(必考题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试卷(包含答案解析).doc

1、一、选择题1我国古代数学家刘徽在九章算术注中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成（ ）ABCD2在ABC中，若，则C( )A45B30C60D1203设分别是中所对边的边长，则直线与位置关系是（ ）A平行B重合C垂直D相交但不垂直4在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）ABCD5如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东方向，后来船沿南偏东

2、的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北方向，则这时船与灯塔的距离是：A10kmB20kmCD6在中，角A、B、C的对边分别是、，且，则的外接圆直径为（ ）AB5CD7在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）A等腰三角形或直角三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D直角三角形8在中，则的面积为ABCD9在中，若，则等于（ ）AB或CD或10在中，若，则周长的取值范围是( )ABCD11如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（ ）ABCD12在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则B为（ ）AB或CD或二、填

3、空题13在中，则的最大值为_14在中，内角的对边分别为，且，则外接圆的面积为_15锐角的内角，所对的边分别为，且，则的取值范围是_16在中，内角、所对应的边分别是，若，则的面积是_17在中，内角的对边分别是，若，则_.18甲船正离开岛A沿北偏西的方向以每小时1海里的速度航行，乙船在岛A处南偏西的B处，且的距离为2海里，若乙船要用2小时追上甲船，则乙船速度大小为每小时_海里.19在中，角的对边分别为，且面积为，则面积的最大值为_20在三角形ABC中，D为BC边上一点，且，则的最大值为_三、解答题21的内角，的对边分别为，已知（1）求角的大小；（2）若，求的面积22的内角的对边分别为已知（1）求；

4、（2）若，当的周长最大时，求它的面积23在中，内角，的对边依次为，（1）求角；（2）若，求的面积24已知的三个内角，的对边分别是，且（1）求角；（2）若，的面积为，求的值25如图，在中，点D在线段上（1）若，求的长；（2）若，且，求的值26如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45的方向上，仰角为，行驶300米后到达B处，测得此山顶在北偏西15的方向上，仰角为，若=45，则此山的高度CD和仰角的正切值【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【分析】设圆的半径为，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，由内接正边形的面积无限接近圆的面

5、积可得：，问题得解.【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：，此时，即：同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，整理得：此时所以故选C【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题2B解析：B【分析】根据余弦定理，可以求出角的余弦值，进而根据为三角形内角，解三角方程可以求出角【详解】，.又为三角形内角. 故选B【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题3C解析：C【解析】分别是中所对边的边长，则直线斜率为：，的斜率为：，=1，两条直线垂直故选C4C解析：C【分析】先利

6、用余弦定理化简条件得，再利用三角恒等变换即求得B，C，再求A角.【详解】，解得，易知，又，即，.故选：C【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的综合，属于中档题.5C解析：C【分析】在中，利用正弦定理求出得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案【详解】由题意，可得，即，在中，利用正弦定理得，即这时船与灯塔的距离是，故选C【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题6C解析：C【解析】 , , , ，选C.7A解析：A【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得，

7、可得，或，解得，或，即可判断的形状【详解】，由正弦定理可得：，可得：，可得，可得：，或，或，的形状为等腰三角形或直角三角形故选：【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题8C解析：C【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形内角和求出角C，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果.【详解】因为中，由正弦定理得：，所以，所以，所以，所以，故选C.【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得，从而求得，之后应用三角形面积公式求得结果.9D解析：D【分析】由正弦定

8、理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或，故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10C解析：C【解析】由题意可得：，则：，即：.据此可得ABC是以点C为直角顶点的直角三角形，则：，据此有：，ABC的周长：，三角形满足两边之和大于第三边，则：，综上可得：周长的取值范围是.本题选择C选项.11C解析：C【分析】可知为等腰直角三角形，可计算出的长度，在中，利用正弦定理求出的长度，然后在中，利用锐角三角函数求出，即可得出答案.【详解】根据题意，

9、可得在中，所以，因为在中，由正弦定理，得，在中，故选C.【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.12C解析：C【分析】根据正弦定理得到，再根据知，得到答案.【详解】根据正弦定理：，即，根据知，故.故选：.【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.二、填空题13【分析】利用正弦定理可将表示关于角的三角函数求出角的取值范围利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值【详解】由正弦定理可得则则其中为锐角且所以当时取最大值故答案为：【点睛】

10、求三角形有关代数式的取值范围解析：【分析】利用正弦定理可将表示关于角的三角函数，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值.【详解】由正弦定理可得，则，则，其中为锐角，且，所以，当时，取 最大值.故答案为：.【点睛】求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.14【分析】由正弦定理及降幂角公式可求得角的余弦值进而求得角的正弦值以及外接圆半径故可得解【详解】由正弦定理得：则设外接圆的半径为则外接圆的面积为故答案为：【点睛】解三角形的基本策略：一是利用

11、正弦定理实解析：【分析】由正弦定理及降幂角公式可求得角的余弦值，进而求得角的正弦值以及外接圆半径，故可得解.【详解】由正弦定理得：则设外接圆的半径为，则外接圆的面积为故答案为：.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.15【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角的关系由为锐角三角形得到角的范围进而利用二倍角公式得出的取值范围【详解】由已知得即为锐角三角形故答案为：【点睛】本题考查正

12、弦定理的应用考查两角和与差的正弦解析：【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角，的关系，由为锐角三角形得到角的范围，进而利用二倍角公式得出的取值范围【详解】由已知得，即为锐角三角形 故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，属于中档题16【分析】利用余弦定理结合求出利用即可求出三角形的面积【详解】由可得：在中由余弦定理得：即所以即所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理面积公式的应用属于中档题解析：【分析】利用余弦定理，结合，求出，利用，即可求出三角形的面积【详解】由可得：，在中，由余弦定理得：，即，所以，即，所以，故答案为：【点睛】本题主要考

13、查了余弦定理，面积公式的应用，属于中档题.17【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立方程：解得：由故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解解析：【分析】由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立方程：解得：.由故答案为：.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18【分析】由题意画出示意图三角形（假

14、设在处追上）然后设乙船速度为由此表示出的长度求出的长度在借助于余弦定理求出的长则速度可求【详解】解：由题意设乙船的速度为且在处乙船与甲船相遇做出图形如右：所以由题意解析：【分析】由题意画出示意图三角形（假设在处追上），然后设乙船速度为，由此表示出的长度，求出的长度，在借助于余弦定理求出的长，则速度可求【详解】解：由题意，设乙船的速度为，且在处乙船与甲船相遇，做出图形如右：所以由题意知，在中由余弦定理得即，所以，（海里小时）故答案为：【点睛】本题考查解三角形的应用举例问题，根据题意建立合适的解三角形模型，运用正余弦定理构造方程求解，属于中档题19【分析】利用三角形面积构造方程可求得可知从而得到；

15、根据余弦定理结合基本不等式可求得代入三角形面积公式可求得最大值【详解】由余弦定理得：（当且仅当时取等号）本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形问题中解析：【分析】利用三角形面积构造方程可求得，可知，从而得到；根据余弦定理，结合基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得最大值.【详解】 ，由余弦定理得：（当且仅当时取等号） 本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解；求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系，进而利用基本不等式求得边长之积的最值，属于常考题型.20【分析】设则在ABD和ACD中由正弦定理化简可得由两角差的正弦公式化简可得根据正弦函数的值域即可

16、求解的最大值【详解】如图由已知设则在ABC中由正弦定理可得:在ACD中由正弦定理可得:所以化简解析：【分析】设则,在ABD和ACD中,由正弦定理化简可得,由两角差的正弦公式,化简可得,根据正弦函数的值域即可求解的最大值.【详解】如图,由已知,设则,在ABC中,由正弦定理可得: ,在ACD中,由正弦定理可得: .所以化简可得:,可得: .可得的最大值为.【点睛】本题考查正弦定理在解三角形和化简中的应用,能借助公共边把两个三角形联系起来是解答本题的关键,属于中档题.三、解答题21（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式化简，得到，从而求得的大小；（2）利用余弦定理化

17、简，得到，求出，再计算面积即可.【详解】解：（1）由已知及正弦定理，得，又，（2）由已知及余弦定理，得化简，得又，的面积【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围22（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理求得，由的范围可得结果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得当时周长最大，由三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，；（2）由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），当时，取得最大值，此时.

18、【点睛】方法点睛：求解与边长相关的最值或取值范围类问题通常有两种方法：利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件.23（1）或；（2）或1【分析】（1）利用二倍角余弦公式可得，从而可得或，即求.（2）由（1）知或，当时，利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求解；当时，根据直角三角形即可求解.【详解】（1）由，得，化简得，即，即，即，解得或即或又，所以或（2）由（1）得或，当时，由正弦定理得，故；当时，由，得，因此综上，的面积

19、是或124（1）；（2）6.【分析】（1）由正弦定理把条件转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得的关系式，从而可得结论；（2）首先可根据解三角形面积公式得出，然后根据余弦定理计算出.【详解】（1）因为由正弦定理得，所以因为所以，所以，所以（2）因为的面积为，所以，因为，所以，所以由余弦定理得，因为，所以，所以【点睛】关键点点睛：解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.25（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理求解即可.（2）用余弦定理求出，在两个三角形中用正弦定理得出，代入值求解即可.【详解】解：（1），且，（2），故算得，在中，利用正弦定理有，在中，有，26300，【分析】设山的高度CD=x，在ABC中，利用正弦定理求得CB，AC，在RtBCD中，由CBD=45得CD=CB=300，然后在RtACD中，由求解.【详解】设山的高度CD=x米，由题可得CAB=45，ABC=105，AB=300米，CBD=45在ABC中，得：ACB=180-45-105=30，利用正弦定理可得，所以，在RtBCD中，由CBD=45得CD=CB=300，在RtACD中可得