所有道路)()(/)(exp),()(trDtrDtriSeCtrtrKtrSi第22页/共42页Polygonal paths 113N111N011210C)(,),2()()r(t;)()r(t,2,1,/)(NNjjNjjjjjNjjNNxdtrDjrrrrLSrtrrtrNjtttttttttNNtt而，负无穷，粒子坐标变化范围为正等份，令时间间隔第23页/共42页Polygonal paths),(Klim),(K,)(expC),(KNCN0113NNNtrtrtrtrxdtrSitrtrNNjjN时，积分的极限存在，的恰当取值，使第24页/共42页Polygon

9、al paths)()(2exp)-ti(t2m(),(rx;rxi2mC)()(2exp)-ti(t2m()(2explim),()(2)()(2,S0V,22/12/NN22/110211102112111111ttrrimtrtrKttxximxximdxdxCtxtxKxxmttttxxmtxtxtxtxNjjjNNNjjjjjjjjjjjjjjjj 扩展至三维：其中量为，所以无穷小段的作用且算无穷小段按上述分隔方案，先计的情况：例，考虑一维自由粒子利用积分公式第25页/共42页4.4 Feynman路径积分理论与Schrodinger方程的等价性 Schrodinger波动力学方程，

10、以波函数描述粒子的量子态，不计及历史 Feynman路径积分理论引入传播子，其直接给予更细致信息 两者关系：),();(),(3trtrt rKxdtr第26页/共42页等价性（一维粒子为例）),(),2()(21expC),(),(21expC),(),2(expC),(),;,(),x(),(21),2(expC),;,(0),(),;,(),x(t),tx()0(222tytyxVyxmidytytxVxmidytytyxyxLidytytytxdyKttxVxmLtyxyxLitytxKtytytxdyKtt带入上式，又，一维势场中有，故考虑如：时刻粒子状态之间关系则它与根据传播子概念

11、，时刻的状态考虑第27页/共42页),(),/2x()(21expC),(),2()(21expC),x(,2/2/)(-y-x,xy,-yx22txtVmidtytyxVyxmidytxyx带入上式，且则，数学上处理，令第28页/共42页)2/(C12mexpCtx2mexpCtxx2xtx),x(1 2mexpC),(),x(1 2mexpCttxtxx2xtxtxTaylortxxy00)(21exp22222222222imididtViidtxtViidmi ）（），（）（），（），（）（）（），（），（带入态函数，有），（），（展开，）做，（所以对被积函数，的区域，即积分主要贡献则

12、来源于时快速振荡，在被积函数的指数因子忽略高阶无穷小量第29页/共42页等价性得证！），（简化，），（），（）（）（利用积分公式，tx)x2(),(tix2),x(txttx2mexp02mexp22222-22-2VmtxmitVimididi第30页/共42页4.5 位形空间和相空间的路径积分 按路径积分理论计算传播子，仅考虑一维势场中运动的粒子传播子|),()(2H)(2xextxtxKxVmpHamiltonttHi量，第31页/共42页 位形空间NHittiHjjNNeextxxtxNjtttttttttNNtt)()()x(t;)()x(t,2,1,/)(N/)(N011210 负

13、无穷，粒子坐标变化范围为正等份，令时间间隔第32页/共42页可忽略，在所以，且，其中令引入恒等式：)(0)()(exp)2iexp(-)(2(iexp-)H/exp(-i0)BC,0,AC,(e22222/,2/,BAOOxVimpxVmpCBAeeeeeeBAABBABA第33页/共42页)(exp)2exp()(exp)2exp()(exp)2exp()(exp)2exp(xx)(exp)2exp(xx|),(0211222211211NdxI1-N2N)(-jxxxVimpixxxVimpixxxVimpixxxVimpidxxxVimpixextxtxKNNNNNjjxxNNttHij

14、j 个单位式个因式间插入第34页/共42页)(2)x(exp)2()i2m(|),()(exp2)x(exp)i2m()(exp)2exp(x)(exp)2exp(x1121j2/1112/1)(121j2/1112j12jjNjjjNjttHijjjjjxViximdximxextxtxKxViximxVixmpixxVimpi播子根据一维自由粒子的传又，第35页/共42页位形空间的路径积分其中，有（当，)2()i2m(lim)()x,x(exp)()x,x(exp)(),()x,x(exp)(x21exp)(2)x(expx)/x-x02/1112/10 jj1j121jj1-jjjNjN

15、ttjjjdximtxDLdtitxDLitxDtxtxKLixVimixVixim第36页/共42页 相空间的路径积分的本征态。和动量分别为粒子坐标式，个因式间插入如下单位在上式首先，px,.,2,1,dpI1.,2,1,dxINx)(exp)2exp(xx|),(-j-j02N)(jjjjjjNttHipxNjppNjxxxxVimpixextxtxK第37页/共42页)()(2mi-(t)expDp(t)Dx|),(112)t,(x)t,(xN1j)(jjjjttHixVixxpipxextxtxKj最终，计算传播子。此为相空间路径积分来则若，其中，),(exp(t)Dp(t)Dx),(

16、exp(t)Dp(t)Dx),(,)x-x(0,0,N)21(t)Dp(t)Dx )t,(x)t,(x1-jj1112)t,(x)t,(xdtxxLidtpxHxpitxtxKxdxdpttttjNjNkkjN 第38页/共42页4.6 路径积分应用：AB效应 Feynman路径积分理论可应用处理各种物理现象：如AB效应，量子Hall效应等。BSp1p2r第39页/共42页磁AB效应 如上图，两条路径（p1和p2）同时贡献与r点。同时路径积分中L的A项使得每条路径上的波函数出现一个额外因子。ciqexp)()(ciqexp)()(ciqexp)(ciqexp)(rAB ciqexp)(ciqexp212122110rrdrArrdrArdrArdrAdtApppppppprStt（共同因子）（共同因子）（效应的波函数为：所以整个第40页/共42页分析 矢势A的物理意义？磁通满足q/hc=n时，干涉与平常干涉一样。磁通变化，相位变化，干涉花样变化。第41页/共42页谢谢您的观看！第42页/共42页